8.2 Слабонелинейные осцилляторы

Еспи связь между осцилляторами относительно велика, то она воз­действует не только на фазы, но и на амплитуды. Вообще говоря, свойства сильных взаимодействий неуниверсальны, но в случае сла­бонелинейных автоколебательных систем можно использовать метод усреднения и получить универсальные уравнения, зависящие только от нескольких существенных параметров. Мы будем следовать под­ходу Aronson et al. [1990]. Так как метод усреднения был уже кратко изложен в разделе 7.2, то здесь мы просто модифицируем уравнения, чтобы учесть взаимную связь.

8.2.1 Общие уравнения

Возьмем два, в общем случае различных, осциллятора и свяжем их

НИИ МММ

iti + ш\хі = /i(.Ti,.ti) + Di(x₂ - xi) + Bi(x₂ - xi), (8.10) x₂ + u\x₂ = f₂(x₂,x₂) + D₂(xi - x₂) + B₂(xi - x₂). (8.11)

Здесь со>і_2 - частоты линейных несвязанных систем. При интерпре­тации этих уравнений следует иметь ввиду:

(i) Мы рассматриваем линейную по переменным х.\_}2, х.\_}2 связь. Это оправдано, еспи автономные частоты u>i и ш₂ близки, что соответствует резонансу 1:1. Действительно, в правой части

основными являются члены, имеющие частоты 0/1,2, а эти члены линейны. Если линейные члены отсутствуют, то необходимо рассмотреть члены высших порядков; синхронизация в этом случае будет слабее.

(ii) Члены, описывающие связь, выбраны пропорциональными раз­ности переменных и их производных. Такая связь исчезает при совпадении состояний двух систем, ад = х₂, х.\ = х₂. [Aronson et al. 1990] называют такую связь «диффузионной». Другая возможность - это «непосредственная» связь, когда, например, уравнение (8.10) модифицируется в

'xi + ш\хі = fi(xi,ii) + Dix₂ + В_хх₂.

Различие между «непосредственной» и «диффузионной» свя­зью станет важным при рассмотрении явления «вымирания ко­лебаний» (гашения), в остальном же свойства синхронизации при двух типах связи близки.⁷

Как обычно в методе усреднения, мы ищем колебательное решение с общей (пока неизвестной) частотой о> и медленно меняющимися комплексными амплитудами А i_i2. Используя подстановку

*i,₂(f) = U^Aw(t)e^iwt + ^с-^с-)> ?Л,2(*) = %(iuA_li2(t)e^iwt + ее),

получим общие уравнения для медленно меняющихся комплексных амплитуд А\£ (^СР- ^с уравнением (7.41))

Аі = -ІА1А1 + fnAi - (71 + іаі)|Лі|²Лі + (/¾ + іді)(А₂ - Аі),

(8.12)

A₂ = -iA₂A₂ + u₂A₂ - (72 + ia₂)\A₂\²A₂ + (/¾ + id₂)(Ai - A₂). Расстройка может быть в первом приближении записана как Дуг = wi,2 — ол

Параметры связи /?і₅2 ? ^1,2 пропорциональны константам связи •Si,2,-Di,2- Другие параметры - №1,2, 7і,2, «1,2 ^_ те же самые, что и в уравнении (7.41). Вводя действительные амплитуду и фазу в

' В разделе 8.2.3 мы обсуждаем различие между описывающими связь членами, пропорциональными Ві,2 и 1)1,2.

соответствии с А\^₂ = Ri^e^¹'², получим систему из четырех дей­ствительных уравнений:

кг = //,/,',(1 - 71 R\) + 0i(R₂ cos(<6₂ - ф_г) - R{)-

— <>li?2 Sin((?)2 - Фі);

Фі = -Ai - HiaiRl + Si cos(02 - Фі) - +

(8.13)

-Ь/Зі ^ Sin(c?>2 - 01): Лі

Й2 = /х₂Д₂(1 - 72^1) + fo(Ri cos(0i - <fo) - Д₂)--S₂Ri зт(фі - ф₂),

ф₂ = ^Аг - jU₂Ck₂i?2 + ^d~2 |г COS(01 - ф₂) - +

+/02^-Sin(^i - </>₂). Л2

Примечательно, что члены, описывающие связь, зависят только от разности фаз, поэтому мы можем сократить число уравнений, введя разность фаз 'ф = ф₂ — ф\. С этой переменной система (8.13) прини­мает вид

Ri = - 7ii?i) + 0i(R₂ cos ф - Ri) - 6\R₂ sin ф,

R₂ = ii>ll>( 1 - j₂R₂) + 02(Ri cos ф - R₂) + d₂i?i sin ф,

(R R \

K\ K₂ J

+ Si - S₂- (Pij^ + ^²¾) ^sin^'-

Здесь v = ш₂ — u>i - это расстройка автономных частот.

Приведенные уравнения достаточно общие, и анализ всех возмож- ных случаев весьма затруднителен. Мы можем уменьшить число параметров, предположив, что осцилляторы различаются только ли- нейными частотами, т.е. ці = [і₂ = /л, и так далее. В дополнение, нормализуем время на ц и амплитуды на избавившись тем

самым от двух параметров. Тогда оставшиеся коэффициенты 0, 5 должны рассматриваться как нормализованные на /л, а а - как

нормализованный на 7//І. Тем не менее, для простоты мы будем использовать те же обозначения и перепишем систему в виде

/.', = /.',(1 - + £(i?₂cos V - #i) - SR₂siniK (8.14) R₂ = 11,( 1 _ Rl) + 0(R_l cos 'ф - II,) + di?i sin V, (8.15)

ф = -„ _{+ а}(_Н1-Щ)+б(-^ + ^С08ф-

~р{ж ⁺ %)^8іпф- ^(8Л6)

Эти уравнения были детально исследованы Aronson et al. [1990]. Здесь мы не приводим все их результаты, а лишь обсуждаем наи­более важные физические эффекты.

Прежде чем продолжить, напомним физический смысл параме­тров в уравнениях (8.14)-(8.16). Параметр а описывает нелинейную зависимость частоты одиночного осциллятора; изохронные колеба­ния соответствуют а = 0. Параметр v - это расстройка автономных частот; когда частоты совпадают, то v = 0. Параметры 6 и /3 - это константы связи, они будут обсуждены ниже.

Если осцилляторы изохронны (о = 0), то переход к синхронизации происходит через бифуркацию седло-узел, при которой возникает предельный цикл, аналогично сценарию, описанному в разделе 8.1. Для неизохронного случая а ф 0 наблюдается более сложная бифур­кационная картина.

8.2.2 Вымирание (гашение) колебаний

Интересное явление - вымирание, или гашение, колебаний - наблю­дается в случае диффузионной связи. Оно не имеет аналога в случае осциллятора под воздействием внешней силы или в случае непосред­ственной связи. При достаточно большой диффузионной связи /3 и расстройке v начало координат R\ = Л2 = 0 становится устойчивым и колебания в обеих системах вымирают из-за связи.

Продемонстрируем это, линеаризовав уравнения (8.12). Для про­стоты, возьмем все параметры (кроме частот) одинаковыми. Более того, предположим, что связь чисто диссипативная (см. обсуждение ниже), 5 = 0. Окончательно, вводя частоту ш = (u>i + 0/2)/2, запишем А| = ^Дг = А и получим

Аі = (іА + ц)Аі + Р(А₂-Аі).. А₂ = (-іА + ц)А₂ + P(Ai - А₂). Линейный анализ устойчивости дает собственные значения А = и — в ± \/д² — А².

Стационарное состояние А\ = А₂ = О является, следовательно, устойчивым, если и < /3 < (и² + А²)/2и. Физический смысл возник­новения устойчивости за счет связи понятен: диффузионная связь вносит дополнительную диссипацию в каждую из систем, и эта диссипация не может быть скомпенсирована воздействием другого осциллятора, если расстройка велика.

8.2.3 Притягивающее и отталкивающее взаимодействие

Сведем систему (8.14)-(8.16) к одному уравнению для разности фаз. Мы можем сделать это при слабой связи, т.е. если параметры (3 и <5 могут считаться малыми. Конечно, мы можем получить это уравне­ние с помощью фазового приближения, как описано в разделе 8.1. но, поскольку у нас уже есть усредненные уравнения (8.14)-(8.16). то нам проще вывести фазовое уравнение непосредственно из них. В первом приближении амплитуды R\_}2 мало отличаются от невозму­щенных значений R\_}2 = 1:

Rl,2 и 1 + n_j2, r_ij2 -С 1.

Подстановка этого выражения в уравнения (8.14) и (8.15) дает в первом приближении

гі_2 = ^2ri_2 + [3(созф — 1) Т бзтф.

Видно, что возмущения амплитуды сильно демпфированы, поэтому мы можем принять гу^ и 0 и получить

/3 6 Ri_}2 = 1 + ^-(cos ф — 1) =ғ - sin -ф.

Подставляя это в (8.16), получим

ф = ^_и - 2(/3 + а8) sin ф. (8.17)

Это уравнение совпадает с уравнением (8.8) с константой связи е = -2(Р + а8).

Рассмотрим сначала идентичные осцилляторы, v = 0. Из урав­нения (8.17) ясно, что устойчивое значение разности фаз между двумя осцилляторами зависит от знака коэффициента /3 + аб. Если он положителен, то устойчивая разность фаз равна 0, т.е. фазы притягиваются; если он отрицателен, то наблюдается отталкивающее взаимодействие и устойчивая разность фаз равна тт. Представляется важным обсудить физический смысл этих двух типов взаимодей­ствия.

Прежде всего, будем различать диссипативную и реактивную связь. В системе (8.10) и (8.11) члены, пропорциональные Di^, -реактивные, а члены, пропорциональные Ві^, — диссипативные. Дей­ствительно, пренебрежем на время нелинейными и диссипативными членами (т.е. положим = 0) и рассмотрим линейные консерва­тивные осцилляторы. Тогда эффект взаимодействия легко понять: описывающие связь члены, пропорциональные Di^, только сдвигают автономные частоты, в то время как члены, пропорциональные Ві^. вносят диссипацию.⁸ Эти эффекты проявляются и в нелинейном случае. В терминах, используемых [Aronson et al. 1990], два описыва­ющих связь члена соответствуют скалярной (В) и нескалярной (D) связи. Чтобы объяснить происхождение этих понятий, перепишем уравнение (8.10) в виде системы двух уравнений первого порядка

х\ = уи

у\= - ш\хі + /і(жі,2/і) + Di(x₂ - xi) + Bi(y₂ - yi).

Мы видим, что члены, пропорциональные В\, описывают линейную связь по переменной у в уравнении для у, в то время как члены, пропорциональные Di, описывают линейную связь по переменной х в уравнении для у. В общем случае, когда уравнение колебательной системы записано в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, скалярные члены связывают одну и ту же переменную, а нескалярные - описывают перекрестную связь.

Физически, диссипативная связь, пропорциональная /3, стремит­ся привести две взаимодействующие системы к более однородно­му режиму, при котором их состояния совпадают (конечно, если /3 > 0). В результате, такая связь непосредственно ведет к синфазной синхронизации осцилляторов в соответствии с уравнением (8.17). В противоположность этому, влияние реактивной связи a priori не ясно. Чтобы описать влияние различных типов связи на фазовую

⁸ Можно показать, что дивергенция фазового объема дается выражением — (Si + В2); ср. с [Schmidt and Chernikov 1999].

динамику, рассмотрим схематическое представление взаимодействия на рис. 8.1 и 8.2.

На рис. 8.1 мы иллюстрируем случай изохронных осцилляторов (а = 0). На схеме (а) показано взаимодействие за счет диссипативной (скалярной) связи: в уравнениях (8.10) и (8.11) отличны от нуля только коэффициенты В. Связь проявляется как сила, действующая в направлении у, и эта сила пропорциональна разности переменных у на предельных циклах. Таким образом, взаимодействие фаз - притя-

гивающее.⁹ Если фазы близки, то эта сила действует не весь период колебаний, а только когда переменные у отличаются существенно, т.е. когда х близко к минимуму или максимуму. На схеме (Ь) пока­зан случай реактивной (нескалярной) связи, здесь мы предполагаем, что отсутствуют коэффициенты В. Теперь сила действует также в направлении у, но она пропорциональна разности переменных х. Следовательно, сила действует, когда х близко к нулю, и она не стремится ни сблизить фазы, ни удалить их друг от друга. Таким образом, реактивная связь меняет только амплитуды осцилляторов, а не их фазы. Фазы могут быть изменены только косвенно, если они зависят от амплитуд, т.е., если колебания неизохронны (в изохронном случае фазы не зависят от амплитуд; изохронами являются радиаль­ные линии фазовой плоскости). Итак, реактивная связь не влияет на изохронные осцилляторы. Это соответствует тому, что коэффициент реактивной связи 6 появляется в уравнении (8.17) умноженным на параметр изохронности а.

Ситуация меняется при реактивной связи между неизохронным осцилляторами, т.е., если а ф 0. Этот случай показан на рис. 8.2. Вза­имодействие увеличивает амплитуду одного осциллятора и уменьша­ет амплитуду другого, и из-за неизохронности колебаний это приво­дит к появлению фазового сдвига, т.к. частота зависит от амплитуды. В зависимости от знака произведения аб взаимодействие может быть как притягивающим, так и отталкивающим. В результате, устойчи­вый фазовый сдвиг может быть между 0 и тт. Это следует также из (8.17). Тот же самый механизм вызывает фазовую неустойчивость в колебательной среде, что обсуждается позже в главе 11.

Сделаем одно замечание. Мы проиллюстрировали роль только основных членов в фазовой динамике. Если эти члены исчезают, то уравнение (8.17) перестает выполняться. Тогда, чтобы описать приводящее к синхронизации фазовое взаимодействие, необходимо учесть члены более высокого порядка.

8.3 Релаксационные колебания

Универсальной модели релаксационных колебаний не существует, поэтому мы хотим привести здесь только один пример: так назы-

⁹ Строго говоря, этот вывод верен только для слабонелинейных колебаний. В случае сильной нелинейности даже диффузионная связь переменных состояния может привести к отталкиванию фаз [Han et al. 1995, 1997: Postnov et al. 1999а].

ваемый осциллятор типа накопление - сброс. Он не задается си­стемой дифференциальных уравнений: в нем отдельно описываются быстрые и медленные движения. Осциллятор характеризуется един­ственной переменной х, которая растет от 0 до 1 (состояние «нако­пление») в соответствии с заданным динамическим законом, кото­рый может быть описан обыкновенным дифференциальным урав­нением или же функцией времени. Как только достигается порог х = 1, осциллятор мгновенно сбрасывается в х = 0 («стреляет»). Предполагается, что взаимодействие двух таких осцилляторов про­исходит только во время «сброса». Когда первый осциллятор х.\ стреляет, он действует на второй, увеличивая его переменную х₂ на величину е. Если х₂ + £ превышает порог (т.е. х₂ + е > 1), второй осциллятор также стреляет, но при этом ответного воздействия на первый осциллятор не происходит (осциллятор в момент сброса не чувствителен к внешнему воздействию).

Динамика данного вида связи сильно диссипативна. Действитель­но, если фазы двух осцилляторов оказываются близки друг к другу, то осциллятор, который стреляет первым, заставляет стрелять и вто­рой, так что они стреляют одновременно. Посте этого события фазы осцилляторов совпадают. Если автономные частоты осцилляторов близки, то они продолжают стрелять одновременно. Итак, будет на­блюдаться идеальная синхронизация, при которой события «сброса» совпадают, и период будет наименьшим из двух автономных.

Перейдем к аналитическому рассмотрению проблемы, следуя под­ходу Миролло и Строгатца [Mirollo and Strogatz 1990Ь]. Предполо­жим вначале, что осцилляторы идентичны и имеют автономную частоту uiq. Медленное движение определяется функцией х = /(</>), где ф - фаза, удовлетворяющая ф = ujq . Оно соответстует росту фазы от 0 до 27г, и при ф = 2тт происходит сброс.

Два осциллятора описываются потоком на двумерном торе (рис. 8.3); это описание может быть сведено к одномерному отобра­жению Пуанкаре. Выберем линию ф\ = 0 в качестве секущей; это означает, что мы наблюдаем за фазой второго осциллятора в тот момент времени, когда первый стреляет. Такое построение отображе­ния Пуанкаре ф^ —>• Ғ(ф^) проиллюстрировано на рис. 8.3. Начнем с точки 0 с координатами ф\ = 0, ф₂ = ф^ • На первой стадии медлен­ного движения достигается точка 1 с ф^ = 2тт, ф^ = 2тт — ф^'. В этот момент осциллятор 2 стреляет, и фаза первого тоже изменяется. Еспи мы предположим, что переменная х меняется на е, то новая фаза первого осциллятора дается выражением ф^ = /~¹(/(ф^)+е).

8.3 Релаксационные колебания ZO^jjj где /^_1 есть функция, обратная /. Теперь возможны два ступая.

(2)

(з)

Если ф\ > 2тт, то первый осциллятор стреляет, и оба осциллятора сбрасываются в ноль (рис. 8.3Ь), так пто Ғ(ф^) = 0. В другом слупае, наблюдается другой интервал медленного движения к топке

(3) (2)

27Г, <%= 2-7Г — </>]/, за которым следует сброс осциллятора 1.

При сбросе фаза ф₂ изменяется, и, опять, либо вызывается сброс осциллятора 2 (рис. 8.3с), и фаза ф₂ скапком изменяется до 27г,¹⁰ либо сброса не возникает, и конепная топка отображения Пуанкаре

есть ф^ = /^_1(/(<^2^) + ^е); ^см- Р^ис- 8.3а.

Легко видеть, пто, в силу симметрии, отображение Пуанкаре ф\ = Ғ(ф®) может быть записано как двойная итерация отображения Һ:

Ғ(ф) = һ(һ(ф)), һ(ф) = r\f№ ~Ф) + e).

(8.18)

Это отображение Һ называется отображение сброса (firing map). Оконпательное отображение Пуанкаре имеет два плато, где Ғ{ф) = 0 или Ғ(ф) = 2тт, и гладкую область между ними, см. рис. 8.4. Гладкая область задается уравнением (8.18) и зависит от формы колебаний /. Mirollo and Strogatz f1990b] показали, пто, если / монотонна и вогнута вниз (т.е. /' > 0, /" < 0), то гладкая пасть отображения F строго растягивающая (т.е. производная больше единицы). Это озна­чает, пто невозможны другие аттракторы отображения Пуанкаре, кроме ф = 0. Притягивающая топка ф = 0 в топности соответствует

¹⁰ Мы пишем здесь 2тт_у а не ноль, чтобы показать, что два сброса осцилля­тора 2 приходятся на один сброс осциллятора 1.

(с)

2п ^1

2 2я ^ 0

2п Ч>1 0 2

идеально синхронному состоянию, когда оба осциллятора стреляют одновременно.

Описанное выше построение может быть легко обобщено на слу­чай различных (в частности, имеющих различные автономные ча­стоты) осцилляторов. Тогда медленное движение в уравнении 8.3 будет описываться прямой линией, не параллельной диагонали, а имеющей наклон 0/1/0/2- Отображение Пуанкаре будет иметь теперь гладкую часть (которая, как и в (8.18), представлена суперпозицией теперь уже различных отображений сброса) и часть, где новая фаза (modulo 2тт) равна нулю, см. рис. 8.4Ь. Устойчивая периодическая ор­бита этого отображения обязательно проходит через точку ф\ = ф₂ = О, т.е. существует в точности одно событие совпадающих сбросов. В качестве примера, на рис. 8.5 показана синхронизация порядка 2 : 3

(а) F (ф)

Ф

время

Рис. 8.4. Негладкое отображение окружности, описывающее синхро­низацию релаксационных осцилляторов, (а) Осцилляторы идентичны: единственный аттрактор — устойчивая точка ф = 0. (Ь) Осциллято­ры имеют различные автономные частоты. На притягивающей пери­одической орбите (пунктирная линия) только один сброс происходит одновременно в обоих осцилляторах; другие сбросы не совпадают.

для систем с соотношении автономных частот 0/1/0/2 = 1-55.

Свойства такого негладкого отображения Пуанкаре сходны со свойствами гладкого (см. раздел 7.3). Основное отличие состоит в структуре «чертовой лестницы» и языков Арнольда. Как и в глад­ком случае, возможны все рациональные и иррациональные числа вращения, но мера иррациональных чисел (в пространстве параме­тров) теперь нулевая: ситуации с квазипериодическими режимами в отображении на рис. 8.4 исключительны; типичными являются периодические орбиты [Boyd 1985; Veerman 1989]. Это следует из сильной диссипации рассмотренной модели «накопление - сброс».

8.4 Библиографические заметки

Динамике связанных систем посвящена обширная литература. В последнее время основное внимание привлекает сложное поведение и возникновение хаоса за счет связи. В теоретических [Waller and Kapral 1984; Pastor-Diaz et al. 1993; Volkov and Romanov 1994; Pastor-Diaz and Lopez-Fraguas 1995; Tass 1995; Kurrer 1997; Lopez-Ruiz and Pomeau 1997; Reddy et al. 1999] и экспериментальных [Бондаренко и др. 1989; Thornburg et al. 1997] работах заинтересованный читатель найдет дальнейшие ссылки. Связанные ротаторы интенсивно рассма­тривались в связи с изучением цепочки контактов Джозефсона [Jain et al. 1984; Saitoh and Nishino 1991; Valkering et al. 2000]. В заклю­чение, упомянем несколько недавних работ, где были рассмотрены различные обобщения модели «накопление - сброс» [Kirk and Stone 1997; Ernst et al. 1998; Coombes and Bressloff 1999; S. H. Park et al. 1999b],