ТЕСТЫ по математике

Говорят, что функция y = f (x) в точке x = a имеет разрыв первого

рода (рис.2), его еще называют конечный скачок, если:

1. Существует предел функции при x , стремящемся к a слева, т.е.

существует lim f (x) = b;

x→ a−0

2. Существует предел функции при x , стремящемся к a справа, т.е.

существует lim f (x) = c;

x→ a+0

3. Но эти пределы не равны, т.е. b ≠ c . Абсолютная величина разности

Говорят, что функция y = f (x) имеет в точке x = a разрыв второго рода, если не существует или равен ±∞ хотя бы один из односторонних

пределов при x → a , и следовательно не существует lim f (x) (рис. 3).

x→ a

43

y

b

непрерывной. Если нарушается непрерывность функции, то укажите точки и вид разрыва.

Решение

Если аргумент x стремится к 2 слева, то это означает, что x близок к 2, но все время меньше, чем 2. Предположим, что x =1.99999, тогда величина x − 2 = −α является бесконечно малой отрицательной. Предел числителя

44

величина x − 2 = α является бесконечно малой положительной величиной, т.е. α → 0. Предел числителя 3x + 5 при условии x → 2 + 0 тоже равен 11.

есть бесконечный интервал (−3;∞). Из определения элементарной

функции y = ln(x) известно, что lim f (x)= −∞ . Обратите внимание, здесь

x→ +0

x → +0. Это говорит о том, что x стремится к нулю, оставаясь при этом все время положительным, т.е. x → 0 справа. В нашем же случае аргументом

непрерывной. Если нарушается непрерывность, то укажите точки и вид разрыва.

Решение

45

Из задания функции видно, что при x ≤1 это линейная функция y = x +1,

а при x >1 − это парабола y = x2 +1. Эти функции определены при всех своих значениях аргумента. Неясность вносит x =1. Найдем односторонние пределы заданной функции при x →1.

Вычислим левосторонний предел функции при x →1, т.е. при x →1− 0.

Найдем правосторонний предел функции при x →1, т.е. при x →1+ 0. В этом случае исследуем поведение функции y = x2 +1. Таким образом,

Вывод: поскольку односторонние пределы функции при x →1 равны, и

непрерывна на всей вещественной оси, в том числе и при x =1. Область определения и область непрерывности заданной функции: R = (−∞,+∞).

Ответ: функция непрерывна для всех x (−∞,+∞).

5.АСИМПТОТЫ

Асимптотой графика функции y = f (x)называется прямая, к

которой график функции неограниченно приближается при удалении точки графика от начала координат.

График функции может иметь асимптоты, но может и не иметь их.

Асимптоты могут быть трех видов.

Вертикальные асимптоты. Их проще всего определять. Надо уметь находить точки разрыва второго рода. Уравнение вертикальной

46

lim f (x) = b, причем b ≠ ±∞. Тогда говорят, что график функции имеет

x→ +∞

горизонтальную асимптоту при x → −∞ либо при x → +∞ . В таком случае горизонтальная асимптота записывается уравнением y = b, как уравнение прямой, параллельной оси Ox .

Наклонные асимптоты записываются уравнением y = kx + b. Это

уравнение прямой с угловым коэффициентом k . Величина b − величина отрезка, отсекаемого прямой y = kx + b на оси Oy . Значения k , b надо определить, исходя из заданной функции, асимптоты которой отыскиваем.

Как найти коэффициенты k , b уравнения наклонной асимптоты y = kx + b?

Прямые y = kx + b и y = kx параллельны. Прямая y = kx проходит через

начало координат. Из уравнения y = kx находим k = y . Если коэффициент x

k будет найден, то из уравнения y = kx + b определим коэффициент b: b = y − kx . Находим наклонные асимптоты графика функции y = f (x). Из

определения асимптоты и полученных выражений для величин k , b приходим к формулам, позволяющих вычислить коэффициенты k , b уравнения y = kx + b наклонной асимптоты графика функции y = f (x).

наклонной асимптоты надо находить при x → −∞ и при x → +∞ отдельно.

47

уравнение y = kx + b правой наклонной асимптоты.

3x + 5

Пример 40. Найдите асимптоты графика функции y = x − 2 .

Решение

Решение этого примера состоит из трех этапов: нахождение

аргумент x все время остается отрицательным. Введем новую

48

приближается к прямой y = 3, которая называется горизонтальной асимптотой.

Таким образом, уравнение y = 3 является горизонтальной асимптотой.

Заметим, что замену переменной x = −t , где t > 0, делаем всегда, когда находим предел функции при x → −∞.

Имеет ли график заданной функции наклонные асимптоты, уравнения которых записываются y = kx + b?

Очевидно, что при x → −∞ получим то же самое значение предела.

Поскольку k = 0, то можно сделать вывод, что график заданной функции не имеет наклонных асимптот.

3x + 5

Ответ: заданная функция y = x − 2 имеет вертикальную асимптоту x = 2 и горизонтальную асимптоту y = 3. Наклонных асимптот нет.

6.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим три способа задания прямой на плоскости. Прежде всего отметим, что это линейные уравнения, т.е. такие уравнения, в которых переменные x и y содержатся только в первых степенях.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b.

Сначала исследуем прямую, которая задана уравнением y = kx. Эта прямая всегда проходит через начало координат, т.е. через точку O(0;0).

Коэффициент k называется угловым коэффициентом. Равен он тангенсу угла наклона, образуемого прямой с положительным направлением оси

49

Ox (рис.4), т.е. k = tgα . Если учесть, что тангенс острого угла есть

величина положительная, а тангенс тупого угла – величина отрицательная, то можно очень быстро представить расположение прямой на плоскости (рис.3). Заметим, что углом между прямой и положительным направлением оси Ox называют наименьший угол.

y

y=kx, k=y/x, κ=tgα>0

κ=tgβ<0

y

β

α

x x

Рис. 4. Геометрический смысл углового коэффициента k

50

y

y=kx+b

by=kx, k=y/x, κ=tgα

y=kx-b y

α

x

x

-b

отсекаемого прямой y = kx + b на оси Oy. Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной. Для того, чтобы построить график прямой y = kx + b, зная график прямой y = kx, надо прямую y = kx параллельно поднять на величину b относительно начала координат, если b > 0. Если же величина b отрицательная, тогда прямую y = kx надо параллельно опустить на величину b относительно начала координат (рис. 5).

Общее уравнение прямой на плоскости

Линейное уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой на плоскости.

Если коэффициент C = 0, то прямая, уравнение которой в этом случае записывается Ax + By = 0, проходит через начало координат.

51

Важную роль выполняют коэффициенты A, B. Вектор n (A; B),

координатами которого являются эти числа, называется нормальным вектором прямой, заданной уравнением Ax + By + C = 0.

Следует обратить внимание на тот факт, что A − это проекция нормального вектора n (A; B) на ось Ox, B − это проекция нормального вектора n (A; B) на ось Oy.

Вектор n (A; B), начало которого совпадает с началом координат, задает общее расположение прямой на плоскости: искомая прямая перпендикулярна вектору n (A; B).

Взаимное расположение прямых на плоскости

На плоскости заданы прямые L1, L2 общими уравнениями:

L1 : A1x + B1y + C1 = 0; L2 : A2x + B2y + C2 = 0.

A1 A2 + B1 B 2 = 0

Уравнение прямой, проходящей через точку, с заданным угловым коэффициентом

На плоскости дана точка M0 (x0; y0 ). Прямая, угловой коэффициент k

которой задан, проходит через эту точку M0 (x0; y0 ) (рис.6). Уравнение ее

52