Глава 4

Синхронизация двух и многих осцилляторов

В главе 3 мы в деталях изучили синхронизацию осциллятора внеш­ней силой. Здесь мы распространяем эти идеи на более сложные случаи, когда взаимодействуют два или несколько осцилляторов.

Мы начнем с рассмотрения двух взаимно связанных автоколеба­тельных систем. Этот случай включает классические эксперименты Гюйгенса, Рэлея и Эпплтона, а также множество других экспери­ментов и явлений природы. Мы опишем эффекты захвата фаз и частот в таких системах, в том числе в присутствии шумов. Да­лее мы проиллюстрируем некоторые особенности в синхронизации релаксационных осцилляторов и кратко обсудим случай взаимодей­ствия нескольких осцилляторов. Здесь мы также обсудим свойства синхронизации систем специального класса, а именно ротаторов.

Эта глава также включает обсуждение синхронизации в больших пространственно упорядоченных ансамблях автоколебательных си­стем (в цепочках и в решетках), а также в непрерывных колеба­тельных средах. Интересным эффектом в таких системах является формирование синхронных кластеров.

Глава продолжается описанием и качественным объяснением само­синхронизации в больших популяциях осцилляторов, связанных ка­ждый с каждым (такая связь называется также глобальной). Один пример такого явления - синхронизация вспышек света, генерируе­мых популяцией светлячков, - был рассмотрен в главе 1; дальней­шие будут приведены в этой главе. Мы завершаем главу описанием различных экспериментов.

4.1 Взаимная синхронизация автоколебательных систем

В этом разделе мы обсуждаем синхронизацию взаимно связанных осцилляторов. Этот эффект очень близок к случаю синхронизации внешней силой, детально рассмотренному в главе 3. Тем не менее, есть некоторые особенности, которые мы и опишем далее. Мы также кратко обсудим случай взаимодействия нескольких осцилляторов.

4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора

Синхронизация была изначально открыта в системе двух связанных осцилляторов. Мы уже описали в главе 1 наблюдения взаимодейству­ющих маятниковых часов Христиааном Гюйгенсом и органных труб лордом Рэлеем. В этом разделе мы объясняем как эти, так и другие эксперименты, используя идеи и понятия, введенные в предыдущих главах. Первым делом мы обсудим подстройку частот.

Захват частот

В общем случае взаимодействие двух систем несимметрично: либо один осциллятор мощнее другого, либо они влияют друг на друга в разной степени, либо и то, и другое. Если воздействие в одном направлении существенно сильнее, чем в другом, то мы вновь имеем дело с частным случаем синхронизации внешней силой. Мы знаем, что в этом случае частота системы подтягивается к частоте воздей­ствия. Основная особенность взаимного воздействия - это то, что меняются частоты обоих осцилляторов. Обозначим частоты авто­номных систем (часто называемые парциальными) как ші и шг, и пусть uii < и>2] наблюдаемые частоты взаимодействующих осцилля­торов мы обозначим как fii^- Тогда, если связь достаточно сильна, то захват частот возникает в результате их взаимной подстройки, так что fii = Ог = где обычно ш\ < О < Ш2, см. рис. 4.1.¹

¹ Два осциллятора могут быть связаны довольно сложным образом. Так, например, два электронных генератора могут быть связаны через рези­стор и дополнительно взаимодействовать за счет перекрытия магнитных полей катушек индуктивности. Следовательно, в общем случае связь характеризуется несколькими параметрами. При такой сложной связи частоты в синхронном режиме могут находиться и вне интервала [wi, ш2].

Захват фаз

Захват частот предполагает также и существование определенного соотношения между фазами. Это соотношение зависит не только от расстройки частот и силы связи, но также и от способа взаимодей­ствия. Во введении мы упомянули эксперименты с маятниковыми часами, проведенные И. И. Блехманом [1981] с сотрудниками; они наблюдали как синхронизацию часов в противофазе (разность фаз близка к 7г), так и синхронизацию в фазе (разность фаз близка к

со

CG

(с)

нулю).² Напомним читателю, что первооткрыватель синхронизации Христиаан Гюйгенс наблюдал синхронизацию в противофазе.

Рассмотрим два почти идентичных симметрично связанных ос­циллятора. Еспи взаимодействие слабое, то, в полной аналогии со случаем внешней силы, мы можем предположить, что оно влияет лишь на фазы, сдвигая точки вдоль предельных циклов, но не на амплитуды. Взаимодействие зависит некоторым образом от двух фаз, и два простейших случая - это когда связь либо сближает фазы (рис. 4.2а), либо расталкивает их (рис. 4.2Ь). Ясно, что взаимодей­ствие, притягивающее фазы, приводит к синхронизации в фазе, а отталкивающее - к синхронизации в противофазе. Используя те же самые аргументы, что и для случая осциллятора с внешней силой (см. раздел 3.1), приходим к выводу, что расстройка делает разность фаз не в точности нулем (не в точности тт).

² Двое почти одинаковых часов синхронизуются в противофазе, если соб­ственная частота вибраций балки не сильно отличается от частот часов: в противоположном случае возможны оба режима (см. [Блехман 1971, 1981; Ланда 1980], где эта проблема исследуется аналитически).

Синхронизация высшего порядка

В общем случае, когда частоты несвязанных систем подчиняются соотношению nu>i « ти>2, при достаточно сильной связи возникает синхронизация порядка n : т. Частоты взаимодействующих систем становятся захваченными, n.Qi = mQ,2] устанавливается также соот­ношение между фазами. Условие захвата фаз может быть сформу­лировано в виде

\пфі — тфгі < constant, (4.1)

(ср. с уравнением (3.3) для случая осциллятора под действием внеш­ней силы). Фазовый сдвиг между осцилляторами зависит от началь­ной расстройки между взаимодействующими системами, а также от вида и параметров связи.

4.1.2 Пример: синхронизация триодных генераторов

Е. В. Эпплтон [Appleton 1922] систематически исследован свойства синхронизации триодных генераторов в специально спланированном

] I I

эксперименте. Он изучал как синхронизацию внешней силой, так и взаимную синхронизацию двух связанных неидентичных систем. Схема установки последнего эксперимента показана на рис. 4.3. Ка­ждый генератор состоит из усилителя (вакуумной лампы-триода), колебательного LC-контура и цепи обратной связи, реализованной с помощью второй индуктивности. Эта катушка соединяет выход и вход усилителя, подавая сигнал, пропорциональный колебаниям в LC-контуре сетки лампы.

Есть несколько возможностей связать два триодных генератора. Например, их можно связать через сопротивление. В своих экспери­ментах Эпплтон разместил катушки индуктивности вблизи друг от друга, так что их магнитные поля перекрывались, и, следовательно, токи в LC-контурах воздействовали друг на друга.

Эксперимент проводился с осцилляторами с низкой частотой ~400 Гц. Частоту одной из систем можно было изменять, подстраи­вая конденсатор. Влияние расстройки отслеживалось двумя способа­ми. Во-первых, на осциллографе наблюдались фигуры Лиссажу, что свидетельствовало о равенстве наблюдаемых частот в определенном диапазоне расстроек. Фазовый сдвиг между синхронными генера­торами также оценивался по фигурам Лиссажу. Во-вторых, изме­рялась частота биений. Это делалось достаточно простым способом: биения были столь медленны, что Эпплтон мог сосчитать их на слух.

36 40 44 48 52 56 60 шкала конденсатора

Рис. 4.4. Результаты эксперимента со связанными триодными генера­торами. Если бы не эффект синхронизации, то частота биений изменя­лась бы, как показано пунктирной линией. Сплошные линии проведены через экспериментально полученные значения. Область синхронизации показана горизонтальным отрезком жирной линии. Из [Appleton 1922].

Частота биений | Oi — О21 показана на рис. 4.4 как функция показаний регулятора настройки конденсатора (в произвольных единицах), т.е. как функция расстройки.

Отметим, что разность фаз в области синхронизации изменялась от 0 до 7г, принимая значение тт/2 при расстройке, близкой к ну­лю. Возможное объяснение этому состоит в том, что генераторы в экспериментах Эпплтона были не только расстроены по частоте, но также имели и различные амплитуды, так что один генератор доминировал. Поэтому свойства синхронизации в данной системе очень близки к случаю синхронизации внешней силой.