ТЕСТЫ по математике
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x |
+1 x |
|
∞ |
|
lim |
|
|
|
||
x→∞ |
x |
|
|
|
|
lim |
sin2 x |
|
0 |
|
|
x→0 x |
−1 |
|
|
|
|
lim (x + 2cos x)sin x |
e |
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
lim |
x +21 |
|
1 |
|
|
x→0 sin |
x |
|
|
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|
11. Вычислите предел функции и сравните с ответом. |
|||||
№ |
|
limf (x) |
|
Ответ |
|
|
|
x→a |
|
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|
|
lim |
a t2 |
+ b t + c |
a |
1 |
|
t2 + 1 |
|||
|
t → ∞ |
|
|||
|
|
lim |
a2 + b + c |
∞ |
|
2 |
|
a |
− 2 |
||
|
a → ∞ |
|
|||
|
|
lim |
|
4 n + 5 |
|
|
|
(3 n2 + n) n + 1 |
|
||
3 |
|
n → ∞ |
0 |
||
|
|
|
|
||
|
|
lim |
4 n + n4 − 1 |
|
|
4 |
|
(n3 |
+ 3 n2 + n) n |
1 |
|
|
n → ∞ |
||||
|
|
lim |
a t3 |
+ 4 t − 1 |
− a |
5 |
|
1 − t3 |
|||
|
t → ∞ |
||||
6 |
|
lim |
x4 |
+ x2 + 36 − (x4 + x + 3)(1/5) |
1 |
|
|
|
x2 + 7 |
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
83
7 |
lim |
x4 |
+ x3 + 3 + x2 + x + 3 |
|
2 |
||||
|
|
|
x4 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
8 |
lim |
|
x + x(3/2) − 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
( x − 1) (x + x.5 + 1) |
|
|
|
|||||
|
x → ∞ |
|
|
|
|||||
|
|
(5/3) |
1 |
4 |
|
3 |
− |
3 |
|
9 |
|
3 x |
|
− 3 27 x + |
9 x − 3 x |
||||
lim |
|
|
|
||||||
|
|
|
(x6 + 5)(1/3) |
|
|
|
|||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|||
10 |
lim |
x4 |
+ x + 1 − x2 + 1 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
x4 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x4 |
+ x − 14 |
|
|
|
-31 |
||
11 |
|
x + 2 |
|
|
|
||||
x → (-2) |
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
x3 + 4 x − 5 |
|
|
|
|
∞ |
||
12 |
(x |
− 1)3 |
|
|
|
|
|||
x → 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
x3 |
+ x2 + x + 1 |
|
|
|
|
-1 |
|
13 |
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|||
x → (-1) |
|
|
|
|
|
||||
12. Вычислите предел функции и сравните с ответом. |
№ |
limf (x) |
Ответ |
||
|
x→a |
|
|
|
1 |
|
11 |
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
84
|
lim |
|
5 t2 + t − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t4 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t → 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
|
3 a3 − 11 a − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
2 − a3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
a → 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
lim |
|
|
|
x3 − 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
(x − 1) (x2 + x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x → 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
2 x3 − x2 − 9 x + |
6 |
|
|
11 |
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x2 + x − 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x → 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
x2 − x − 6 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
27 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
x3 − 27 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x → 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
lim |
|
x3 − x2 − x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
|
|
|
x2 + 2 x − 3 |
|
|
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|||||||
x → (-3) x3 + 2 x2 − 3 x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
a4 − 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a → 2 (a − 2) a + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
|
|
|
x4 + x3 − x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
9 |
x → (-1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
|
lim |
x3 |
+ x2 − 12 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|||||
|
x → 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
x − 3 |
|
1 |
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|||||||
|
27 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
− 27 |
|
|
|||||
|
x → 3 x3 |
|
|
|
|||||||
15 |
lim |
|
|
x4 + x3 + x − 6 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x → (-2) x4 + x2 + 4 x3 − 12 |
|
|
|
13. Вычислите предел функции и сравните с ответом.
№ |
limf (x) |
Ответ |
|
x→a |
|
|
lim |
cos(t) − cos(3 t) |
|
sin(t) + sin(2 t) |
|
1 |
t → 0 |
|
|
|
|
lim |
sin(x2 ) + x sin(x) |
|
ln(1 + x2 ) |
|
2 |
x → 0 |
|
|
|
|
lim |
sin(π t) |
|
||
3 |
t2 − 1 |
||||
t → 1 |
|||||
|
lim |
4 |
arctg(2 x) |
||
|
|||||
|
ln(1 + 6 x) |
||||
4 |
x → 0 |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0
2
− π2
4
3
86
|
lim |
tg(x) − sin(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
5 |
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
lim |
|
|
|
ln(1 − t2 ) |
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
e(−2 x) − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|||||||||||
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
|
|
1 − cos(a t) |
|
a2 |
||||||||||||||
8 |
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
|
sin(x − 1) |
− |
1 |
|||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x → 1 x2 − 5 x + 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
1 − cos(x − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
x2 + 5 x − 6 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
x → 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Вычислите предел функции и сравните с ответом.
№
1
2
limf (x)
x→a
|
x + 1 |
(3 x + 1) |
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x → ∞ |
x − 3 |
|
|
|||
|
x + 1 |
(3 x2 |
+ 1) |
|||
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x → ∞ |
x − 3 |
|
|
Ответ
e12
∞
87
3
4
5
6
7
8
9
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 − 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x → 0 |
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
||
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x → 0 |
|
|
x |
+ x − 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x + |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x → ∞ |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x → 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 |
+ 1 (3 x + 1) |
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x → ∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 |
+ 1 |
(3 x2 |
+ 1) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x → ∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
x − 1 |
|
|||||
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
− 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
x → 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
e
e(-1/2)
1
e(-1)
1
e(-12)
e2
88
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
||
10 |
|
|
− |
|
|
x |
|
x |
|
|
e |
(3/4) |
||
|
lim |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x → 2 |
|
|
x |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная
1.Найдите производную функции и проверьте ответ.
№ |
Функция |
Производная функции |
|
|
|
1 |
f (x) = x3 + e−x |
f '(x) = 3x2 − e− x |
|
|
|
2 |
f (x) = cos2x + sin3x |
f '(x) = −2sin2x + 3cos3x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
f (x) = sin |
2πx |
|
|
|
f '(x) = |
2π |
cos |
2πx |
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
f (x) = sin(πx2 +π ) |
f '(x) = 2πxcos(πx2 +π ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
f (x) = 3cos3x − |
x2 |
|
f '(x) = −9sin3x − |
2x |
|
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
6 |
f (x) = e−3x + e2x |
f '(x) = −3e−3x + 2e2x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
|
|
|
|
|
f '(x) = ex+cos x(1− sin x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
f (x) = ex+cosx
8 |
f (x) = ln x − 4x3 + 7 |
f '(x) = |
1 |
−12x2 |
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
9 |
f (x) = (x +1)ex |
f '(x) = ex + (x +1)ex |
||
|
|
|
|
|
10 |
f (x) = (3x +1)sin x |
f '(x) = 3sin x + (3x +1)cos x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x) = 3(cos2x + |
x )2 |
||||
11 f (x) = (cos2x + |
|
)3 |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
−2sin2x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
x |
2.Укажите интервалы возрастания функции y = x3 + 3x.
(− ∞;−1) (1;∞); (−1;1); (− ∞;∞); Вся числовая прямая.
3.Укажите правильный ответ производной функции.
№ |
Функция |
Производная функции |
|
|
|
1 |
f (x) = 4x2 + x3 |
f '(x) = 8x + 3x2 |
|||||||
|
|
|
|
f '(x) = 4x + 3x2 |
|||||
2 |
f (x) = |
1 |
+ 4 |
f '(x) = − |
1 |
|
+ 4 |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
x2 |
||||
|
|
|
|
f '(x) = − |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x) = ln x + 4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
f (x) = 5x4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
90
4
5
6
f (x) = 2 |
2 |
x − |
f (x) = 4cos x
2
f (x) = sin4x
f '(x) = 20x3 − 2x
f '(x) = 10x3 − x
f '(x) = 20x3
2
f '(x) = − (x − 2)2
2
f '(x) = (x − 2)2
f '(x) = −2sin x
2
f '(x) = −8sin x
2
f '(x) = 2sin x
2
f '(x) = 8sin x
2
f '(x) = 4cos4x
f '(x) = cos4x
f '(x) = cos4
4.Укажите правильный ответ производной функции
Функция |
Производная функции |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x) = |
|
2x |
|
|||
f (x) = ln(x2 − 4) |
x |
2 − 4 |
|||||
|
|
||||||
|
f '(x) = |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
x2 − 4 |
||||||
|
f '(x) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2x − 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
91
f (x) = cos(e2x + πx)
f(x) = xcos3x
f(x) = xe2x
f(x) = еx x2 +1
f(x) = 3xcos2 x
f '(x) = − sin(e2x + πx)
f '(x) = −sin(e2x + π x)
(2e2x + π )
f '(x) = −sin(e2x + π x)
(e2x + π )
f '(x) = cos3x − 3xsin3xf '(x) = −3sin3x
f '(x) = cos3x
f '(x) = e2x + 2xe2x
f '(x) = 2e2x
f '(x) = xe2x
f '(x) = ex(x2 +1) − 2xex
(x2 +1)2
f '(x) = еx
2x
f '(x) = 2xex
(x2 +1)2
f '(x) = 6cos x
f '(x) = 3cos2 x − 3xsin2x
f '(x) = 3cos2 x + 6xsin x
f '(x) = 3cos2 x + 6xcos x
5.Укажите верный ответ производной функции.
92