ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник

График функции y = arctg x изображен на рисунке 2.22.

Функция y = arcctg x , по определению, есть дуга в интервале (0, π), котангенс которой равен x, т.е. справедливо равенство ctg y = x .

y = Arcctg x = arcctg x + kπ, k = 0, ±1, ±2,...

График функции y = arcctg x изображен на рисунке 2.23.

§2.5. Задание функции в полярных координатах

При заданной декартовой системе координат положение точки на плоскости определяется с помощью двух чисел, а именно, значениями абсциссы и ординаты. Однако, кроме декартовой, можно использовать и другие системы координат. Напомним, что вместо декартова ортонормированного базиса на плоскости, можно в качестве базиса выбрать любые два неколлинеарных вектора. Такие системы существуют, но их постоянное употребление слишком громоздко и требует больших вычислений по сравнению с используемой нами декартовой системой координат.

Рис. 2.24

Однако, другая, так называемая полярная система координат, получила достаточно широкое распространение. Опишем эту систему подробнее. Полярная система координат вводится следующим образом:

31

-на плоскости фиксируется некоторая точка О, называемая в дальнейшем

полюсом;

-из полюса О проводим направленную прямую Ox , которую назовем

полярной осью.

Положение произвольной точки М на плоскости относительно выбранной системы координат определим двумя числами (рис.2.24). Первое число – длина отрезка OM = r . Это число назовём полярным радиусом точки М. Второе число

–угол ϕ = MOX , между полярной осью и полярным радиусом точки М. Это

число назовём полярным углом. Как обычно, угол считаем положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки. Пара чисел r и ϕ составляют полярные координаты точки М. Как и в декартовой системе координат, в этом случае, используется запись M (r,ϕ) . Очевидно, что полярный радиус r может изменяться от 0 до +∞; полярный угол ϕ меняется в пределах от −π до π (или от 0 до 2π). Для полюса О полярный радиус равен нулю, а полярный угол не определен. При решении конкретных задач могут рассматриваться и другие значения углов, т.е. углы, не входящие в указанный интервал.

Рассмотрим взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами. Для этого зафиксируем декартов базис и введём полярную систему координат, у которой полюс совпадает с началом координат декартовой системы и

Полученные формулы справедливы при любом 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Эти формулы и выражают взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами. Из

Формула (2.4) выражает полярные координаты точки через декартовы координаты этой же точки. Отметим, что для вычисления угла ϕ по формуле (2.4) нужна дополнительная информация, например, в каком квадранте находится точка M (сравните с формулами (1.11) нахождения аргумента комплексного числа).

Полярные координаты интересны тем, что многие кривые, имеющие в декартовой системе уравнений достаточно сложный вид, в полярной системе имеют значительно более простой вид.

Приведем три примера

32

1. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R в декартовой системе координат определяется уравнением x2 + y2 = R2 .

В полярной системе координат та же самая окружность определяется уравнением r = R .

2. Достаточно простое уравнение r = ϕ, являющееся линейным относительно ϕ , определяет сложную кривую, изображенную на рис.2.25 и

называемую спиралью Архимеда.

3. Уравнение кардиоиды в декартовых координатах имеет вид

(x2 + y2 )(x2 + y2 − 2ax) − a2 y2 = 0, a > 0 .

В полярных координатах уравнение принимает значительно более простой вид: r = a(1+ cosϕ) .

График функции при a = 2 приведен на рис. 2.26.

Рис. 2.26

Рис. 2.25

33

§2.6. Уравнение кривой в параметрическом виде

Рассмотрим некоторую кривую на плоскости, уравнение которой определяется равенством F (x, y) = 0 и связывает декартовы координаты точки

x и y. Достаточно часто вместо уравнения F (x, y) = 0 даются выражения

текущих координат x и y в виде функций от некоторой переменной величины t , т.е. x = ϕ(t) , y = ψ(t) . Величину t при этом называют параметром.

Например, параметрическое уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

x = R cost , y = R sin t .

Чтобы получить уравнение функции (в неявном виде), нужно исключить параметр t. Для этого возведём обе части равенств в квадрат и, сложив, получим

x2 + y2 = R2 (cos2 t + sin2 t) = R2 .

Другой пример: параметрическое уравнение линии имеет вид: x = a cos t, y = b sin t .

Эту линию можно приблизительно построить по точкам, придавая различные значения t , и нанося точки с соответствующими координатами (x; y) на

координатную плоскость. Соединяя их линией, получим кривую – эллипс, неявное уравнение которого можно получить аналогично предыдущему примеру:

x2 + y2 =1 a2 b2

Еще пример. Пусть линия задана параметрическими уравнениями

Её уравнение в декартовой системе координат – это каноническое уравнение

График этой кривой приведен на рис.2.27.

Рис.2.27

34

Для закрепления материала решите самостоятельно следующие примеры и задачи.

2.2. Найти область определения и множество значений каждой из функций:

35

Во всех предыдущих рассуждениях число x0 – конечное число, т.е. x0 < ∞ . Возникает вопрос: как определить предел функции при неограниченном

для любого ε > 0 , существует δ > 0 такое, что при выполнении неравенства

f(x) − A < ε .

Вопределении мы не уточняем, к какой бесконечности стремится переменная

x . Совершенно очевидно, что при x → +∞ требуется выполнение неравенства

lim (x +1) = 2 .

x→1

Предел последовательности

Используя предел функции при аргументе, стремящемся к бесконечности, можно определить предел последовательности. Для этого представим последовательность как функцию целочисленного аргумента. Этот аргумент

38

обычно обозначают буквой n . Значения функции y = f (n) обозначим при этом yn . Таким образом, числовая последовательность есть не что иное, как бесконечная последовательность чисел y1, y2 ,..., yn ,... , записываемая коротко {yn}. Используя определение предела функции при x , стремящемся к бесконечности, легко определить и предел последовательности.

Определение 3.3: Число A называют пределом последовательности {yn}, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется натуральное число N такое, что для всех n > N выполняется неравенство yn − A < ε .

§3.2. Бесконечно малая величина и её свойства

Определение 3.4. Функция (величина) α( x) называется бесконечно малой при

x → x0 , если lim α(x) = 0 .

x→x0

Примеры бесконечно малых величин:

•α( x) = sin x , при x → kπ , где k - целое число;

•β( x) = cos x , при x → π2 + kπ , где k - целое число;

•γ(x) = x − 2 , при x → 2 .

Говорить о бесконечно малой величине можно только лишь подразумевая, что аргумент стремится к некоторому определенному значению, т.е. находится в окрестности некоторой определенной точки.

Имеется тесная связь между пределом и бесконечно малой величиной. Ниже будут доказаны две теоремы (прямая и обратная), на которых основаны доказательства основных свойств пределов.

Теорема 3.1 (прямая). Если функция f (x) при x → x0 имеет пределом число A , то в некоторой окрестности точки x0 функция представима в виде

f (x) = A + α(x) ,

где α( x) бесконечно малая величина при x → x0 .

Доказательство: По условию теоремы lim f (x) = A . Но тогда для произвольного

x→x0

сколь угодно малого ε > 0 , для всех x из некоторой окрестности точки x0 ( x ≠ x0 ) выполняется неравенство

f (x) − A < ε ,

а это означает, что lim ( f (x) − A) = 0 , т.е. f (x) − A = α(x) есть бесконечно малая

x→x0

величина в окрестности точки x0 . Отсюда следует, что f ( x) = A + α(x) ,

где α( x) - бесконечно малая при x → x0 . Теорема доказана.

39

справедливо неравенство

f (x) − A < ε .

Это и означает, что lim f (x) = A . Теорема доказана.

x→x0

При доказательстве основных свойств пределов нам потребуются свойства бесконечно малых величин, которые мы сейчас сформулируем и докажем.

Теорема 3.3. Сумма двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

40