ТЕСТЫ по математике

x = 2py2 ( p > 0) − парабола, p − параметр, вершина в начале координат, ветви направлены вправо, ось Ox − ось симметрии (рис. 13) ;

x = 2py2 ( p < 0) − парабола, p − параметр, вершина в начале координат, ветви направлены влево, ось Ox − ось симметрии (рис. 13) .

-b

a - большая полуось b - малая полуось

Рис. 11. Эллипс и окружность

Общее уравнение кривой второго порядка

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Заметим, что в этом уравнении отсутствует еще одно слагаемое − слагаемое со второй степенью, содержащее произведение xy. Объяснить этот момент можно следующим образом: общее уравнение кривой второго порядка, не содержащее слагаемое с произведением xy, можно привести к каноническому виду, выполняя элементарные линейные преобразования выделения полных квадратов по переменным x и y и параллельным

выполнить и поворот системы координат, что не является линейной операцией.

63

Заметим, что по уравнению Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 можно сразу

определить вид кривой второго порядка. В самом деле,

1) Если коэффициенты A и B равны ( A = B ), то уравнение описывает окружность;

64

т.е. отсутствует слагаемое, содержащее квадрат переменной x или y, то такое уравнение описывает параболу.

Кривые, заданные уравнением Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, имеют

смещенные оси симметрии, а значит и центр симметрии или координаты вершин.

− (x2 + 2x)+ 2(y2 − 4y)+ 3 = 0

− (x2 + 2x +1−1)+ 2(y2 − 4y + 4 − 4)+ 3 = 0

−(x +1)2 +1+ 2(y − 2)2 − 8 + 3 = 0 − (x +1)2 + 2(y − 2)2 = 4

Выполним параллельный перенос системы координат, начало новой системы координат x1O1y1 – это точка O1(−1, 2).

65

Начало новой системы координат – точка с координатами: O1(−1; 2). В

Анализируя полученное каноническое уравнение, можно сказать, что

Для упрощения построения искомого графика найдем точки

x2 + 2x − 3 = 0 (x +1)2 = 4 x +1= ± 2 x = −3, x =1.

Точки пересечения графика гиперболы с осью Oy :

Приступаем к построению графика заданного уравнения гиперболы.

13 Уравнения координатных осей в системе xOy : ось Ox: y = 0, ось Oy : x = 0.

66

b= 2 .

3.В новой системе координат x1O1y1 строим прямоугольник со

сторонами 2a = 4 и 2b = 22 , центр симметрии – начало координат O1(−1;2), проводим диагонали – асимптоты гиперболы. Кстати спросить,

уравнения асимптот можно записать?

4. Зная, что гипербола, каноническое уравнение которой получили, ось O1x1 не пересекает, а вершины находятся на оси O1y1 в точках ±2 , легко построить искомую кривую (рис. 14). При этом для точности построения надо учесть точки пересечения графика гиперболы со старыми осями

Рис. 14. График линии, заданной уравнением −x2 + 2y2 − 2x − 8y + 3 = 0

Пример 45. Установите вид кривой для каждого из следующих равнений:

1.4x2 + 9y2 − 40x + 36y +100 = 0,

2.9x2 −16y2 − 54x − 64y −127 = 0,

3.9x2 +18x − 4y + 45 = 0,

4.−x2 + 4y2 − 2x + 8y + 3 = 0,

67

5.2x2 + 2y2 + 8x − 6y + 42 = 0,

6.2y2 + 4x − 4y − 2 = 0,

7.x2 − 4y2 = 0,

8.x2 + y2 − 2x + 4y +1= 0.

Решение

порядка выродилась в две пересекающиеся и проходящие через начало координат прямые;

преобразования:

x2 + y2 − 2x + 4y + 9 = 0 x2 − 2x +1−1+ y2 + 4y + 4 − 4 + 9 = 0

(x2 − 2x +1)−1+ (y2 + 4y + 4)− 4 + 9 = 0 (x −1)2 + (y + 2)2 + 4 = 0.

Равенство (x −1)2 + (y + 2)2 + 4 = 0 на плоскости действительных чисел

68

R2 является ложным. Это мнимая окружность.

9.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. РАНГ МАТРИЦЫ.

Пример 46. Укажите, сколько решений имеет система линейных

1 0 −1 1 0 0

определитель 3-го порядка. Вычислим его: det A = 2 1 1 = 2 1 3 = 0.

1 1 2 1 1 3

Поскольку det A = 0, а det A − это определитель 3-го порядка, то ранг14 матрицы r(A) не может быть равен 3, он может быть только меньше трех, т.к. для матрицы A нельзя построить другой определитель 3-го порядка. Итак, r(A)< 3.

Рассмотрим какой-либо определитель 2-го порядка, порожденный

образующие, стоят на пересечении первых двух строк и первых двух

14 Ранг матрицы – это наибольший из порядков отличных от нуля определителей, порожденных матрицей. Ранг матрицы A обозначим r(A).

69

можно построить четыре различных определителя 3-го порядка. Рассмотрим определитель, образованный элементами 2-го, 3-го и 4-го столбцов матрицы B, и вычислим его:

Здесь использовали свойства определителей:

1.Оставили неизменными 1-ый и 3-ий столбцы, а к элементам 2-го столбца прибавили соответствующие элементы 3-го столбца. Заметили, почему так поступили? Верно, чтобы получить еще один ноль в 1-ой строке;

2.Разложили определитель по элементам 1-ой строки.

Для матрицы B нашли отличный от нуля определитель 3-го порядка, следовательно, ранг матрицы B равен 3, т.е. r(B) = 3.

Поскольку ранги матриц A и B не равны, r(A) ≠ r(B), то заданная система линейных уравнений не имеет решения, т.е. она не совместна.

Примечание. Количество определителей различного порядка, порождаемых матрицей, обычно очень велико. Поэтому вычисление ранга матрицы, основанное непосредственно на вычислении этих определителей, как правило, затруднительно. Существуют особые приемы, значительно облегчающие задачу нахождения ранга матрицы.

Рассмотрим элементарные преобразования над матрицей, которые приводят исходную матрицу к эквивалентной матрице:

1.Все строки можно заменить столбцами, т.е. транспонировать матрицу;

2.Можно поменять местами любые две строки (столбца);

3.Можно умножить каждый элемент некоторой строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля;

4.К элементам любой строки (столбца) можно прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на один

итот же множитель, отличный от нуля.

70

Теорема (без доказательства).

Элементарные преобразования над матрицей ранга матрицы не меняют.

Пример 47. Найдите ранги матриц A и B, используя элементарные преобразования и теорему о равенстве рангов эквивалентных матриц.

Решение

Алгоритм элементарных преобразований матрицы A

1 К элементам 3-го столбца прибавим соответствующие элементы 1- го столбца;

2 Умножим элементы 3-го столбца на коэффициент 13 .

3 От элементов 3-го столбца вычтем соответствующие элементы 2- го столбца;

4 К элементам 2-ой строки прибавим соответствующие элементы 1- ой строки, умноженные на коэффициент -2, и от элементов 3-ей строки вычтем соответствующие элементы 1-ой строки;

5 От элементов 3-го строки вычтем соответствующие элементы 2-ой строки.

В результате элементарных преобразований над матрицей пришли к другой матрице (эквивалентной исходной), на главной диагонали которой стоят единицы, их две. Ясно, что ранг новой матрицы равен двум, следовательно, ранг матрицы системы тоже равен двум: r(A)= 2.

Очевидно, что ранг матрицы становится равным количеству единиц, располагающихся на главной диагонали. Цель элементарных преобразования над матрицей – это стремление получить новую матрицу, эквивалентную исходной, но в которой элементами являются единицы и нули, причем строки и столбцы переставляем так, чтобы единицы располагались на главной диагонали.

71

Ранг матрицы B.

Описывать последовательность действий не будем. Проследите шаг за

Пришли к эквивалентной матрице, ранг которой равен трем, следовательно, r(B) = 3.

Ответ: r(A) = 2, r(B) = 3.

10. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Ниже предложены тестовые задания различных типов: задания открытого типа, требующие точного лаконичного ответа, задания закрытого типа, где правильный ответ (ответы) выбирается из списка, и задания «на соответствие» и «на упорядочение», которые, несмотря на простоту поставленного вопроса, требуют хороших навыков решения типовых задач.

Область определения функции

72