Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТЕСТЫ по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

9.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

23 Ч

Ответ:

y' = e

3 ln(3x- 5) Ч ln 3x-

(

))

3x-

Дифференцирование функции y =

( )

Прежде

чем

находить

производную обратной

функции7

y =

( )

f x

(

( ))

выполним преобразование

y =

f x - 1. Теперь внешней функцией

( )

является

степенная

функция,

производная которой

записывается

f x

- 1ц'

= - 1

f x

Ч f x

y'= з

з(

( ))

( )(

( ))

(

( ))

Пример 24. Найти производную функции

y =

8x + 3

(

)

Решение.

Преобразуем

функцию

y =

= 8x + 3 - 15

. Теперь

5 8x + 3

( )

, затем от

производную надо взять сначала от степенной функции ...

- 15

линейной 8x + 1. Производная запишется

	ж		- 1	ц'
y	з	8x + 3		5 ч	=
y	' = з	8x + 3		ч	=
	з(		)	ч
	з			ч
	з			ч
	и			ш

		ж		- 6	ц
	1з				5 ч
-		з	8x + 3		чЧ8.
-		з	8x + 3		чЧ8.
		з(		)	ч
	5	з			ч
	5	з			ч
		и			ш

Ответ:		y' = -		8		8x + 3 - 65 .
Ответ:		y' = -	5			8x + 3 - 65 .
			5			(		)
Пример 25. Найти производную функции															y =		1		.

																cos3
																cos3	4x + 5
																	(	)
Решение
Преобразуем заданную функцию
y =		1			=			1			=	cos	4x + 5		- 3.
y =	cos3				=						=	cos	4x + 5		- 3.
	cos3	4x + 5				(		(		3		(	(	))
		(	)			(		(	))
		(	)				cos	4x	+ 5

Сначала надо дифференцировать степенную функцию (...)- 3, затем тригонометрическую cos(...), и только потом линейную 4x + 5. Согласно

7 Нежелательно находить производную такой функции как производную частного. Почему? Догадайтесь.

правилу						дифференцирования															сложной				функции				будем иметь
y	' =	ж						- 3ц'				= - 3				cos 4x + 5					-	4	Ч- sin	4x + 5 Ч4 =
y	' =	з cos 4x + 5								ч		= - 3				cos 4x + 5							Ч- sin	4x + 5 Ч4 =
		з(			(	))				ч				(			(			)) (				(	))
		и								ш
			sin		4x + 5								sin			4x	+ 5
= 12					(	)			= 12						(			)	.
= 12							4		= 12					4					.
							4						cos	4		4x +		5
		(				)										(		)
			cos(4x			+ 5)
	Ответ: y' = -								8			8x + 3				- 6	5 .
	Ответ: y' = -											8x + 3					5 .
									5(						)
	Пример 26. Найти производную функции																								y =			1		.

																										cos3
																										cos3		4x + 5
																											(		)
	Решение
	Преобразуем функцию
		y =				1					=					1				=	cos 4x +			5	- 3.
		y =		cos3 4x +							=									=	cos 4x +			5	- 3.
				cos3 4x +					5			(			(				3		(		(	))
						(			)			(			(			))
						(			)				cos			4x	+ 5

Сначала дифференцируем степенную функцию (...)- 3, затем тригонометрическую cos(...), и только потом линейную 4x + 5. Согласно правилу дифференцирования сложной функции получим

y' =	ж					- 3		ц'	= -		3		cos	4x +			5	- 4	Ч-	sin	4x +	5 Ч4 =
y' =	з cos 4x + 5							ч	= -		3		cos	4x +			5		Ч-	sin	4x +	5 Ч4 =
	з(		(	))				ч			(			(			)) (				(	))
	и							ш
		sin	4x + 5							sin			4x +		5								sin		4x + 5
= 12			(	)			=	12				(			)	.				Ответ:		y' = 12			(		)	.
= 12					4		=	12		cos4						.				Ответ:		y' = 12		4				.
					4					cos4			4x + 5										cos	4		4x + 5
	(			)									(		)										(		)
		cos(4x + 5)

Уравнение касательной

Рассмотрим функцию y = f (x). Точка M0(x0;y0)принадлежит графику этой функции. Надо написать уравнение касательной к графику этой функции, проходящей через точку M0(x0;y0).

Воспользуемся геометрическим смыслом производной функции в точке – это тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси Ox . На рис. 1 выполнены построение касательной и получение искомого уравнения.

( x

; y

)

заданная

точка

= tg α

( x ; y )

текущая

точка

y 0

(x0 )

tg α

lim

= tgβ

k ( x

)

уравнение секущей

tg α

tgβ

при x

x 0

dy (x0)

уравнение касательной

y =

)

Рис.1 Уравнение касательной к графику функции

Дифференциал функции

Это очень важное понятие. Но так складываются обстоятельства, что мало кто из учащихся даст определение дифференциала функции: дифференциал функции – это главная линейная часть приращения

функции. Дифференциал функции обозначаем dyи находим как dy = y'dx. А ведь для инженера это первое правило приближенного вычисления

некоторого значения: y ≈ dy	→ y ≈ y	'dx → f (x +	x)≈ f (x	)+ f	' (x	) x.
		0	0		0
Напомним, что для аргумента	x = dx, для функции		y ≈ dy. Можно сказать,

что использование калькулятора, и тем более персональных компьютеров, сделало ненадобной эту работу.

Область, где не обойтись без знания дифференциала функции остается интегрирование. Если усвоить свойство дифференциала функции такое, как инвариантность формы, т.е. неизменность формы, то в простейших случаях в неопределенном и определенном интегралах можно обойтись без замены переменной. Это свойство можно назвать иначе: подведением множителя, стоящего перед знаком дифференциала, за знак дифференциала.

Пример 27. Преобразовать дифференциалы десяти заданных

функции, используя свойство инвариантности формы дифференциала.

1)	xdx, 2) (3x + 2)dx, 3) x2dx,	4)	1	dx,	5)	3		dx,	6) sinxdx,
			x + 2			2x −1

7)	cos3xdx, 8) cos(3x + 2)dx,	9)	1	dx,	10)	1			dx.

		1+ 4x2					1− 9x2

Решение

Будем использовать свойства линейности дифференциала, где k, C −

произвольные постоянные: dx = d (x ± C), dx =	1	d (kx),	dx =	1	d (kx ± C).

	k			k

Следите за решениями и попытайтесь объяснить каждый шаг.

1)xdx = 12 dx2,

3)x2dx = 13dx3,

5)	3		dx =	3			ln(2x	−1),

		2x −1			2
7)	cos3xdx =			1		dsin3x,

				3

9)1+ 4x2 dx = 1+ (2x)2 dx =

1 1

10)dx =

1− 9x2

1− (3x)2

2) (3x + 2)dx = 12 d (3x2 + 2x),

4)	1	dx = dln(x + 2),
	x + 2

6) sinxdx = −d cos x,

		8)cos(3x + 2)dx =							1	dsin(3x + 2),
		8)cos(3x + 2)dx =								dsin(3x + 2),
							3
1	1		d (2x) =		1	darctg(2x),
21+ (2x)2			d (2x) =		2	darctg(2x),
21+ (2x)2					2
dx =	1		1	d (3x)=			1	darcsin(3x).

	3						3
	3	1− (3x)2					3

Правило Лопиталя8

Правило Лопиталя – это правило раскрытия неопределенностей вида

0∞

0и ∞ . Суть его в том, что предел отношения функций сводится к пределу

отношения производных рассматриваемых функций. Если в пределе отношения производных вновь присутствует неопределенность одного из

8 Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь (Guillaume Francois Antoine de Lhopital) (1661−1704) − французский математик. Автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению (1696 г.), в основу которого были положены лекции И. Бернулли.

указанного вида, то процесс продолжается, в качестве же исходных функций выступают производные. Это правило было найдено И. Бернулли и сообщено им Г. Лопиталю, который опубликовал его в 1696 г.

f (x)

Рассмотрим отношение двух функций f (x) и g(x): g(x) .

Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой этой точки. Полагаем, что

( )

g' x

№0 для всех значений аргумента из этой окрестности. Тогда, если

( )

( в

отношении

f (x)

имеем неопределенность

lim

f x

lim g x = 0

x® x0

g(x)

вида

)

и существует

lim

f '(x)

, то существует и

lim

f (x)

, при этом

x→x0 g' (x)

x→x0 g(x)

	f (x)		0
lim		=		=
lim	g(x)	=		=
x→x	g(x)		0
0

lim f ' (x) .

x→x0 g' (x)

f (x)

f ' (x)

Примечание. Если lim

lim

, то

' (x)

x→x0 g(x)

x→x0 g

применение правила Лопиталя надо продолжить:

	f (x)		0
lim		=		=
lim	g(x)	=		=
x→x	g(x)		0
0

	f '(x)			0
lim			=		=
		' (x)
x→x0 g				0

lim f "(x) .

x→x0 g"(x)

Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой этой точки. Полагаем, что g'(x)№0 для всех значений аргумента из этой окрестности. Тогда, если

lim f (x)= lim g(x)= Ґ

x® x0

∞

вида ∞ ) и существует

f (x)

(в отношении g(x) имеем неопределенность

lim	f '(x)	, то существует и	lim	f (x)	, причем

x→x0 g' (x)			x→x0 g(x)

	f (x)		∞			f	' (x)
lim		=		=	lim			.
							'(x)
x→x0 g(x)			∞		x→x0 g

	f (x)		∞			f ' (x)			∞
Примечание. Если lim		=		=	lim			=		, то
							'(x)
x→x0 g(x)			∞		x→x0 g				∞

применение правила Лопиталя надо продолжить:

f (x)

∞

f '(x)

∞

f "(x)

lim

' (x)

x→x0 g(x)

∞

x→x0 g

∞

x→x0 g"(x)

Применение правила Лопиталя.

Пример 28. Найти lim ex −1.

					x→0			sinx
Решение
	ex −1		0		ex		1
lim		=		= lim		=			=1.

x→0 sinx			0	x→0 cosx			1

Ответ: lim ex −1 =1.

x→0

sinx

Пример 28. Найти

lim

sin3x

x→π sin2x

Решение

sin3x

3cos3x

−1

lim

= lim

= −

x→π sin2x

x→π

2cos2x

Ответ:

lim

sin3x

= −

x→π sin2x

Пример 30. Найти

lim

tgx .

− x

x→

Решение

π − x

−1

lim

− x tgx =

lim

lim sin2x =1.

x→

ctgx

x→

−

x→

2 sin

Ответ: lim		π		tgx =1.
Ответ: lim			− x	tgx =1.
x→	π	2
x→	2
	2

Рассмотрим три функции: натуральный логарифм lnx , степенную

xn и показательную		ax. Поведение каждой из них при условии x → ∞
известно. Они неограниченно возрастают:
lim lnx = ∞;	lim	xn = ∞; lim ax = ∞.
x→∞	x→∞	x→∞

Но какая из них растет быстрее по сравнению с другой, а какая медленнее? Чтобы ответить на этот вопрос, надо изучить поведение отношения двух исследуемых функций при условии x → ∞ . А поскольку отношение этих двух функций при x → ∞ дает неопределенность вида

∞

, то здесь уместно использовать правило Лопиталя.

∞

Пример 31. Найти

Решение


			1	3
	ln3x			3
lim	ln3x	= lim	3x		=
lim		= lim	1		=
x→∞ x x→∞			1

Ответ: lim ln3x = 0.

x→∞ x

lim ln3x . x→∞ x

lim 1 = 1 = 0. x→∞ x ∞

Вывод: функция y = ln3x (натуральный логарифм) при x → ∞ растет медленнее, чем линейная функция y = x. Изобразите графики этих функций на плоскости xOy.

Пример 32.

Найти

lim

ln2x

x→∞ x3

Решение

ln2x

lim

= lim

lim

= 0.

x→∞ x3

x→∞ 3x2

3 x→∞ x3

∞

Ответ:

lim

ln2x

= 0.

x→∞ x3

Вывод.

Логарифмическая

функция

y = ln2x

(натуральный

логарифм) при

x → ∞ растет медленнее, чем степенная функция y = x3.

Изобразите графики этих функций на плоскости xOy.

Пример 33. Найти

lim

x→∞ 2x

Решение

lim

= lim

= 0.

x→∞ 2x

x→∞ 2xln2

∞

Ответ:

lim

= 0.

x→∞ 2x

Вывод. Линейная функция y = x

при x → ∞ растет медленнее, чем

показательная

функция

y = 2x. Изобразите графики этих

функций на

плоскости xOy.

Пример 34. Найти

lim

x→∞ 2x

Решение

∞

3x2

∞

3 2x

∞

lim

= lim

lim

x→∞ 2x

∞

x→∞ 2xln2

∞

x→∞ 2x (ln2)2

∞

= lim

= 0.

(ln2)3

∞

x→∞ 2x

Ответ:

lim

= 0.

x→∞ 2x

Вывод. Степенная функция y = x3 при

x → ∞ растет медленнее,

чем показательная функция

y = 2x. Изобразите графики этих функций на

плоскости xOy.

Возникает вопрос. Справедливы ли следующие утверждения?

1. Логарифмическая

функция

при

x → ∞

растет медленнее, чем

степенная функция;
2.	Степенная функция при	x → ∞ растет	медленнее,	чем
показательная функция.
3.	Логарифмическая функция	при x → ∞ растет	медленнее,	чем
показательная функция.

Внимание. Речь идет о логарифмической функции с любым основанием, а не только о натуральном логарифме.

3.ФУНКЦИЯ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Предположим, даны две переменные величины x и y . Переменная x независимая, ее называют аргументом. Переменная y зависит от x ,

закон f описывает эту зависимость, например, y = x2 . Здесь закон f есть возведение независимой переменной x в квадрат. Зависимость y от x записывается y = f (x), и y называется функцией от x .

Множество значений переменной x , при которых функция y = f (x)

имеет смысл, называется областью определения функции либо

областью допустимых значений функции.

Пример 35. Найти область определения функции y =			3x + 5	.
Пример 35. Найти область определения функции y =				.
			x − 2
Решение
Заданная функция y =	3x + 5	– рациональная функция, т.е. отношение
Заданная функция y =	x − 2	– рациональная функция, т.е. отношение
	x − 2

двух линейных выражений 3x + 5 и x − 2. В знаменателе находится

линейное выражение x − 2. Для того, чтобы функция	3x + 5	имела смысл,
	x − 2

необходимо и достаточно, чтобы знаменатель этой дроби был отличен от нуля: x − 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2. Отсюда вывод: областью определения заданной

функции y = 3x + 5 является вся вещественная ось за исключением x = 2.
	x − 2
Этот факт записывается: x (−∞;2)U (2;+∞).
Ответ: x (−∞;2)U (2;+∞).
Пример 36. Найти область определения функции y = ln(x + 3).
Решение
Функция	y − натуральный логарифм, т.е. логарифмическая функция,
основание	которой	есть	иррациональное	число	е ≈ 2,718:

y = loge (x + 3) = ln(x + 3). Известно, что аргумент логарифмической функции

должен быть положительным. В нашем случае аргументом функции является выражение x + 3. Следовательно, область определения функции y = ln(x + 3) записывается в виде неравенства x + 3 > 0, или x > −3, что

равносильно выражению x (−3;∞).

Ответ: x (−3;∞).

4.НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Говоря о непрерывности функции y = f (x) в точке x = a , надо заметить, что существует несколько определений непрерывности.

Первое определение

Функция y = f (x) непрерывна в точке x = a , если бесконечно малому

приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращения функции y .

Второе определение

Функция		y = f (x)непрерывна					в	точке	x = a ,	если	выполнены
требования:
1.	Функция y = f (x) определена в точке x = a , т.е. существует f (a);
2.	Существует			предел		функции		y = f (x)	при	x , стремящемся к
a слева, т.е. существует					lim f (x).
				x→ a−0
Существует предел функции y = f (x)								при x , стремящемся к a справа, т.е.
существует		lim		f (x).
	x→ a+0
3.	Предел		функции		слева равен пределу функции						справа, т.е.
lim	f (x) =	lim		f (x),	и оба этих предела равны значению функции в
x→ a−0		x→ a+0
точке x = a , т.е.			lim f (x) =			lim	f (x) = f (a).
			x→ a−0			x→ a+0

Надо заметить, что второе определение есть руководство к решению задачи на установление непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва функции. Различают разрывы первого рода и второго рода.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.201520.42 Кб92тест1.docx
#
13.04.2015243.2 Кб45тест2.doc
#
13.04.201577.82 Кб25тест3.doc
#
13.04.2015419.33 Кб40тест4.doc
#
13.04.2015100.35 Кб33тест5.doc
#
13.04.20159.56 Mб53ТЕСТЫ по математике.pdf
#
09.12.2018139.78 Кб2Тесты этика (для студентов АСТ).doc
#
11.12.2015393.22 Кб34ТЕТРАДЬ.doc
#
11.12.2015495.1 Кб114технологический процесс ВКМ.doc
#
11.12.20151.3 Mб152ти автосцепка.doc
#
11.12.20151.88 Mб110ТИпов нормы вр.doc