Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

2.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

y′x	= lim	∆y	(1.11)
	∆x→0	∆x

∆y

Отношение ∆x можно преобразовать следующим образом:

∆y = ∆y ∆u

∆x ∆u ∆x .

Подставляя полученное выражение в (1.11) и используя свойства пределов, имеем:

y′x

= lim

∆y

= lim

∆y

∆u

= lim

∆y

lim

∆u

(1.12)

∆u

∆x→0

∆x

∆x→0

∆u

∆x

∆x→0

∆u

∆x→0

∆x

Так как lim

= u′x , то нам остается доказать, что

∆x→0

∆x

∆y

lim

= yu′

(1.13)

∆x→0

∆u

Для установления справедливости равенства (1.13), необходимо доказать что ∆u → 0 при ∆x → 0 . Но функция u = u(x) имеет производную и, следовательно,

она непрерывна, а это в свою очередь означает, что при ∆x , стремящемся к нулю, ∆u также стремится к нулю. И тогда


lim ∆y = lim		∆y = y′ .
∆x→0 ∆u	∆u→0 ∆u		u

Из доказанных равенств следует справедливость утверждения 1.11. Следствие. Правило дифференцирования сложной функции остаётся в силе,

если

промежуточных аргументов

несколько.

Так,

если y = f (u) ,

u = u(v) ,

v = g(x) ,

то

y′

= y′

u′

v′ . Действительно,

этом

случае по

доказанному

утверждению u′

= u′

v′

, и следствие становится очевидным.

Пример 1.1.

(sin( x2 + 4))′ = u = x2 + 4 = (sin u )′ = cos u u′ = cos u 2x = 2x cos (x2 + 4).

Пример 1.2.

′

tg x

(

+ 1 ) =

u = e

+ 1 = (

u )

v = tg x =

e tg x + 1

tg x

1 .

co s 2 x

Пример 1.3.

2 e tg x + 1

(ln 2 c o s x )′ = u = ln co s x = (u 2 )′ = 2u u ′ = 2 ln co s x (ln v )′ = v = c o s x =

2 ln c o s x

(co s x )′ = − sin x

= −2 tg x ln c o s x.

co s x

Производная обратной функции
Пусть	y = f (x) и x = ϕ( y) -	взаимно обратные функции, т.е. такие, что
y = f (ϕ( y ))	и x = ϕ( f (x)).
Предложение 1.12. Если функция		y = f (x) строго монотонна на некотором
		′
интервале и имеет не равную нулю производную f (x) в некоторой точке х
этого интервала, то обратная ей функция x = ϕ( y) также имеет производную

′

ϕ ( y) в соответствующей точке y , причём эта производная определяется

равенством ϕ′( y) =

или x′y

f ′(x)

′

Доказательство. Рассмотрим обратную функцию x = ϕ( y) .

Дадим аргументу y

приращение ∆y ≠ 0 .

Ему соответствует приращение ∆x

обратной функции,

причём ∆x ≠ 0 в

силу

строгой

монотонности функции

y = f (x) . Поэтому

можно записать

∆x

(1.14)

∆

∆y

Если ∆y → 0 ,

∆x

то, в силу непрерывности обратной функции, приращение

∆x → 0 . И так как lim

∆y

= f ′(x) ≠ 0 , то из (1.14) следуют равенства

∆x →0

∆x

∆x =

lim

, т.е. ϕ′( y) =

∆y

′

∆y→0

∆y

′

f (x)

lim

∆x

→0

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 1.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти

производную y′x

для функции y = 3

x −1.

Решение.

Обратная функция x = y 3 +1 имеет производную x′y = 3y2 . Следовательно,

y ′x =

x ′y

3 y 2

3 3

( x −1) 2

Производные обратных тригонометрических функций

В этом пункте будут установлены правила дифференцирования обратных

тригонометрических функций.											y = arcsin x ,					y = arccos x ,
Предложение 1.13: Производные									функций		y = arcsin x ,					y = arccos x ,
y = arctg x , y = arcctg x	находятся по формулам
(arcsin x)′ =	1	,				x	<1 ;			(arccos x)′ = −			1	,		x	<1 ;
	1												1


	1− x2			(					)		1		− x2		(		)
	1− x2			(					)		1		− x2		(		)
(arctg x)′ =					1				(arcctg x)′		1
								,			= −		.
			1+ x2					,			= −	1+ x2	.

Доказательство.

Доказательство

проведем

для двух

функций

arcsin x и

arcctg x ; для двух оставшихся функций доказательства аналогичны.

1. Если y = arcsin x , то x = sin y . Используя правило дифференцирования

обратной функции, имеем

y′ =

(sin y )′

cos y

Но cos y =

Отсюда

и из

предыдущего

равенства

1 − sin 2 y =

1 − x2 .

получаем

y′ = (arcsin x)′ =

(имея в виду, что

<1).

− x2

2. Если y = arcctg x , то x = ctg y . По формуле для производной обратной

функции имеем

y′ =

= −sin2

y .

′

(ctg y) y

−

sin

Используя тригонометрическое тождество 1+ ctg2 x =

, получим

sin2

′

= −sin

= −1 + ctg

2 y = −1 + x2 .

Предложение доказано.

Сводка основных формул дифференцирования

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведённой ниже таблице формул дифференцирования аргумент х заменён на промежуточный аргумент u.

Правила дифференцирования

(u ± v)

′

= u

′

± v ;

(u v)

′

в частности,

(cu )

′

= u v + uv ,

= c u ;

′

− uv

′

cu′

u v

в частности

= −

;

y′x = yu′ u ′x ;

y′x

x′y

Формулы дифференцирования

1.(c)′ = 0 ;

10.

11.

12.

Пример 1.5.

(u a )′ = a u a−1 u′ , в частности, (

)′ =

u′

;

′

= −

u′;

(a u )′ = a u ln a u ′, в частности, (eu )′ = eu u′ ;

(log a u)′ =

u′ , в частности (ln u)′ =

u′;

u ln a

(sin u)′ = cos u u ′ ;

(cos u)

′

= −sin u u ;

(tg u)

′

= cos 2 u u ;

(ctg u)

′

= − sin 2

u u ;

(arcsin u)′ =

u′ ;

− u 2

′

(arccos u)

= −

u ;

1− u 2

(arctg u)

′

1+ u 2 u ;

(arcctg u)

′

= −1

+ u 2

u ;

Найти производную функции

2x3

= tg x.

2 x 3 ′

(x 3 )′ tg x − x 3 (tg x )′

3 x 2 tg x − x 3

Решение.

y ′ =

= 2

(tg x )

= 2

cos

(tg x )

tg x

Пример 1.6. Найти производную функции y = cos (ln3 2x ).

Решение.

y′ = − sin (ln

3 2 x ) 3ln

2 2x

2 .

2 x

5 − x

Пример 1.7. Найти производную функции y =

tg x +1

y′ = (5 − x )′ (tg x + 1) − (5 − x ) (tg x + 1)′ =

− (tg x + 1) − (5 − x )

Решение.

cos2 x

(tg x + 1)2

Пример 1.8. Найти производную функции y = arcsin x +0,5 . Решение.

y′ = (arcsin		)′ =	1			(		)′ =	1	1	=
	x + 0,5						x + 0,5


			1 −		2		1		− x − 0,5 2 x + 0,5
				x + 0,5

	1				1	1		1	.
=	2			= 2			=
		0, 5 − x	x + 0, 5			(0, 5 − x)( x + 0,5)		1 − 4 x 2

§1.5. Дифференциал

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Этому понятию и будет посвящен настоящий параграф.

Определение дифференциала

Рассмотрим функцию y = f ( x) , которая имеет производную y′ = f ′(x) в

точке х и в некоторой окрестности этой точки. Значению х дадим приращение х. Обозначим у соответствующее приращение функции. Согласно

определению производной, мы можем записать

y ' = lim ∆y = f '(x) .

∆x→0 ∆x

На основании теоремы о связи предела и бесконечно малой величины мы можем записать, что в некоторой окрестности точки х справедливо равенство

		∆y	= f '(x) + α(∆x),	(1.15)
		∆x

где α(∆x) – бесконечно малая			величина при ∆x → 0 . Умножая обе части
соотношения (1.15) на х, получим:
			′	(1.16)
		∆y = f (x) ∆x + ∆x α(∆x) .
Если	′
	f ( x) ≠ 0 , то первое слагаемое в (1.16) имеет тот же порядок малости,
что и х,	а второе слагаемое ∆x α(∆x), при делении на			x стремится к нулю

при ∆x → 0 ,			т.е. имеет порядок малости более высокий, чем первое слагаемое.
Величина	f	′	(x) ∆x , уже вне зависимости от равенства нулю величины	′
				f (x) ,

называется дифференциалом функции. Итак, мы пришли к следующему определению.

Определение 1.2. Дифференциалом функции y = f ( x) в точке х называется произведение производной y′ = f ′(x) , вычисляемой в заданной точке х, на

приращение аргумента ∆x .

Дифференциал обозначают dy или df ( x) , таким образом

dy = df ( x) =	′	или dy = y	′	∆x	(1.17)
	f ( x) ∆x

Как следует из определения, дифференциал зависит от двух переменных - точки дифференцирования х и приращения ∆x . Из (1.16) и (1.17) вытекает равенство

∆y = dy + dx α(∆x) ,

(1.18)

т.е. дифференциал функции dy и её приращение ∆y отличается друг от друга на бесконечно малую величину ∆x α(∆x), более высокого порядка чем ∆x . Если

пренебречь бесконечно	малой величиной ∆x α(∆x), то (1.18) даёт
приближенное равенство	∆y ≈ dy . Это равенство означает, что при достаточно

малых ∆x приращение функции с большей степенью точности можно заменить

её дифференциалом. Заметим, что если	y = x , то dy = y′ ∆x = ( x)′ ∆x = ∆x . С
другой стороны dy = dx , и мы имеем весьма важное соотношение
∆x = dx .	(1.19)

Учитывая это последнее равенство, соотношения (1.17), определяющее дифференциал, перепишем в виде

′	′	dx .	(1.20)
df (x) = f (x)dx или dy = y
Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим функцию y = f ( x) , которая	в точке х		имеет производную

y′ = f ′(x) . На рис.1.3 график функции выделен жирной линией. Прямая АС –

касательная к графику функции, проведенная

в точке х и имеющая угол наклона к оси Ох,

равный α. Из приведенного рисунка видно,

что

– приращение аргумента,

= ∆y -

приращение

функции.

Очевидно,

α =

′ ∆

y x , т.е.

дифференциал функции. Следовательно,

= ∆x α(∆x) .

Отсюда

вытекает,

что

геометрически дифференциал представляет

x+∆x

собой приращение ординаты касательной к

Рис.1.3

графику функции, проведенной в точке х.

Таким образом, замена

∆y на dy

геометрически означает замену части

кривой графика функции частью касательной к этой кривой.

Из нашего рисунка видно, что дифференциал dy прямо пропорционален приращению аргумента x. Этот же вывод следует непосредственно из формулы dy = y′ ∆x , т.е. y′ – это коэффициент пропорциональности. Отсюда

можно сделать вывод: заменяя у на dy полагаем, что приближенно малые изменения функции пропорциональны соответствующим им малым изменениям аргумента, т.е. при малых изменениях всякая функция, имеющая производную, ведет себя как линейная.

Приведем ряд примеров нахождения дифференциалов.

Пример 1.9. y = x3 + 4x2 + 3, dy = (3x2 + 8x )dx .

Пример 1.10. y =		, dy =	dx	.
	x

			2 x


Пример 1.11.	y = x5 , dy = 5x4dx .
Пример 1.12.	y = arctg2x , dy =			2dx	.
	1			+ 4 x2
Пример 1.13.	y = ln x , dy =	dx	.
Пример 1.13.	y = ln x , dy =		.
		x

arcctgln x

Пример 1.14. y = e

, dy = e

arcctg ln x

dx .

−

1 + ln

arcctg ln x

Применение дифференциалов в приближенных вычислениях

Применение дифференциалов в приближенных вычислениях основано на приближенном равенстве

∆y ≈ dy .

Но в этом соотношении	∆y = f (x + ∆x) − f (x) , dy = f ′(x) ∆x .		Отсюда
получаем формулу приближенного		вычисления функции y = f ( x)	в точке
x + ∆x , т.е. имеем		′	(1.21)
f (x + ∆x) ≈		′
f (x + ∆x) ≈		f ( x) + f ( x) ∆x

Пример 1.15. Вычислить приближенно 16,06 .

Решение. Рассмотрим функцию y =x . По формуле (1.21) имеем:

≈

+ (

)′ ∆x =

∆x

x + ∆x

2 x

Так как x =16, ∆x = 0,06 , то получаем

≈ 4 +

0, 0 8

= 4 , 0 1 .

1 6 ,0 8

2 4

Вычисления на калькуляторе дают значение 4,0099875 . Абсолютная погрешность составляет около 0,0000121.

Инвариантность формы записи дифференциала

Выше была установлена форма записи дифференциала dy = y′x dx в случае,

когда х является независимой переменной. Покажем, что данная форма имеет место и в том случае, когда х является функцией от произвольной переменной t.

В самом деле, если			y = f ( x) и x = ϕ(t) , и тогда дифференциал dy находится по
формуле					dy = yt′dt	(1.22)
					dy = yt′dt	(1.22)
Используя		правило			дифференцирования сложной	функции, можно
′	′	′	′	′	(t ) .Отсюда и (1.22) имеем
записать yt	= yx	xt = yx		ϕ	(t ) .Отсюда и (1.22) имеем
					dy = y 't x 't ∆t	(1.23)
Но x 't ∆t = dx . Окончательно из (1.23) имеем dy = y 't dx ,						а это означает, что

форма записи дифференциала dy сохраняется независимо от того, является ли х независимой или зависимой переменной. Это свойство называют инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Особо	следует отметить, что форма записи	дифференциала в	виде
dy = y 't ∆x	верна только в том случае, когда х – независимая переменная. Если
же аргумент x является зависимой переменной,		например, x = ϕ(t) ,	то,

очевидно, что ∆x и dx не совпадают.

§1.6. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть

функция

y = f ( x)

определена на

интервале

(a,b)

дифференцируема

каждой

точке этого

интервала,

т.е.

для любого

(a,b) существует

′

= f (x) . Тогда эту производную можно рассматривать

как

функцию независимого

переменного

тем самым

ставить

вопрос

производной для функций y

′

f (x) .

Производную от производной будем называть второй производной или

производной

второго

порядка

исходной

функции

y = f ( x) .

Вторую

производную будем обозначать либо y′′, либо

f ′′( x) .

′′

′

Например, для функции y = arctg x

имеем:

= −

2 .

y =

1+ x

)

1+ x

(

Аналогично

производная

от

второй

производной

′′

= f (x) называется

третей производной или производной третьего порядка функции

y = f ( x)

обозначается либо y

′′′

, либо f

′′′

( x)

Производной

порядка

(n +1)

называется

производная

от

производной

порядка n. Эти производные обычно обозначаются специальным образом

y(4) = f (4) (x),

y(5) = f (5) (x), ... , y(n) = f (n) (x) .

Порядок производной берется в скобках, чтобы производную n-го порядка

y(n)

отличить от n-ой степени функции yn .

Рассмотрим функцию y = f ( x) , заданную на интервале (a,b) и пусть эта

функция имеет все производные вплоть до порядка n.

Если

∆x = dx

–

приращение аргумента х, то выражение d n y , определяемое равенством

dn y = y(n) (dx)n ,

называют дифференциалом n-го

порядка.

Обычно

используют

обозначение

(dx)n = dxn , в этом случае дифференциал порядка n записывается в виде

d n y = y(n)dxn

Из последнего равенства можно формально написать, что

y(n ) =

d n y

(1.24)

dxn

Правая часть (1.24) обычно используется для выражения n-ой производной функции y = f ( x) .

Для закрепления материала решите самостоятельно следующие примеры и задачи.

Найти производные функций:

1.1.	y = 11x2 + 6 x + 9 ;	1.2.	y = 5x4 + 6 x3 + 8 x + 9 ;
1.3.	y = 12 x2 + 5 x + 6 ;	1.4.	y = a x +1 + xa+1

1.5.

y = cos 3x tg 7x ;

1.7.

y =

cos 3x

− sin

;

tg x

;

1.9.

y = 7 2x −1 +

x −

1.11.

y = arcsin (cos x2 );

1.13.

y = arccos (sin x ) ;

1.15.

y = sin (cos (tg x )) ;

1.17.

y = ln

e x

;

1 + ex

1.19.

y = x2 sin x lg x .

1.21.

y = 25sin x ;

1.23.

y =

;

log 2

1.25.

y =

log32 x

;

sin x

1.27.

y = ln

e x

;

−1

1.29.

y =

1 + x

+ 3 x

− x x 4

y = ln (x +

);

1.31.

1 + x2

y = ln (

);

1.33.

1 + e2 x

+ e4 x

y = (x −1)

;

1.35.

1.37.

y = (ln (x −1))x ;

1.39.

y = ln 5

;

5 x

− e

−5 x

1.6.	y = 3			ctg x
1.8.				1
	y = sin
	y = sin
				x
1.10.
	y = 3 1+
	y = 3 1+									x +1
1.12.	y =(sin x +cos x)3
1.14.	y = arcsin
1.14.	y = arcsin											ctg x
1.16.	y = arctg						1
1.16.	y = arctg							x
								x
1.18.	y = 3
1.18.	y = 3		tg (6 x) +1;
1.20.	y =				tg x ln x
1.20.	y =			x	tg x ln x
1.22.				ln2 x
1.22.	y = 5
1.24.	y =
1.24.	y =			log3 x
1.26.	y = 3x x4 + 3
1.26.	y = 3x x4 + 3															π
1.28.					x
	y = e								arctg2 x;

						3
1.30.	y =	1											x +1
				ln													;

														2
		3									x			2
		3									x				− 2x

1.32

y = ln (e2 x +1)− 2arctg(ex );

sin3

( x

1.34.

y = arctg

+ 2

3 x

1.36.

y =

sin x ;

1.38.

y = (arctg x)arcsin x

1− x

1.40.

y = arccos

− e

;

1+ x

Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления

§2.1. Теорема Ролля

Многие приложения производной основаны на теореме Лагранжа о конечных приращениях функции. Эта теорема будет доказана ниже. Для её доказательства используется теорема Ролля о нуле производной, которая формулируется следующим образом:

Теорема 2.1 (Ролля). Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), тогда, если на концах отрезка функция принимает равные значения, то существует точка c,

принадлежащая	(a,b), в которой производная функции f (x) равна нулю,
т.е. f ′(c) = 0 .	Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она
Доказательство.	Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она

достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, которые обозначим соответственно M и m. При этом возможны два случая: M = m или M и m не равны.

1) если	M = m ,	то y = f (x)	–	постоянная величина, следовательно,
f ′(x) = 0 во всех точках отрезка [a,b]				, т.е.,
					y
в качестве	точки c	можно взять	любую

точку из интервала (a,b).

2) если M и m не равны, то функция
y = f (x) не является постоянной. Согласно
условию теоремы f (a) = f (b) , поэтому хотя		a		с b	x
бы одно из значений M или m функция		a		с b	x
бы одно из значений M или m функция			Рис.2.1
принимает во внутренней точке интервала			Рис.2.1
(a,b). Не уменьшая общности, можно
(a,b). Не уменьшая общности, можно
предположить, что f (c) = m , где a < c < b . Найдём производную функции					f (x)
в точке c. По определению	f (c + ∆x) − f (c )
f '(c) = lim	f (c + ∆x) − f (c )			.	(2.1)
f '(c) = lim				.	(2.1)
∆x→0		∆x

Так как в точке a= c функция f (x) достигает своего минимума, то при любом

значении	∆x	всегда выполняется неравенство
				f (c + ∆x) − f (c) > 0 .				(2.2)
Если ∆x	>	0,	то	f (c + ∆x) − f (c)		> 0 и, следовательно,		согласно (2.1),

				∆x	f (c + ∆x)− f (c)
f ′(c) ≥ 0 .	Если		же	∆x < 0, то			< 0 и,	следовательно,
						∆x

f ′(c) ≤ 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.09.201940.89 Кб5ДЗ Экология 1 курс.docx
#
11.04.20153.6 Mб175Диплом Баженов испр. М.Л.М..doc
#
11.04.2015213.11 Кб77диплом2.docx
#
11.04.20151.35 Mб115Дискретная_матем1.doc
#
11.04.2015836.61 Кб31Дискретная_матем2.doc
#
11.04.20152.86 Mб103ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник.pdf
#
11.04.2015183.81 Кб12ДКБ Реферат.doc
#
11.04.20153.48 Mб43ДМ Практикум.pdf
#
11.04.2015518.14 Кб29ДМ_гл1_DO.doc
#
16.09.2019501.25 Кб3ДМ_гл1_TM_чит.doc
#
11.04.2015484.86 Кб13ДМ_гл2_DO.doc