ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник
.pdfДоказательство эквивалентностей 7 и 8 предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.
§3.9. Вычисление пределов с помощью эквивалентных величин
Приведенный выше список эквивалентностей играет существенную роль при вычислении пределов. Следующие теоремы обосновывают это применение.
Теорема |
3.17. |
Если f (x) f1 (x) |
и |
g (x) g1 (x), при |
x → x0 , то из |
||||||||
существования |
предела |
f1 (x) |
|
при |
x → x0 , |
следует |
существование |
||||||
g1 (x) |
|||||||||||||
|
|
f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
предела |
|
при x → x , и справедливо равенство |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
g (x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim |
f ( х) |
= lim |
f1 ( x) |
. |
(3.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
х→ х0 |
g ( х) |
x→ x0 |
g1 |
( x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим левую часть равенства (3.7). Выражение, стоящее под знаком предела, умножим и разделим на f1 (x) g1 (x). Тогда получим
|
|
lim |
f (х) |
|
= lim |
f (x) f1(x) g1(x) |
. |
|
|
|
g(х) |
|
|||||
|
|
х→х0 |
x→x0 |
g(x) f1(x) g1(x) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразуем правую часть этого последнего равенства. Учитывая, что, по |
||||||||
условию, lim |
f1 (x) |
существует, |
и, |
воспользовавшись тем, что предел |
||||
g1 (x) |
||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
произведения равен произведению пределов при условии, что предел каждого компонента существует, получаем:
|
|
|
lim |
f (x) f1 (x) g1(x) |
= lim |
f (x) |
lim |
g1(x) |
lim |
f1(x) |
. |
|
(3.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
f1(x) |
g(x) |
|
||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
g(x) f1 |
(x) g1(x) |
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
g1(x) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Так как |
f (x) ~ f1 (x), |
g1 (x) ~ g (x) при x → x0 , то |
в правой части |
(3.8) |
|||||||||||||||
lim |
f (x) |
=1 и lim |
g1 (x) |
=1. Следовательно, правая часть (3.8) равна lim |
|
f1 (x) |
. |
|||||||||||||
x→x0 |
f (x)1 |
x→x0 |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
g1 (x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом lim |
|
f (x) |
= lim |
f1(x) |
. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
g1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эффективность этой теоремы проиллюстрируем на следующем примере.
Пример 3.3. Вычислить lim |
arcsin x (e x − 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x →0 cos x − cos 3 x |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Воспользовавшись |
таблицей |
эквивалентности, |
имеем: |
|||||||
arcsin x ~ x; e x −1 ~ x; cos x − cos 3x = 2 sin x sin 2 x 4 x 2 . Тогда получаем: |
|
||||||||||
|
|
lim |
arcsin x (e x − 1) |
= lim |
x 2 |
= |
1 |
; |
|
||
|
|
|
cos x − cos 3 x |
4 x 2 |
4 |
|
|||||
|
|
x → 0 |
|
x → 0 |
|
|
|
Итак, вычисление пределов существенно можно упростить, если заменить исходную функцию на эквивалентную ей. Приведем критерий эквивалентности функций.
51
Теорема 3.18 (Критерий эквивалентности). Для того чтобы функции |
f (x) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g (x) были эквивалентными при |
|
x → x0 , |
|
|
|
необходимо и достаточно, |
чтобы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = g(x) + o(g(x)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. Необходимость. Пусть f (x) и g( x) |
|
эквивалентны, |
тогда по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определению |
|
lim |
|
f ( x) |
= 1 , |
|
и |
на основании |
теоремы о |
связи предела и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g ( x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x → x0 |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
бесконечно малой, получаем: |
|
=1 + α(x) , где α(x) |
|
– бесконечно малая при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но lim α(x)g(x) = lim α(x) = 0 . То есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x → x . Отсюда f (x) = g(x) + α(x) g(x) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
g(x) |
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
α(x) g(x) = o(g(x)), |
|
|
откуда |
|
f (x) = g(x) + o(g(x)) . |
|
Первая |
часть |
теоремы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = g(x) + o(g(x)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Достаточность. Пусть |
|
Разделив обе части последнего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равенства на g(x) и учитывая, |
|
что lim |
o(g(x)) |
|
= 0 , |
|
получаем |
lim |
|
f (x) |
=1, а это |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
g(x) |
|
g(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
означает, что |
f (x) g (x) при x → x0 . Теорема доказана полностью. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Эта теорема позволяет эквивалентные функции при x → 0 записать в виде: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. sin x = x + o(x); |
|
|
|
|
2. |
|
tg x = x + o(x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. arcsin x = x + o(x); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. arctg x = x + o(x); |
|
|
|
|
5. cos x =1 − |
|
|
|
|
|
+ o(x |
|
) ; |
|
|
6. e |
|
|
|
−1 = x + o(x); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. ln (1+ x) = x + o(x) ; |
|
8. (1 + x)α =1 + αx + o(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приведём примеры использования этих результатов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x − |
|
|
1 + |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x − |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
e |
− |
1 + x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.4. lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
3 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 arctg x − arcsin x |
|
|
2 x − x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x → 0 |
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
x |
|
x |
2 |
|
|
|
1 + |
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x ln(1+ x) = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.5. lim |
|
|
|
: |
|
|
|
|
= e |
− 2 : e |
+ 2 = |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||||||||||||||
|
ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.10. Односторонние пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим предел функции |
|
f (x) , |
когда аргумент х стремится к |
x0 , но |
причём х остается меньше x0 . В этом случае мы будем говорить о пределе
функции слева, т.е. левостороннем пределе и записывать это так: lim f (x) .
x→x0 − 0
Предел справа (правосторонний предел) определяется как предел функции f (x) , когда х стремится к x0 , но при этом х больше, чем x0 . Правосторонний
предел обозначается lim f (x) .
x→x0 + 0
52
|
|
2x −1 |
|
при x < 0; |
|||
Пример 3.6. Функция задана кусочно: f (x) = |
|
при x > 0. |
|||||
Найдём односторонние пределы в точке 0: |
2x +1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
lim |
f (x) = lim (2x −1) = −1 ; |
lim |
0 |
f (x) = lim (2x +1) =1. |
|||
x→0− 0 |
x→0 |
x→0 |
+ |
|
x |
→0 |
|
Пример 3.7. Найти односторонние пределы функции |
|
1 |
в точке 0. |
||||
f (x) = 2 |
x |
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
Решение. |
lim |
f ( x) = |
|
|
т.е. левосторонний предел существует и равен |
||
2x→0−0 |
x |
= 2−∞ = 0 , |
|||||
|
x→0− 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
нулю; lim |
f (x) = |
lim |
|
|
|
|
|
2x→0+0 x |
= 2+∞ = ∞ , т.е. правосторонний предел не существует. |
||||||
x→0+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
Совершенно очевидно, что функция |
f (x) имеет предел в точке x0 , если |
||||||
левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке равны: |
|||||||
|
|
|
|
lim f (x) = |
lim |
f (x) = lim f (x) . |
|
|
|
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
x→x0 |
Для закрепления материала решите самостоятельно следующие примеры и задачи.
3.1. lim 5x3 − x2 +1 ;
x→∞ −7x3 + x
3.4 |
lim |
|
|
|
5x2 + 7x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
− x2 + 7 ; |
||||||||
|
x→∞ x4 |
||||||||||||
3.7 |
lim |
|
|
−x2 |
+ x − 5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
+ x4 − 3x ; |
||||||||
|
x→∞ x2 |
||||||||||||
3.10 |
lim |
|
|
|
|
|
3x3 −1 |
|
|||||
5x3 + x2 − 4 ; |
|||||||||||||
|
x→∞ |
||||||||||||
3.13. |
lim |
|
|
|
x2 + x −12 |
|
|||||||
|
−x |
2 |
+ 5x − 6 |
||||||||||
|
x→3 |
||||||||||||
3.16 |
lim |
|
3x2 |
+ 8x − 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 3x |
||||||||
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
|||||||
3.19 |
lim |
|
|
|
|
|
8x3 −1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
− 5x +1 |
|||||||
|
x→1 2 6x2 |
||||||||||||
3.22 |
lim |
x2 |
− x − 2 |
|
|||||||||
3 |
+ 2x − x2 |
||||||||||||
|
x →−1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+1 |
|||||
3.25. |
lim |
|
|
1 + 2x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→−1 |
|
|
2 |
+ x + x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.28lim x −1 − 2 x − 5x→5
3.2. |
lim |
|
x3 − x |
|
|
−3x2 +1 ; |
|||
|
x→∞ x4 |
3.5 |
lim |
|
|
x2 + x +1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(x |
−1)2 ; |
|
||||
x→∞ |
|
|
|
|
|||||
3.8 |
lim |
|
5x2 |
+ 3x −1 |
; |
||||
|
|
|
x5 + x2 |
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||
3.11 |
lim |
6x2 |
− 4x + 4 |
|
|||||
|
|
8x2 |
+ x + 4 ; |
||||||
|
x→∞ |
|
|
||||||
3.14. |
lim |
x2 |
+ x −12 |
|
|||||
4 − 3x − x2 |
|
||||||||
|
x→ −4 |
|
|||||||
3.17 |
lim |
|
|
|
20 + x − x2 |
|
|||
3x2 −11x − 20 |
|||||||||
|
x→5 |
3.20lim 3x2 − x −10
x →2 6 − x − x2
3.23 |
lim |
2x2 + x −10 |
|
2 + x − x2 |
|||
|
x→2 |
3.26.limx→∞ (x − x2 − x +1)
|
lim |
|
− |
|
|
3.29 |
x + a |
x |
|||
|
x→∞ |
|
|
|
|
3.3. |
lim |
5x2 −1 |
; |
|
2x2 + 3x + 4 |
||||
|
x→∞ |
3.6 |
lim |
|
5x2 − 4x +1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x2 + x − 4 ; |
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|||||||||||||||||||
3.9 |
lim |
|
|
5x3 − x2 +12x |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
3x2 + x − |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
+ 3 x − 2 x 3 |
|
||||||||||||||
3.12 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
3( x + 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.15. |
lim |
|
x2 + x − 2 |
|
|
||||||||||||||||
x3 − x2 − x +1 |
|
||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|||||||||||||||||||
3.18 |
lim |
x 2 |
|
− 9 x + 18 |
|
|
|||||||||||||||
2 x |
2 |
+ x − 21 |
|
||||||||||||||||||
|
x →3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
3.21 |
lim |
x2 + 6x −16 |
|
|
|||||||||||||||||
2x |
2 |
+ x −10 |
|
||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.24 |
lim |
|
|
x2 − 2x −8 |
|
|
|||||||||||||||
|
2x2 + x −36 |
|
|||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|||||||||||||||||||
|
lim |
5 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.27. |
|
|
22 − x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→−3 |
1 − |
|
|
4 + x |
|
|||||||||||||||
|
limx→∞ ( |
|
|
− x ) |
|
||||||||||||||||
3.30 |
|
x2 +1 |
|
53
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.31. |
lim |
|
|
|
2x |
|
|
|
3.32. |
lim |
3 1+ 3x2 −1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→2 2 2x − x2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x2 + x3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 −1 |
||||||
3.34. |
lim |
|
|
|
|
|
x2 +1 −1 |
|
3.35. |
lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 + 2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
x→0 |
|
x2 +16 − 4 |
|||||||||||||||||||||
3.37. |
lim |
|
arctg 2x |
|
|
3.38. |
lim |
sin2 5x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
3x |
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 tg |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.40. |
lim |
|
|
|
tg kx |
|
|
3.41. |
lim |
|
|
2 arcsin x |
|
|||||||||||||||||||
|
sin mx |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.43. |
lim |
1 − cos 2 x |
|
3.44. |
lim (xctg x) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x sin x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.46. |
lim |
|
1− cos2 x |
|
3.47. |
lim |
sin αx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
sin βx |
|||||||||||||||||||||
3.49. |
lim |
( |
x |
( |
ln(2a + x) −ln(a + x) |
)) |
|
|
|
|
|
|
|
3.50. |
|
|
||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.51. |
lim(1 + 2 sin x)ctg 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.52. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.33. |
lim |
|
|
|
|
x − 2 |
− |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − 25 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|||||||
3.36. |
lim |
|
|
|
|
x + 6 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
2 |
− 5 − 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x → 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.39. |
|
|
lim |
|
|
sin 2x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
arcsin x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|||||||||||||||||
3.42. |
|
lim |
tg x −sin x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||||||||||
3.45. |
|
lim |
1− cos x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
x sin x |
|
|||||||||||||||||
3.48. |
|
lim |
|
|
|
|
xtg 2 x |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 − cos 2 x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
3x + 4 x+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ 3x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.53. |
lim x |
(ln(x) − ln(x + 2)) |
|
||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3.55. |
lim |
(( |
|
|
)( |
|
)) |
|
|
2x +1 ln(x + 3) − ln(x) |
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
3.57. |
lim [(3x + 5)(ln(x + 5) − ln(x))] |
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
3.59. |
lim x |
( |
ln(x +1) − ln(x) |
|
|
||
x→∞ |
|
|
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3.54. lim(1+ tg x)ctg x
x→0
x2 +1 x2
3.56. lim x→∞ x2 −1
3.58. |
l i m |
3 |
+ |
2 x |
2 x |
||
|
|
|
|
|
|||
4 |
+ |
2 x |
|||||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
1 + 3 x 2 x |
|
3.60. lim |
|
|
|
|
|||
x → ∞ |
|
2 + 3 x |
54
Глава 4. Непрерывные функции и их свойства
§4.1. Непрерывность функции в точке
Определение 4.1. Функция f (x) , определенная в некоторой окрестности точки x0 , является непрерывной в точке x0 , если для любой последовательности {xn},
такой, что lim x |
n |
= x , выполняется соотношение lim f (x |
n |
) = f (x |
). |
|
n→∞ |
0 |
n→∞ |
0 |
|
На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = x0 :
1)функция f (x) определена в точке x0 ;
2)предел слева и предел справа функции f (x) в точке x0 равны;
3)общее значение пределов слева и справа равно значению функции в точке x0 .
Запишем это определение в виде формулы:
lim |
f (x) = lim f (x) = f ( x0 ) . |
x→x0 − 0 |
x→x0 + 0 |
Приведенное определение непрерывности равносильно приведенному |
|
ниже определению непрерывности на языке « ε − δ». |
|
Определение 4.2. Функция f (x) |
называется непрерывной в точке x0 , если для |
всякого ε > 0 , существует δ > 0 такое, что для всех х, для которых x − x0 ≤ δ,
выполняется неравенство f (x) − f (x0 ) < ε.
Следует особо подчеркнуть, что в определении непрерывности, в сравнении с определением предела, рассматривается полная, а не «проколотая»
окрестность точки |
x0 , и предел функции в точке x0 есть не что иное, как |
||
значение функции в этой точке. |
|||
Если |
разность |
x − x0 |
= ∆x мы называем приращением аргумента, а |
разность |
f (x) − f (x0 ) = ∆y |
- приращением функции, то из определения и 4.1, и |
4.2 следует, что для непрерывной функции всегда выполняется равенство
lim ∆y = 0 .
∆x→0
Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Замечание. Определение 4.1 называют определением непрерывности функции по Гейне, а определение 4.2 называют определением непрерывности по Коши.
Как показано в [1], эти определения равносильны в принятой нами концепции числа.
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Пример 4.1. Доказать непрерывность функции |
x sin |
|
, |
x ≠ 0 |
. |
|||||
x |
||||||||||
f ( x) = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
Функция |
f (x) непрерывна на |
интервале |
(−∞;0) (0;+∞). Исследуем |
||||||
поведение |
функции |
в окрестности точки |
x = 0 , для |
чего |
найдём левосторонний и |
55
правосторонний пределы функции в этой точке. Примем во внимание, что |
sin |
1 |
|
≤1, т.е. |
|||||||
x |
|||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
sin |
– ограниченная функция. Следовательно, lim xsin |
= lim xsin |
= 0 |
. Но |
|
f (0) = 0 |
|||||
x |
x |
x |
|
||||||||
|
x→−0 |
x→+0 |
|
|
|
|
|
и, таким образом, согласно определению 4.1, функция непрерывна в точке x = 0 , а значит, и на всей числовой оси.
§4.2. Точки разрыва и их классификация
Если в точке x = x0 не выполнено хотя бы одно из условий определения непрерывности 4.1, то говорят, что в этой точке функция f (x) терпит разрыв. При этом возможны следующие случаи:
•Устранимый разрыв. В точке x = x0 предел функции слева равен пределу справа, но не равен значению f (x0 ) , или значение функции f (x) в точке x = x0 не определено:
|
lim |
f (x) = lim f (x) ≠ f (x0 ). |
|
|||
|
x→x0 −0 |
|
x→x0 +0 |
|
|
|
y |
|
В этом случае, мы говорим, что в точке |
||||
|
x = x0 |
функция |
f (x) |
умеет |
устранимый |
|
|
|
разрыв. Графически этот факт представлен на |
||||
|
|
рис.4.1. |
|
|
|
|
|
|
Разрыв называется устранимым, потому |
||||
|
|
что его можно устранить. Другими словами, |
||||
|
|
функцию f (x) |
можно сделать непрерывной, |
|||
x0 |
x |
если доопределить (или переопределить) её в |
||||
Рис. 4.1 |
|
точке x = x0 , положив |
|
|
||
|
|
f (x0 ) = lim |
f (x) = lim f (x) . |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 |
+0 |
•Разрыв первого |
рода. Если в точке |
|
|
|
x = x0 |
пределы слева и справа для функции |
y |
|
|
f (x) |
существуют, но не равны, то говорят, |
|
|
|
что в этой точке функция имеет разрыв |
|
|
||
первого рода: |
|
|
|
|
|
lim f (x) ≠ lim f (x) . |
|
|
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
|
Графически это выглядит следующим |
x0 |
x |
||
образом (рис.4.2). В этом случае не важно, |
Рис. 4.2 |
|
||
определено или нет значение функции в |
|
|||
|
|
|||
точке разрыва. Например, функция sign(x) (знак числа), определенная в §3.11, |
||||
имеет разрыв I рода в точке x = 0 . Иногда разрывы I рода называют скачками |
||||
функции. |
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
•Разрыв второго рода. Если в точке x = x0 , |
хотя бы один из пределов либо |
||||||||
справа, либо слева равен бесконечности или не существует, то в этой точке |
|||||||||
функция |
f (x) имеет |
разрыв второго |
рода. |
Графически |
это |
может |
быть |
||
иллюстрировано рисунками 4.3 – 4.6. Обратим внимание на рис.4.6. Это график |
|||||||||
функции sin 1 . В точке x = 0 предел этой функции не существует. |
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
Рис. 4.3 |
|
|
|
|
Рис. 4.4 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
Рис. 4.5 |
|
|
|
|
Рис. 4.6 |
|
|
|
Рассмотрим несколько функций, которые |
|
|
|
|
|
||||
хотя и не являются элементарными, но, тем не |
|
|
y |
|
|
||||
менее, заслуживают интерес с точки зрения |
|
2 |
|
|
|
||||
непрерывности. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Функция «знак числа» определяется так: |
|
|
|
|
|||||
–2 |
–1 |
0 |
|
|
|||||
|
|
−1, при x < 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
x |
||
|
sign (x) = |
0, при x = 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
–1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
–2 |
|
|
|
|
+1, при x > 0. |
|
|
|
|
|
||
Эта функция определена и непрерывна для всех |
|
Рис.4.8 |
|
|
|||||
значений |
аргумента |
за |
исключением |
точки |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
x = 0 , в которой функция sign (x) терпит разрыв I рода – скачок. |
|
|
|||||||
Заметим следующее свойство этой функции: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x = x sign (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
Функция «целая часть числа» определена для всех чисел и равна |
||||||||||||||||||||||||
наибольшему |
целому, |
не превосходящему это число. Обозначается |
||||||||||||||||||||||
entier (x) = E (x) =[x] |
(читается «антье x»). Целая часть числа удовлетворяет |
|||||||||||||||||||||||
двойному неравенству |
|
|
[x] ≤ x <[x] +1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
[ |
|
] |
|
|
|
[ |
|
|
|
|
||||||||||||
Например, |
3,14 |
= 3; |
5 |
= 5; |
−2,5 |
|
= −3. График функции приведен на рис.4.8. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
[ ] |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, функция разрывная во всех целых точках, причем в каждой из них |
||||||||||||||||||||||||
скачок функции равен +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция «дробная часть числа» есть разность между числом и его целой |
||||||||||||||||||||||||
частью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
frac |
( |
x |
) |
= |
{ |
x |
= x − |
[ |
x |
] |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|||||
Например, {3,14} = 0,14;{5} = 0; {−4,25} = 0,75 . Таким образом, целая и дробная |
||||||||||||||||||||||||
часть числа связаны соотношением: |
|
[ |
|
] |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
x |
+ |
x . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|||
График функции представлен на рис.4.9. |
Функция frac(x) также разрывная |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
при каждом целом значении аргумента, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем скачок функции в каждой из них |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
равен −1. Интересно также, что эта |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция периодична, период её равен 1. |
||||||||||||
–2 |
–1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Функции |
entier (x), frac(x) |
находят |
||||||
|
|
|
|
|
|
применение не только в математическом |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Рис.4.9 |
|
|
|
|
|
|
анализе, но в теории чисел, в теории |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рекурсивных функций. |
|
§4.3. Свойства функций, непрерывных в точке и на интервале
Сформулируем ряд свойств непрерывных функций. Доказательства этих свойств выходит за рамки нашего курса. Строгие доказательства имеются в полных курсах математического анализа (см. список литературы в конце настоящего пособия).
Свойство 4.1 (ограниченность непрерывной функции). Если функция f (x)
непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, т. е. существуют δ > 0 и C > 0 такие, что для всех x, для которых x − x0 < δ выполняется неравенство f (x) < C
Свойство 4.2 (непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных
функций). Если функции |
f (x) |
и g (x) непрерывны в точке x0 , то функции |
||
f (x) + g (x) , f (x) g (x), |
f (x) |
, |
(g(x) ≠ 0) |
– непрерывны в точке x . |
|
||||
|
g(x) |
|
0 |
|
|
|
|
Свойство 4.3 (знакоопределенность непрерывной функции). Если функция
f (x) |
непрерывна в точке x0 и при этом f (x) ≠ 0 , то в некоторой окрестности |
точки |
x0 знак функции совпадает со знаком числа x0 т. е. существует δ > 0, |
58
такое что для всех x , для которых |
|
x − x0 |
|
< δ |
выполняется |
равенство |
|
|
|||||
sign f (x) = sign f (x0 ). |
|
|
|
|
|
z = f ( y) |
Свойство 4.4 (непрерывность сложной функции). |
Если функция |
непрерывна в точке y = y0 , а функция y = ϕ(x) непрерывна в точке x = x0 при этом y0 = ϕ(x0 ), то в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция f (ϕ(x)), которая непрерывна в точке x = x0 .
Определение 4.3. Функцию f (x) назовем непрерывной на отрезке [a,b], если
она непрерывна в каждой точке интервала, а также непрерывна справа в точке x = a и слева в точке x = b .
Для непрерывных на отрезке функций справедливы нижеследующие утверждения
Теорема 4.1 (об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если
функция f (x) непрерывна на |
отрезке [a,b], |
то она ограничена, т. е. |
||||
существует постоянная |
C > 0 , |
такая что для |
любого x из отрезка [a,b] |
|||
выполняется неравенство |
|
f (x) |
|
< C . |
|
|
|
|
|
Замечание. Теорема 4.1 неверна для промежутка, не являющегося отрезком.
Например, функции f (x) = ln x , f (x) = x12 непрерывны на интервале (0;1), но
не ограничены на этом интервале.
Теорема 4.2 (о достижении наибольшего и наименьшего значения). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает своего
наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
Замечание. Функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих наибольших и наименьших значений. Например, функция y = x не достигает на
интервале (0,1) своего наименьшего значения, равного нулю и не достигает наибольшего значения, равного единице.
Теорема 4.3 (о нулях непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значения разных знаков, то на отрезке [a,b] существует точка x = x1 такая, что f (x1 ) = 0 .
Теорема 4.4 (о промежуточных значениях). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на этом отрезке, то для любого числа y0 такого, что m ≤ y0 ≤ M , существует точка x0 [a,b], что f ( x0 ) = y0 .
Теорема 4.5 (о существовании обратной функции). Если функция y = f (x)
непрерывна и монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b], то на
отрезке f (a), f (b) |
определена функция x = g ( y), обратная к f непрерывная |
|
|
|
|
и монотонно возрастающая (убывающая).
59
Теорема 4.6 (о непрерывности элементарных функций). Всякая |
|||||||||||
элементарная функция f (x) непрерывна во всех точках, где она определена. |
|||||||||||
Пример 4.2. Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва, определить их |
|||||||||||
характер, выявить интервалы непрерывности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ π x ≤ −π |
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
− π < x < |
|
|
|||
|
|
|
f ( x) = sin x |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≥ |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждая из частей функции y = x + π, y = sin x и y =1 - непрерывны в своей области |
|||||||||||
определения, и даже на всей числовой оси. Поэтому подозрительными на разрыв являются |
|||||||||||
точки, в которых «склеиваются» эти части: x = −π и x = π . Исследуем поведение функции |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
в окрестности каждой из этих точек, т.е. вычислим односторонние пределы и значения |
|||||||||||
функции в точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для x = −π имеем: |
|
(x + π) = 0 ; f (−π + 0) = |
|
(x + π) = 0 ; |
|
||||||
f (−π − 0) = |
lim |
lim |
f (−π) = 0 . |
||||||||
|
x→−π−0 |
|
|
|
|
x→−π+0 |
|
|
|||
Поскольку все три значения равны, |
то |
заключаем: |
функция |
непрерывна в точке |
|||||||
x = −π. |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, для x = |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
|
2 |
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
− 0 |
|
|
|
+ 0 |
|
= lim 1 =1; |
|
||||
f |
= lim sin x =1; |
f |
2 |
|
f |
=1. |
|||||
2 |
|
|
x→π−0 |
|
|
|
x→π+0 |
2 |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
И на этот раз все три значения равны. Вывод: функция непрерывна и в точке x = π . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.7 |
|
|
|
|
|
||
Таким образом, данная функция непрерывна на всей числовой оси. График функции |
|||||||||||
приведен на рис.4.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для закрепления материала решите самостоятельно следующие примеры и задачи.
Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить функцию до непрерывности в точках устранимого разрыва.
60