ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник

Функция может быть задана в виде таблицы. Например, измеряя температуру воздуха в течение суток через каждый час, мы получим таблицу, которая соответствует функции T = f (t) .

Итак, мы определили три типа задания функции. Очевидно, что для функции, заданной формулой, можно построить и соответствующий ей график и таблицу.

Решение обратной задачи – по графику функции восстановить её формулу

– не всегда вполне определено. Как для функции, заданной графически или таблично, выписать формулу, ее выражающую? Возникает вопрос: а что называть формулой? В частности, вкладывать ли в понятие формулы только конечное число действий?

Во всяком случае, для нас важно, что каким бы из перечисленных выше способов функция ни была бы задана, она является объектом изучения математического анализа.

§2.2. Простейшие свойства функций

Процесс изучения функций состоит в исследовании ее поведения при изменении независимой переменной. Всюду в дальнейшем предполагается, что независимая переменная изменяется, возрастая и принимая все промежуточные значения. Расширяя наши познания, мы будем давать, все более подробное описание функции. Свои исследования начнём, используя только элементарные свойства, доступные из школьного курса математики. Рассмотрим следующие простейшие свойства функции:

1.Наличие нулей;

2.Четность и нечетность;

3.Периодичность;

4.Рост и убывание.

21

Остановимся подробнее на каждом из этих свойств.

Определение 2.2. Если f (x0 ) = 0 , то число x0 называют нулем функции.

Если для всех x (a,b) функция f (x) положительна ( f (x) > 0 ), то на

данном интервале график функции находится выше оси абсцисс; если же для всех x (c, d ) функция f (x) отрицательна, то на интервале (c, d ) график

функции f (x) находится под осью абсцисс (рис.2.6). В нулях функции график пересекает ось абсцисс или касается её.

Определение 2.3. Функция y = f (x) называется четной, если для всех значений х из области определения выполняется равенство f (−x) = f (x) ;

функция называется нечетной, если для всех значений х из области определения выполняется равенство f (−x) = − f (x) .

Отметим, что область определения как четных, так и нечетных функций симметрична относительно начала системы координат.

Так функция y = x2 является четной. Если же рассматривать эту же функцию y = x2 , но заданную, например, только на интервале (0;1), то она

четной уже не является.

Примерами четных функций, заданных на всей числовой оси, служат также функции y = cos x , y = sin (x2 ), y = x . Примерами нечетных функций служат функции y = 3x , y = tg x . Отметим, что функция не обязательно должна

называть функциями общего вида.

Отметим, что графики четных функций симметричны относительно оси Oy (рис.2.7); график любой нечетной функции симметричен относительно

начала координат (рис.2.8). В самом деле, пусть точка M (x, y) принадлежит графику четной функции y = f (x). Точка M ′(−x, y) симметричная точке M относительно оси Oy также принадлежит графику этой функции в силу того,

y = f (x), так как f (−x) = − f (x) = −y .

22

что если t - период, то числа 2t , 3t , −t , −2t также являются периодами. В самом деле, например,

f (x + 2t) = f ((x + t) + t) = f (x + t) = f (x) ; f (x − 2t) = f ((x − 2t) + 2t) = f (x) .

бесконечно много периодов.

Учитывая это и говоря о периоде функции, мы будем иметь в виду наименьшее положительное число T для которого выполняется равенство

f (x +T ) = f (x) .

Примерами периодических функций являются тригонометрические функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x . Первые две из них имеют

период 2π, вторые две – период π. y

x

O

Рис. 2.9

Особо следует отметить, что если периодическая функция с периодом T не определена в точке x0 , то она не определена во всех точках x0 + kT ,

23

Для построения графика периодической функции, достаточно построить

слева направо (т.е. по возрастанию аргумента), то график поднимается вверх (дуга AB), для убывающей функции график опускается вниз (дуга BC).

Интервал изменения аргумента, в котором функция возрастает, называется интервалом возрастания, а интервал, в котором функция убывает, называется интервалом убывания. Интервалы возрастания и убывания функции называют интервалами монотонности.

Функцию y = f (x) называют неубывающей на интервале (a,b) , если для любых x1, x2 (a,b) таких, что x1 < x2 , вытекает нестрогое неравенство f (x1 ) ≤ f (x2 ) . Соответственно, функция называется невозрастающей, если для любых x1, x2 (a,b) таких, что x1 < x2 , выполняется нестрогое неравенство

f (x1 ) ≥ f (x2 ) .

При построении графиков функции выделяются интервалы возрастания и убывания функции, а также интервалы ее постоянства.

Если график функции известен, то нахождение интервалов монотонности не вызывает затруднения. Наша цель – научиться находить участки монотонности и в том случае, когда график функции неизвестен.

§2.3. Понятие обратной функции

24

По определению функции, фиксируя значение переменной величины x, получаем соответствующее значение y . Спрашивается, возможно ли поменять

местами x и y , т.е. считать y - аргументом, а x - функцией? Но тогда уравнение (2.1) определяет x, как неявную функцию y . В этом случае функция x от переменной y называется обратной по отношению к исходной функции.

Если уравнение (2.1) разрешимо относительно x, то можно получить явное выражение обратной функции

Например, в формуле пройденного пути свободно падающего тела

S = gt22

время t - аргумент, а S - функция. Разрешив это уравнение относительно t , получим функцию, обратную данной функции.

В общем случае, если придерживаться стандартных обозначений и обозначать независимую переменную x, а функцию y , то обратную функцию

нужно записать в виде

y = ϕ(x) .

Функции y = f (x) и y = ϕ(x) - взаимно обратные. Например, функции

y = 2x и y = log2 x взаимно обратные.

Обратную функцию, в нашем понимании, может иметь только монотонная функция. В некоторых случаях для получения обратной функции вводят дополнительные ограничения на ее возможные значения. Например,

неоднозначная функция x = ± y является обратной для функции y = x2 . Если условиться, что берётся лишь арифметическое значение корня, то обратная

25

y = ϕ(x) , то график одной этих функций есть зеркальное отображение графика другой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т.е. прямой y = x (рис.2.11). В самом деле, если точка M (x, y) лежит на графике одной из этих функций, то тогда симметричная относительно указанной биссектрисы точка N ( y, x) непременно лежит на графике другой.

§2.4. Элементарные функции

Для определения элементарных функций нам потребуются хорошо известные из школьного курса функции, которые называют простейшими или

основными элементарными функциями. К ним относятся:

•степенная функция y = xa ;

•показательная функция y = ax , a > 0, a ≠ 1;

•логарифмическая функция y = loga x , a > 0, a ≠ 1;

•тригонометрические функции y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x ;

• обратные тригонометрические функции y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x .

Для удобства дальнейшего изучения введем понятие сложной функции. Рассмотрим две функции (компоненты) y = f ( x) и y = g(x) . Пусть при этом

область определения функции y = f ( x) содержит область значений функции y = g(x) , т.е. E (g ) D( f ). Тогда можно рассматривать функцию y = f (g (x)),

которую называют композицией (суперпозицией) функций f (x) и g( x) .

Заметим, что и область определения, и область значений такой функции от функции может не совпадать с соответствующими областями компонент. Будем называть сложной функцией всякую композицию основных

элементарных функций. Например, для двух функций y = x2 и y = sin x можно

y = ln (ln (ln x)) и т.д.

Определение 2.6. Элементарной функцией называется функция, полученная из простейших функций с использованием конечного числа арифметических действий и конечного числа операций композиции (взятия функции от функции).

Остановимся более подробно на простейших элементарных функциях, достаточно полно изученных в курсе средней школы.

26

27

• Показательная функция y = ax , a > 0, a ≠1. Функция определена на всей

числовой оси. Значение этой функции всегда положительно, следовательно, ее график проходит над осью абсцисс. При любом значении a график функции

всегда проходит через точку M0 (0;1), ввиду того, что a0 =1. При a >1,

функция возрастает и при 0 < a <1 – убывает. На рис.2.15 приведены графики показательной функции.

y = ax

логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной. Отсюда вытекает, что график логарифмической функции получается из графика показательной функции с помощью зеркального отображения последнего

подробнее.

Функция y = sin x имеет областью определения всю числовую ось и

Графиком функции y = sin x является синусоида (рис.2.17).

28

функция имеет период, равный π. При приближении слева к значению x = π2

функция y = tg x неограниченно растёт, а при приближении справа к значению x = − π2 она неограниченно убывает.

График функции приведен на рис.2.18.

Функция y = ctg x не определена при x = kπ, где k = 0, ±1, ± 2,... . Функция имеет период, равный π. При приближении слева к значению x = 0 функция y = ctg x неограниченно убывает, а при приближении справа к значению x = π она неограниченно возрастает.

График этой функции изображен на рис.2.19.

Рис. 2.18

Рис. 2.19

29

• Обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x . Рассмотрим каждую из этих функций.

функции есть не что иное, как синусоида, Рис. 2.20 идущая вдоль оси ординат (рис.2.20). Нетрудно

видеть, что справедливо равенство

Arcsin x = (−1)k arcsin x + kπ, k = 0, ±1, ± 2,...

30