3.2.3 Захват последовательностью импульсов

Довольно часто внешнюю силу можно рассматривать как после­довательность импульсов. В этом случае автоколебания являются автономными в течение почти всего периода и только на коротком промежутке времени подвергаются действию силы. Чтобы пояснить этот момент, проведем снова «мысленный» эксперимент с маятнико­выми часами. Пусть маятник подвергается периодическим толчкам, направление и сила которых постоянны. Иногда толчки ускоряют маятник (если они действуют в направлении его движения), а иногда они замедляют его. Если маятник изначально колебался медленнее, то толчки чаще ускоряют его, и наоборот. В результате происходит синхронизация. Это свойство используется для управления совре­менными часами по радио: они периодически подстраиваются им­пульсным сигналом, исходящим от стандартных, очень точных ча­сов. Импульсная сила и импульсное взаимодействие играют важную роль и в биологических системах, например, в ансамблях нейронов, водителях сердечного ритма (пейсмекерах) и т.д. Подобная сила ча­сто используется при экспериментальном исследовании биологиче­ских осцилляторов. Мы уже рассматривали пример с периодически стимулируемым светлячком, ниже мы опишем периодическое воз­действие на клетки сердца, задающие ритм его сокращений. Одна­ко, перед тем как перейти к этому примеру, мы объясним эффект синхронизации последовательностью импульсов, используя стробо­скопический метод (см. также [Харкевич 1962; Еласс и Мэки 1988]).

Переустановка фазы одиночным импульсом

В качестве предварительного шага рассмотрим влияние одиночного импульса на автоколебания. При этом мы используем следующее свойство возмущений: отклонение точки в радиальном направлении (т.е. по амплитуде) быстро затухает,¹³ в то время как возмущения фазы остаются (рис. 3.16). Таким образом, импульс сдвигает фазу ф —>• ф + Д. Очевидно, что знак и абсолютное значение изменения фазы Д зависят и от того, в какой фазе действовал импульс, и от его величины.

¹³ Отметим, что в данном случае мы не предполагаем, как раньше, что ам­плитуда не меняется под действием силы. Тем не менее, мы по-прежнему считаем, что амплитуда относительно устойчива, и поэтому ее значение очень быстро возвращается к невозмущенному состоянию.

Периодическая последовательность импульсов

Рассмотрим теперь воздействие периодической (с периодом Т) по­следовательности импульсов на автоколебания с частотой ujq. Для определенности положим u>o > ш = 2тх/Т. Будем наблюдать автоко­лебания стробоскопически, в те моменты времени, когда действует импульс (рис. 3.17). Еспи бы не было силы, то, скажем, в течение трех последовательных наблюдений осциллятор был бы обнаружен в положениях, обозначенных на рис. 3.17а цифрами 1, 2 и 3. Посколь­ку u>o > ui, за один период между наблюдениями точка на цикле совершает один полный оборот плюс небольшой сдвиг, который мы обозначим v.

Предположим теперь, что импульсная сила «включается», когда точка находится в положении 2. Еспи импульс сдвигает фазу в точ­ности на величину v, то этот сдвиг компенсирует смещение фазы из-за расстройки. Действительно, поспе действия импульса точка попадает в положение 1 и, пока не придет следующий импульс, она движется автономно. Это означает, что за время Т точка переходит в положение 2; следующий импульс снова сдвигает ее в 1 (рис. 3.17Ь). Таким образом, наблюдая точку стробоскопически с периодом силы, мы всегда находим ее в одном и том же месте цикла, что означает синхронизацию.

(a)

Очевидно, что синхронизация будет наблюдаться, еспи импуль­сы имеют определенную амплитуду и прилагаются в определенной фазе. Как мы уже знаем, большая расстройка требует большей ам­плитуды силы: еспи между двумя импульсами точка сдвигается от положения 1 до положения 3, то для переустановки фазы на вели­чину 2и требуется импульс большей амплитуды, и сдвиг фаз между

силой и синхронизованными автоколебаниями также увеличивается.

Если сила сначала прилагается в произвольной фазе, то она в общем случае не может немедленно «остановить» вращение точки, но сделает это посте некоторого переходного процесса. Из простых геометрических соображений следует, что если сила начинает дей­ствовать, когда точка находится в положении 3, то первый импульс переведет ее в положение между 2 и 1, следующий приведет ее еще ближе к 1 и т.д.; в конце концов установится синхронный режим.

Более формально синхронизацию периодически возмущаемых ав­токолебаний можно описать, введя соотношение между фазами по­сле п-го и (п + 1)-го импульсов, ф_п+1 = ф_п + и + А(ф_п + и). Здесь постоянная v есть набег фазы вследствие расстройки,¹⁴ а А(ф_п + и) описывает переустановку фазы (n + 1)-м импульсом. Условием син-

¹⁴ Для произвольного предельного цикла фаза растет со временем линейно (см. раздел 2.2), и поэтому v постоянно. Следовательно, наш подход справедлив в общем случае: в нем не требуется, чтобы точка вращалась по циклу равномерно. Отметим также, что фазы ф + 2тт и ф считаются здесь эквивалентными.

1 2 3

тт хронизации является равенство ф_п+і и ф_п. Отображение ф_п —>• ф_п+\ известно в нелинейной динамике как отображение окружности. Этот способ описания динамики подробно обсуждается в разделе 7.3. здесь же мы ограничимся качественным описанием явления.

3.2.4 Синхронизация высшего порядка. Языки Арнольда

До сих пор мы всегда предполагали, что частота автономных ав­токолебаний только слегка отличается от частоты внешней силы, и синхронизация понималась как подстройка этих частот за счет воздействия, в результате чего они совпадали. Здесь мы покажем, что синхронизация может возникнуть и в более сложной форме. Рас­смотрим снова автоколебания под действием периодических толчков и предположим, что каждый второй толчок отсутствует. Следова­тельно, осциллятор остается автономным в течение времени 2Т, и за это время точка на цикле смещается от положения 1 к положению 3. Из рис. 3.18 ясно, что достаточно большой импульс может компен­сировать набег фазы 2v, образовавшийся с момента предыдущего воздействия.

1 2 3

2Т

Таким образом, автоколебания с частотой ojq могут быть захваче­ны силой с частотой, близкой (но не обязательно равной!) к и>о/2. и синхронизация тогда проявляется как возникновение следующе­го соотношения между частотами: 2ш = О. Этот режим называют синхронизацией порядка 2 : 1. Очевидно, что можно добиться захва­та и каждым третьим импульсом, хотя для этого понадобится еще более увеличить амплитуду воздействия при той же расстройке. В общем случае можно наблюдать синхронные режимы произвольного порядка п : т (п импульсов на т периодах колебаний), что позволяет нарисовать целое семейство областей синхронизации (рис. 3.19). Эти области принято называть языками Арнольда.

Важно отметить, что языки высокого порядка обычно очень уз­ки, так что их довольно трудно, если вообще возможно, наблюдать экспериментально. Это можно объяснить, анализируя рис. 3.17 и

1

_{—1 г- —1 —г- 1—- СО}

со₀/2 со₀ 3со₀/2 2со₀ 3со₀

Рис. 3.19. (а) Схематическое представление языков Арнольда, или областей синхронизации порядка п : т. Числа над каждым языком обозначают порядок синхронизации, например, 2 : 3 означает выпол­нение соотношения 2ш = ЗП. (Ь) График зависимости И/ш от ш для фиксированной амплитуды силы (показанной штриховой линией на (а)) имеет характерный вид чертовой лестницы, см. полный график на рис. 7.16 (здесь мы не показываем детали между главными ступень­ками).

3.18. Мы видим, что при той же расстройке для синхронизации порядка 2 : 1 требуется гораздо большая амплитуда импульсов. С другой стороны, если амплитуда фиксирована, то переустановка фа­зы, скажем, каждым вторым импульсом позволяет компенсировать меньшую расстройку, чем переустановка каждым импульсом. Это как раз и означает, что область синхронизации 2 : 1 уже, чем область синхронизации 1:1.

3.2.5 Пример: периодическая стимуляция пейсмекерных клеток

Для иллюстрации представленного выше теоретического рассмо­трения проблемы мы выбрали эксперименты монреальской группы [Guevara et al. 1981, 1989; Гласе и Мэки 1988; Zeng et al. 1990; Glass and Shrier 1991] no периодической стимуляции спонтанно сокра­щающихся клеток, выделенных из предсердий куриного эмбриона. Рис. 3.20 показывает экспериментальную запись зависимости мем­бранного потенциала от времени, полученную с помощью введенного в клетку микроэлектрода. Импульс тока длительностью 20 мс пода­вался через тот же электрод, на графике он выглядит как большой пик; эти импульсы приводили к задержке фазы, увеличивая период колебаний (Т' > Т). Периодическое воздействие с различными часто-

- external pulse Т'

50mV

500 ms

Рис. 3.20. Экспериментальная запись мембранного потенциала спон­танно осциллирующей клетки (из сердца куриного эмбриона) и влия­ния на него внешнего импульса тока (external pulse). Импульс подается через используемый для измерений электрод, он виден как большой пик на графике, приводящий к переустановке фазы колебаний. То -базовый период, а Т' - возмущенный период. Из [Zeng et al. 1990].

тами приводило к устойчивым режимам захвата фазы, показанным на рис. 3.21.