ТЕСТЫ по математике

выделена. Это можно сделать, по крайней мере, тремя способами. Рассмотрим из них два простейших6.

Первый способ

Прибавим к дроби единицу, затем ее вычтем, и приведем два последних слагаемых к общему знаменателю:

Второй способ

В числителе отнимем и добавим нужную константу, а затем разобьем полученную дробь на две дроби, одна из которых дает единицу:

Как видно, результат получили один и тот же. Исследуя выражение

алгебраические преобразования для того, чтобы в показателе получить

6На жаргонном языке такой метод можно назвать методом Тараса Бульбы: “я тебя породил, я тебя

иубью”. Этот метод очень удобен при выделении полного квадрата. Например, x 2 − 6 x + 1 = x 2 − 2 3 x + 1 = x 2 − 2 3 x + 9 − 9 + 1 = (x − 3 )2 − 8

23

Решение

Рассмотрим задачу отыскания предела той же функции, что и в примере 16. Проследите за вычислениями. Возможно, что этот способ понравится больше.

24

Заметили, как надо аккуратно работать, чтобы не потерять знак

Решение

Попытайтесь объяснить каждое действие.

Выпишем выражение, стоящее в круглых скобках, и найдем его предел

Теперь выполним эквивалентные преобразования над функцией, стоящей за знаком предела.

25

Примечание . Обратите внимание, что в скобках можно получить

алгебраическую сумму единицы и бесконечно малой величины. Во втором случае знак «−» нужно обязательно учесть, для чего запишем его в

потерять, и тогда решение будет неверным.

Рассмотрим еще один вариант решения данного примера. Ясно, что так надо поступать только тогда, когда предел дроби, стоящей в

скобках, будет равен единице. В нашем случае это так: lim 2x +1 =1.

x→∞ 2x + 5

Решение

Выполним элементарные преобразования над дробью, стоящей в скобках:

Найдем отдельно пределы, стоящие в числителе и знаменателе соответственно.

26

2.ПРОИЗВОДНАЯ

Сложная функция – это суперпозиция, т.е. композиция, функций.

Как научиться быстро и правильно дифференцировать сложную функцию?

Надо предъявить к себе три простых требования и строго выполнять их:

1.Правильно устанавливать порядок следования элементарных функций в соответствии с их приоритетами в композиции сложной функции.

2.Знать производные элементарных функций и правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения и частного функций.

3.Знать формулу дифференцирования сложной функции.

Примечания

1. Ошибок при нахождении производной не будет, если, называя производную некоторой элементарной функции, будете говорить: производная − это функция (называете ее) того же самого аргумента.

2. Определение порядка следования элементарных функций в

27

композиции сложной функции напоминает разборку кочана капусты: снимаете верхний лист, затем из оставшихся − снова верхний и так, пока не доберетесь до основания. Если возникают трудности при установлении порядка следования функций, попытайтесь вычислить значение этой функции при некотором фиксированном значении аргумента. Этот момент очень важен при нахождении производной сложной функции.

3. Формулы и правила дифференцирования элементарных функций изложены во всех учебниках математического анализа. Более того,

дифференцирования. Она не поможет, если не уяснить формулу дифференцирования сложной функции.

Получим формулу дифференцирования сложной функции. Оставим все тонкости рассуждений и выполним преобразования.

Предположим, дана сложная функция y = f (x), изучив которую установили, сколько и какие элементарные функции ее образуют. Пусть

двух бесконечно малых величин: приращение функции Dy и приращение аргумента Dx.

Очевидно, такую цепочку множителей можно либо продолжить, либо прервать. Длина этой цепочки, а именно, количество множителей в ней, зависит от количества функций, составляющих сложную функцию.

Переходим в этом равенстве к пределу при условии Dx ® 0. Учитывая,

Согласно определению производной можно записать:

28

При условии, что в сложной функции участвуют четыре элементарные функции, производная такой функции может быть записана как

y' = yu' Ч uv' Ч vs' Ч s'x

Пример 19. Установите порядок следования элементарных функций, начиная с внешней, участвующих в композиции функции y = sin(2x + 3)4 .

Решение

Можно сразу сказать, что элементарными функциями, участвующими в образовании заданной сложной функции, являются линейная, степенная и тригонометрическая функции.

Если возникают трудности определения составляющих функций, попытайтесь провести вычисления сложной функции при некотором значении аргумента. Выполним эту работу.

Положим x = 1.

Шаг 1. Сначала вычислим 2x + 3, это будет 2Ч1+ 3= 5. Первой и внутренней является линейная функция 2x + 3.

функция − последняя функция в процессе вычисления значения сложной функции, она будет внешней.

Шаг 4. Определим порядок следования функций, участвующих в образовании сложной функции, начиная с внешней и до внутренней. Это порядок, обратный порядку вычисления значения сложной функции. Именно так надо устанавливать порядок для нахождения производной сложной функции.

Проведя анализ полученных вычислений, можно сделать вывод: в образовании заданной сложной функции участвуют три элементарные функции. Порядок их следования, начиная с внешней, будет таким: тригонометрическая, степенная, линейная.

29

Ответ: Порядок следования функций, начиная с внешней: тригонометрическая, степенная, линейная.

Пример 20. Найти производную функции y = sin(2x + 3)4 .

Решение

В примере 19 определили порядок следования элементарных функций: тригонометрическая sin(...), степенная (...)4 и линейная 2x + 3.

Заметим, что аргументом тригонометрической функции sin(...) является

выражение (2x + 3)4 , аргументом степенной функции (...)4 является линейное выражение 2x + 3.

Производная тригонометрической функции sin(...)= sin(2x + 3)4 будет косинус того же аргумента, т.е. cos(...)= cos(2x + 3)4.

Производная степенной функции (...)4 будет опять степенная функция,

но степень ее на единицу меньше, т.е. 4(...)3 . Заметим, что в круглых скобках находится выражение 2x + 3, и производная в данном случае запишется как 4(...)3 = 4(2x + 3)3 .

Находим производную линейной функции 2x + 3: (2x + 3)' = 2.

Таким образом, производная заданной функции находится по формуле

y' = yu' Чuv' Чv'x, т. е. в производной сложной функции будет столько множителей, сколько элементарных функций участвует в ее образовании,

внешней функцией является степенная, возведение в квадрат. Далее следует тригонометрическая функция cos x . Сложную функцию образуют

две элементарные функции: степенная (...)2и тригонометрическая cos(...). Производная заданной функции, согласно правилу дифференцирования

30

сложной функции, должна содержать произведение двух множителей: производную степенной функции и производную тригонометрической функции.

Таким образом, производную заданной сложной функции находим как

Из задания функции ясно, что внешней является тригонометрическая функция cos (...)= cos (x2). Аргументом этой функции является степенная

функция x2. Заданную сложную функцию определяют две элементарные функции: тригонометрическая cos (...) и степенная x2. Сравните с

функцией примера 21, в этом случае порядок следования функций обратный.

Производная сложной функции будет содержать два множителя: производную тригонометрической функции и производную степенной функции.

Продолжим решение задачи отыскания производной сложной функции. Находим производную внешней тригонометрической функции cos (...).

Это будет минус синус того же аргумента, т.е. - sin(...)= - sin(x2).