ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник

Теорема доказана.

Следствие 2.1. Условие дифференцируемости функции (2.1) можно представить в виде

∆z = ∂∂xz ∆x + ∂∂yz ∆y + γ ,

где γ = α ∆x + β ∆y = o(ρ) - бесконечно малая величина при ∆x → 0 и ∆y → 0 . Здесь o - «о малое» (см. раздел I §3.7), ρ = ∆x2 + ∆y2 .

Формула для вычисления полного дифференциала вытекает из равенств

(2.3):

Заметим, что из непрерывности функции и существования частных производных еще не следует дифференцируемость функции.

Например, функция z = 3 xy в точке O(0;0) непрерывна и имеет частные

производные, но не дифференцируема в этой точке. В самом деле, непрерывность функции в начале координат вытекает из равенства

lim 3 xy = 0 = f (0,0). Вычислим частные производные этой функции в этой

x→0 y→0

Обе частных производных в точке O(0;0) равны 0. Исследуем теперь функцию

на дифференцируемость. Для этого проверим, можно ли приращение функции в точке (0,0) представить в виде

f (x, y) − f (0,0) = fx′(0,0)x + f y′(0,0) y + α(x) x + β( y) y ,

где α(x) и β( y) - бесконечно малые величины для, соответственно, x и y, стремящихся к нулю. В нашем случае эта формула будет иметь вид

121

3xy = α(x) x + β( y) y = o (x2 + y2 ).

Проверим, справедливо ли это утверждение. Для этого рассмотрим предел

предел не существует, и, таким образом, 3xy ≠ o(x2 + y2 ) при (x; y ) → (0; 0) ,

то есть функция z = 3 xy в точке O(0;0) не дифференцируема.

Достаточные условия дифференцируемости функции даны в следующей теореме, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 2.2. Если функция z = f (x, y ) имеет непрерывные частные производные z′x и z′y в точке M (x; y ) , то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой (2.4).

Дифференциал dz функции двух переменных z = f (x, y) обладает теми же свойствами, что и дифференциал функции одной переменной:

1)d (c z) = c dz , где c = con st ,

2)d (u + v) = du + dv ,

3)d (uv) = u dv + v du ,

dw = d (uv) = v du + u dv .

Полный дифференциал функции нескольких переменных обладает, как и в одномерном случае, свойством инвариантности формы. Это будет доказано в следующем параграфе.

§2.3. Дифференцирование сложной функции и неявной функции

Пусть z = f (x, y) - функция двух переменных, каждая из которых является функцией независимой переменной t, то есть x = x(t) , y = y(t) . В этом случае функция z = f (x(t), y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t , а переменные х и у - промежуточные переменные.

122

Теорема 2.3. Если z = f (x; y) - дифференцируемая в точке M (x; y) D функция и x = x(t) и y = y(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t , то производная сложной функции z = f (x(t), y(t)) вычисляется по формуле

т.е.

dzdt = ∂∂xz dxdt + ∂∂xz dydt + 0 dxdt + 0 dydt ,

что и требовалось доказать.

Пусть z = f (x, y), где x = x(u, v), y = y(u, v) . Тогда z = f (x(u,v), y(u,v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные

123

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и y) на их производные по соответствующей независимой переменной (u или v).

Преобразуем правую часть полученного равенства:

Теперь, используя правило дифференцирования сложной функции, покажем, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z = f (x, y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Рассмотрим сложную функцию z = f (x, y) , где x = x(u, v), y = y(u, v) , т.е. функцию z = f (x (u,v), y (u, v)) = F (u,v), где u и v - независимые переменные. Найдем полный дифференциал этой функции

124

Следовательно, дифференциал сохранил свою форму, хотя смысл дифференциалов dx и dy здесь уже совершенно другой.

функцию z(x, y) . Получим тождество F (x , y , z (x, y )) ≡ 0 . Дифференцируя это

выражение по переменным х и у, получим

∂∂x F (x , y , z (x, y)) = ∂∂Fx + ∂∂Fz ∂∂xz = 0 ,

∂∂y F (x , y , z (x, y )) = ∂∂Fy + ∂∂Fz ∂∂yz = 0 .

Замечание 1. Уравнение F(x, y, z) =0 не всегда определяет одну переменную как

функции.

Имеет место следующее утверждение, которое мы приведем без доказательства.

125

Теорема 2.4. (о существовании неявной функции). Если функция F(x, y, z) =0 и

непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (x0 ; y0 ) и такую, что f (x0 , y0 ) = z0 .

Замечание 2. Уравнение F(x, y) =0 задаёт неявную функцию одной

переменной. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

области D , существуют в каждой точке этой области.

В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных x и y, также определенных в области D . Эти функции могут, в свою очередь, иметь частные производные, называемые вторыми частными

126

производная.

Замечание. Запись, например, « ∂2 z » не означает возведение в квадрат. Читать

∂x2

её следует так «д два зет по д икс дважды».

Пример 2.11. Найти все вторые частные производные функции z = x3 y2 − x2 y4 . Решение. Сначала найдем первые частные производные:

∂∂xz = 3x2 y2 − 2xy4 , ∂∂yz = 2x3 y − 4x2 y3 .

Теперь дифференцируя каждую из полученных частных производных еще раз по каждой переменной, получим уже четыре частных производных второго порядка:

Заметим, что в последнем примере смешанные частные производные оказались равными. Это не случайно. Вообще, имеет место утверждение:

Теорема 2.5 (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные частные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, непрерывные смешанные частные производные второго порядка равны между собой

дифференцируема в каждой точке M области D .

Тогда дифференциал первого порядка этой функции равен dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy .

Для сокращения записи второго и последующих дифференциалов введем символ d при помощи сокращения d = ∂∂x dx + ∂∂y dy и определим операцию

127

возведения этого символа в степень n как операцию возведения двучлена

Тогда мы можем применить символ d для вычисления дифференциалов любого порядка

И, наконец, выражение для дифференциала порядка n можно записать в форме:

§2.5. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция z = f (x, y) задана в окрестности точки M0 (x0 ; y0 ) и n +1

раз дифференцируема в этой окрестности. По аналогии с тем, как было сделано с функцией одной переменной, можно представить функцию двух переменных