3

ВВЕДЕНИЕ

Разработка новых технических устройств и систем в современных условиях осуществляется при широком использовании вычислительной техники и различных видов моделирования.

Биотехническая система (БТС) – сложная система, объединяющая в единых рамках биологические и технические элементы. Исследование БТС методами моделирования позволяет вести проектирование технических элементов с учетом возможных изменений параметров биологических элементов.

При анализе задач моделирования БТС следует выделить ряд особенностей:

-для технических элементов БТС можно построить математические модели на основе известных законов сохранения, используя типовые математические модели для аналогичных объектов;

-для биологических элементов математических моделей разработано существенно меньше, до недавнего времени более широко использовались электрические модели, построенные на основе аналогии характеристик выходных координат биологического объекта и электрической схемы;

-для разработки БТС необходимы модели, позволяющие прогнозировать состояния выходных координат системы при различных входных воздействиях.

Для подобных задач приемлемую точность решения обеспечивают математические модели в виде различных регрессионных уравнений и имитационные модели в совокупности с методами численного анализа.

Учебное пособие охватывает наиболее сложные разделы дисциплины “Моделирование биологических процессов и систем” и дополняет курс лекций для студентов специальностей “Биотехнические и медицинские аппараты и системы” и “Инженерное дело в медико-биологической практике”.

Впервой главе рассмотрены основные понятия общей теории моделирования как методологии исследования сложных систем, основные задачи разработки математических моделей, показаны принципиальные различия

вподходах к решению этих задач в методах аналитических (неформальных) и экспериментально-статистических (формальных), дан краткий обзор основных принципов физического, математического и имитационного моделирования.

Во второй главе описаны методики построения математических моделей БТС с позиций экспериментально-статистического подхода. Рассмотрен классический вариант постановки задачи моделирования на основе кибернетического представления объекта в виде “черного ящика”, который позволяет создавать математические модели объектов, структура и харак-

4

тер внутренних связей у которых не определен. Искомые уравнения выводятся путем обработки экспериментальных наблюдений за поведением БТС.

Основные методические приемы иллюстрируются примерами, позволяющими останавливаться на частных случаях и деталях решений отдельных задач моделирования БТС с помощью программ Excel и Statgraphics Plus.

Подробно рассмотрены методики построения математических моделей по результатам пассивного и активного экспериментов.

В третьей главе приведены примеры моделей биологических элементов БТС. Основное внимание уделено приемам построения уравнений математических моделей аналитическими (неформальными) методами. Рассмотрены базовые положения методики построения уравнений моделей динамики на основе законов сохранения массы и энергии. В качестве примеров разбираются этапы построения аналитической модели процессов газообмена в дыхательной системе человека.

Идея постепенного уточнения уравнений математической модели показана на примере разработки математических моделей органов слуха. Эти примеры иллюстрируют влияние гармонических возмущений на объект моделирования.

Четвертая глава посвящена имитационному моделированию сложных систем медицинского назначения. Кратко изложены основные понятия этого вида моделирования, и особенности основных этапов построения имитационных моделей. В качестве примеров рассмотрены компартментная модель движения йода в организме млекопитающего [11] и имитационная модель лечебного учреждения.

Программная реализация моделей рассмотрена в пятой главе. В качестве среды для решения задач моделирования используется программная система MATLAB. Примеры моделей взяты из третьей и четвертой глав пособия.

Каждая глава завершается списком контрольных вопросов, которые используются в тестирующей программе по дисциплине “Моделирование биологических процессов и систем”.

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

1.1. Понятие моделирования

Моделирование – метод исследования сложных объектов и систем, основанный на том, что рассматриваемый объект (оригинал) заменяется моделью, с которой проводят ряд экспериментов с целью получения инфор-

мации об оригинале (рис.1.1). Моделирование является основ-

ным методом исследования сложных систем большой размерностью, позволяющим изучить влияние изменения параметров системы на показатели качества ее работы.

Модельный подход используется при прогнозировании состояния сложных биологических объектов, на которые осуществляется некоторое направленное терапевтическое воздействие.

Применение вычислительной техники позволяет использовать этот метод на всех стадиях создания и эксплуатации измерительных приборов, устройств и аппаратно-программных

комплексов медицинского назначения.

Рассмотрение технических и биологических элементов в рамках единой биотехнической системы возможно только с применением современных информационных технологий.

Исследование, проектирование и эксплуатация медицинских приборов и аппаратов осуществляются с помощью автоматизированных систем трех видов: АСНИ, САПР и АСУТП.

АСНИ – автоматизированная система научных исследований (система автоматизированных научных исследований) – человеко-машинная система, предназначенная для автоматизации лабораторных и опытнопромышленных экспериментов. В АСНИ широко применяются два вида моделирования: математическое и физическое. Цель функционирования АСНИ – создание формализованных моделей (математических, имитационных) объектов (технических или биообъектов). Результаты, полученные в ходе функционирования АСНИ, служат исходными данными для работы САПР.

6

САПР – человеко-машинная система, предназначенная для решения задач технологического и конструкторского проектирования технических объектов, в качестве которых могут выступать приборы, аппаратнопрограммные комплексы и т.п. Она обеспечивает решение расчетных и оптимизационных задач анализа и синтеза структуры и параметров технических объектов, а также изготовления комплекта чертежно-проектной документации. Решение этих задач осуществляется на базе использования различных видов моделей (методов моделирования). Используется математическое и имитационное моделирование.

АСУТП – автоматизированная система управления технологическим процессом, предназначенная для контроля, стабилизации, управления технологическими параметрами с целью рационального (оптимального) управления всем процессом производства.

1.2. Виды моделирования

Принято различать три вида моделирования: физическое, математическое и имитационное.

1.2.1. Физическое моделирование

Физическое моделирование – это метод исследования на модели, которая имеет одинаковую с оригиналом физическую природу и воспроизводит весь комплекс свойств изучаемых явлений.

Втехнике физическое моделирование используется при проектировании различных объектов для определения характеристик как объекта в целом, так и отдельных его частей.

Воснове этого вида моделирования лежит принцип ПОДОБИЯ. Необходимыми условиями физического моделирования являются гео-

метрическое подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и объекта-оригинала. В сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих явления для объекта-оригинала, должны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели. Наличие такой пропорциональности позволяет производить пересчёт экспериментальных результатов, получаемых для модели, на объект путём умножения каждой из определяемых величин на постоянный для всех величин данной размерности множитель — коэффициент подобия.

Физические величины связаны определёнными соотношениями, вытекающими из законов и уравнений физики. Если некоторые из них выбрать в качестве основных, то можно коэффициенты подобия для всех других

7

производных величин выразить через коэффициенты подобия величин, принятых за основные.

Например, в механике основными величинами считают обычно длину

Такие связи показывают, что для данного физического явления некоторые безразмерные комбинации величин, характеризующих это явление, должны иметь для модели и натуры одно и то же значение. Эти безразмерные комбинации физических величин называются критериями подобия. Равенство всех критериев подобия для модели и натуры является необходимым условием физического моделирования. Однако добиться этого равенства можно не всегда, т. к. не всегда удаётся одновременно удовлетворить всем критериям подобия.

Чаще всего к физическому моделированию прибегают при исследовании различных механических, тепловых и электродинамических явлений. При этом число и вид критериев подобия для каждого моделируемого явления зависит от его природы и особенностей. Так, например, для задач динамики точки (или системы материальных точек), где все уравнения вытекают из второго закона Ньютона, критерием подобия является число Ньютона Ne = Ft2/ml и условие моделирования состоит в том, что

Для непрерывной среды при изучении её движения число критериев подобия возрастает, что значительно усложняет задачи физического моделирования.

Создаваемые для гидродинамического моделирования экспериментальные установки и сами модели должны обеспечивать равенство соответствующих критериев подобия у модели и объекта. Обычно это удаётся сделать в случаях, когда для течения в силу его особенностей сохраняется лишь один критерий подобия. Так, при физическом моделировании ста-

8

ционарного течения несжимаемой вязкой жидкости (газа) определяющим будет значение числа Рейнольдса (Re).

Когда при физическом моделировании необходимо обеспечить равенство нескольких критериев, возникают значительные трудности, часто непреодолимые, если только не делать модель тождественной объекту, что фактически означает переход от физического моделирования к натурным испытаниям. Поэтому на практике нередко прибегают к приближённому моделированию, при котором часть процессов, играющих второстепенную роль, или совсем не моделируется, или моделируется приближённо. Такое физическое моделирование не позволяет найти прямым пересчётом значения тех характеристик, которые не отвечают условиям подобия, и их определение требует соответствующих дополнительных исследований.

Например, при исследовании установившихся течений вязких сжимаемых газов необходимо обеспечить равенство числа Рейнольдса (Re) и числа Маха (М) безразмерному числу:

χ= cP , cv

где cP ,cv — соответственно удельные теплоёмкости газа при посто-

янном давлении и постоянном объёме.

Это условие в общем случае обеспечить невозможно. Поэтому, как правило, обеспечивают для модели и объекта лишь равенство числа М, а влияние на определяемые параметры различий в числах Re и χ исследуют отдельно или теоретически, или с помощью других экспериментов, меняя в них в достаточно широких пределах значения Re и χ.

При моделировании равновесия однородных упругих систем (конструкций), механические свойства которых определяются модулем упругости (модулем Юнга) Е и безразмерным коэффициентом Пуассона n, должны выполняться 3 условия подобия:

где g — ускорение силы тяжести (γ = ρg — удельный вес материала). В естественных условиях gM = gO = g , и получить полное подобие при

lM ≠ lO можно, лишь подобрав для модели специальный материал, у кото-

рого ρм, Ем и νм будут удовлетворять первым двум из приведенных условий, что практически обычно неосуществимо. В большинстве случаев модель изготовляется из того же материала, что и объект-оригинал. Тогда

ρM = ρО, EM = EO ,

и второе условие даёт

9

gM lM = gOlO .

Когда весовые нагрузки существенны, для выполнения этого условия прибегают к так называемому центробежному моделированию, т. е. помещают модель в центробежную машину, где искусственно создаётся при-

ближённо однородное силовое поле, позволяющее получить gм > gО и

сделать lм < lО.

Одним из видов физического моделирования, применяемого к твёрдым деформируемым телам, является поляризационно-оптический метод исследования напряжений, основанный на свойстве ряда изотропных прозрачных материалов становиться под действием нагрузок (т. е. при деформации) анизотропными, что позволяет исследовать распределение напряжений в различных деталях с помощью их моделей из прозрачных материалов.

При физическом моделировании явлений в других непрерывных средах соответственно изменяются вид и число критериев подобия. Так, для пластичных и вязкопластичных сред в число этих критериев наряду с параметрами Фруда, Струхаля и модифицированным параметром Рейнольдса входят параметры Лагранжа, Стокса, Сен-Венана и т. д.

При изучении переноса тепла конвекцией определяющими критериями подобия являются число Нуссельта (Nu = αl/ λ), число Прандтля (Pr = ν/a), число Грасхофа (Gr = βgl3 T/ν2), а также число Рейнольдса Re. В перечисленных формулах использованы обозначения: α — коэффициент теплоотдачи, а — коэффициент температуропроводности, ν — кинематический коэффициент вязкости, β — коэффициент объёмного расширения, Т — разность температур поверхности тела и среды.

Обычно целью физического моделирования является определение коэффициента теплоотдачи, входящего в критерий Nu. Для этого экспериментально на моделях устанавливают зависимость Nu от других критериев. В случае вынужденной конвекции (например, теплообмен при движении жидкости в трубе) становится несущественным критерий Gr, а в случае свободной конвекции (теплообмен между телом и покоящейся средой) — критерий Re.

Однако к значительным упрощениям процесса физического моделирования это не приводит, особенно из-за критерия Pr, являющегося физической константой среды, что при выполнении условия Prм = PrО практически исключает возможность использовать на модели среду, отличную от той, что на объекте.

Дополнительные трудности вносит и то, что физические характеристики среды зависят от её температуры. Поэтому в большинстве практически важных случаев выполнить все условия подобия не удаётся; приходится прибегать к приближённому моделированию. При этом отказываются от