ТЕСТЫ по математике

x

Рис. 6. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с заданным угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

На плоскости даны две точки M1(x1; y1) и M2 (x2; y2 ). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, очень легко написать. На прямой возьмем текущую, т.е. любую, точку M (x; y). Построим два вектора

коллинеарны. Условие коллинерности – это пропорциональность

назвать уравнением прямой, проходящей через заданную точку M1(x1; y1)

с заданным угловым коэффициентом k . В самом деле, y − y1 = k(x − x1).

Возникает вопрос, изменится ли уравнение прямой, если будем считать ее проходящей через точку M2 (x2; y2 ) с заданным угловым коэффициентом k ? Ведь в этом случае уравнение должны записать как

53

y − y2 = k(x − x2 )9.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1; y1) и M2 (x2; y2 ) имеет вид

Рис. 7. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2

Примечание. Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1) и M2 (x2; y2; z2 ) в пространстве R3 имеет вид

x − x1 = y − y1 = z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

Пример 41. Найдите нормальный вектор прямой 3x − 2y + 6 = 0.

Решение

9 Согласно логическим рассуждениям, уравнение должно быть точно таким же. В противном случае это будет вторая прямая. А здесь уже нарушается аксиома геометрии Евклида: через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

54

Прямая задана общим уравнением 3x − 2y + 6 = 0. Она не проходит через начало координат. Вектор n (3;−2) является нормальным вектором прямой, а это означает, что прямая перпендикулярна вектору n (3;−2).

Ответ: n (3;−2) − нормальный вектор прямой.

Примечание . Общее уравнение Ax + By + C = 0 для построения

прямой не является самым удачным. Большей частью решение задачи построения такой прямой сводится к приведению общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом y = kx + b. Однако есть одно красивое представление прямой в виде так называемого уравнения в «отрезках». Это уравнение позволяет не только быстро построить прямую, но и решить ряд других задач.

Уравнение прямой в «отрезках»

Возникает вопрос, где эти отрезки?

Величина отрезка, который прямая x + y =1 отсекает на оси Ox от a b

начала координат, равна a. Действительно, чтобы найти точку пересечения прямой x + y =1 и оси Ox ( y = 0− уравнение осиOx ), надо

ab

решить систему, содержащую уравнения этих прямых:

Аналогично можно показать, что величина отрезка, отсекаемого

55

прямой x + y =1 на оси Oy ( x = 0− уравнение осиOy ) от начала координат,

ab

равна b.

И теперь, чтобы построить прямую, записанную уравнением в отрезках”, надо в прямоугольной системе координат на оси Ox от начала координат отложить отрезок величины a, на оси Oy от начала координат

− отрезок величины b и, соединив их концы, получим искомый график

знаками «+». Если появляются знаки «−», унесите их в знаменатели. Говорим, что a и b − это величины отрезков, а не длины. А это значит, что

aи b могут быть не только положительными, но и отрицательными.

Пример 42. Построить прямую 3x − 4y +12 = 0.

Решение

Что можно сказать, глядя на заданное уравнение? Информации достаточно. Прямая описывается общим уравнением. Свободный коэффициент не равен нулю (C =12), следовательно, прямая не проходит

через начало координат. Вектор n (3;−4)− нормальный вектор этой прямой. Но нам нужно построить график этой прямой.

Приведем общее уравнение прямой к уравнению в «отрезках». Проследите за преобразованиями.

которого равна −4, т.е. a = −4, а на оси Oy − отрезок, величина которого равна 3, т.е. b = 3. В декартовой системе координат на оси Ox от начала координат откладываем отрезок величины −4. На оси Oy − отрезок величины 3. Соединяем концы этих отрезков и получаем искомый график прямой (рис. 8).

56

Уравнение прямой

3в “отрезках”

Рис. 8. Прямая, заданная уравнением в “отрезках”

7.ВЕКТОРЫ

Рассмотрим векторы в трехмерном пространстве R3. Три единичных вектора i, j, k образуют базис: i j k, i = j = k =1.

Любой четвертый вектор этого пространства можно представить в виде разложения по базису i, j, k .

Предположим, имеем векторы a и b, которые в пространстве R3 заданы координатами (векторы этого пространства имеют три координаты) a = (x1; y1; z1), b = (x2; y2; z2 ).

Векторы a , b можно записать как разложения по базисным векторам i, j, k : a = x1i+ y1 j+ z1k = (x1; y1; z1), b = x2i+ y2 j+ z2k = (x2; y2; z2 ).

Очевидно, что координаты вектора − это проекции вектора на

На рис. 9 рассмотрен случай задания векторов на плоскости (R2).

57

вектора, т.е. c, тогда поворот первого вектора a ко второму вектору b осуществляется в положительном направлении, т.е. в направлении против часовой стрелки11.

2. Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b, а значит вектор c перпендикулярен вектору a и вектору b: c a, c b;

3. Длина вектора c соизмерима с площадью параллелограмма, который можно построить на векторах a , b. Записать это можно так:

c= a× b .

Доказано, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a , b, вычисляется по формуле Sпарал. = ab sin α , где α - угол, который образуют векторы a и b. Следовательно, длина вектора может быть определена по формуле: c = ab sin α .