et al. 1991b; Wiesenfeld 1992]. В частности, широкий интерес вызвали расплывшиеся режимы в такой системе [Tsang et al. 1991а; Nichols and Wiesenfeld 1992; Swift et al. 1992; Strogatz and Mirollo 1993].
Ансамбли слабонелинейных осцилляторов изучались в [Yamaguchi and Shimizu 1984; Bonilla et al. 1987; Mirollo and Strogatz 1990a; Matthews and Strogatz 1990; Matthews et al. 1991]. Некоторые эффекты в такой системе, например коллективный хаос [Hakim and Rappel 1992; Nakagawa and Kuramoto 1993, 1994, 1995; Banaji and Glendinning 1994] и вымирание колебаний [Ermentrout 1990] не наблюдаются для фазовых осцилляторов. Близки к этим работам исследования связанных мод в лазерах [Winful and Rahman 1990].
Релаксационные осцилляторы демонстрируют множество разнообразных эффектов [Kuramoto et al. 1992; Abbott and van Vreeswijk 1993; Tsodyks et al. 1993; Wang et al. 1993; Chen 1994; Bottani 1995. 1996; Ernst et al. 1995, 1998; Gerstner 1995; Rappel and Karma 1996; van Vreeswijk 1996; Kirk and Stone 1997; Bressloff and Coombes 1999; Wang et al. 2000b]. В заключение отметим, что в [Rogers and Wille 1996] изучались решетки осцилляторов с дальнодействующей связью; в этом случае можно плавно изменять связь от локальной до глобальной.
Часть III
Синхронизация хаотических систем
Глава 13
Полная синхронизация I: Основные свойства
В этой главе мы рассмотрим основные свойства полной синхронизации хаотических систем. Наш подход будет следующим: рассматривая как можно более простую систему мы постараемся описать ее максимально подробно. Простейшей хаотической системой является одномерное отображение, его динамикой мы и займемся. Начнем мы с построения модели связанных отображений и с феноменологического описания полной синхронизации в этой системе. Наиболее интересным и нетривиальным эффектом является переход к полной синхронизации. Мы опишем два подхода к описанию этого перехода в хаосе. С одной стороны, используя стохастичность хаоса, мы дадим статистическое описание этого перехода. С другой стороны, учитывая детерминированность динамики, мы опишем переход в геометрических терминах как бифуркацию. Надеемся, что в результате читатель сможет убедиться в дополнительности этих двух подходов, дающих в совокупности полную картину явления. В следующей главе, рассматривая обобщения простейшей модели, мы сможем убедиться, что основные свойства полной синхронизации остаются справедливыми для широкого класса хаотических систем.
Для понимания содержания этой главы требуется знакомство с основными понятиями теории хаоса, в частности с ляпуновскими показателями. При аналитическом статистическом описании мы используем термодинамический формализм, а при изложении геометрического подхода - теорию бифуркаций. Эти сведения можно най-
ти во многих учебниках по теории колебаний и хаосу [Guckenheimer and Holmes 1986; Бутенин и др. 1987; Неймарк и Ланда 1987; Рабинович и Трубецков 1989; Шустер 1988; Ott 1992; Kaplan and Glass 1995; Alligood et al. 1997; Кузнецов 2001], а также в монографиях [Badii and Politi 1997; Beck and Schlogl 1997].
13.1 Простейшая модель: два связанных отображения
В этом вводном разделе мы продемонстрируем явление полной синхронизации на примере простой модели связанных отображений. Одномерное отображение
я(*+!) = /(*(*))
задает динамическую систему с дискретным временем і = 0,1,2,...и непрерывным пространством состояний х. Широко известными примерами одномерных отображений с хаотическим поведением являются логистическое отображение f(x) = 4х(1 — х) и отображение типа тент f(x) = 1 — 2\х\.
Рассмотрим два подобных отображения, заданных переменными х и у. Поскольку динамика каждой переменной хаотична, в случае независимых (невзаимодействующих) систем будут наблюдаться два независимых стохастических процесса, без каких-либо взаимных корреляций. Теперь введем взаимодействие. Сделать это можно многими способами: любой член в правой части уравнений, содержащий как х, так и у, даст какое-то взаимодействие. Потребуем, однако, чтобы взаимодействие удовлетворяло следующим важным физическим условиям:
взаимодействие должно быть притягивающим, т.е. оно должно сближать состояния х и у,
взаимодействие должно исчезать в синхронном симметричном режиме х = у.
Первое условие можно назвать также условием диссипативности, оно соответствует, например, связи электронных схем через сопротивления.1 В общем виде линейный оператор, задающий связь с указанными свойствами, записывается как
1 См. также обсуждение диссипативной и реактивной связи в разделе 8.2.
L
1 — п а
13 1-Р
13.2)
L
13.3
1 - £ £
1 - £
Линейное взаимодействие (13.3) должно быть применено к нелинейному отображению (13.1). Правильным способом применения является чередование линейного и нелинейного отображений, т.е. произведение2 соответствующих операторов:
x(t + 1) y(t + 1)
1-е £ 1 Г /(*(*)) ' £ 1-е J [ /Ы*)) .
(l-£)/(x(i))+£/(y(i)) £/(x(i)) + (l-£)/(y(i))
13.4)
Отметим, что получившаяся система (13.4) полностью симметрична по отношению к перестановке переменных х <->• у, так как мы рассматриваем симметрично связанные идентичные системы.
Рассмотрим, какие качественно различные режимы могут наблюдаться в нашей базовой модели (13.4) при изменении положительного параметра связи е. Легко понять, что происходит в предельных ситуациях. Если £ = 0, то переменные х и у полностью независимы и некоррелированы. Если е = 1/2, то уже после одной итерации переменные х ту принимают одно и то же значение и остаются идентичными при всех t (поэтому е = 1/2 соответствует максимально сильной связи). Поскольку связь в этом режиме становитя равной нулю, динамика переменных х и у такая же, как для автономной системы, т.е. хаотическая. Этот режим, при котором каждая из систем меняется во времени хаотически, а состояния систем в любой момент времени одинаковы, называется полной синхронизацией (по-английски «complete, full, identical*).
2 В отличие от систем с непрерывным временем, в случае отображений нужно не прибавлять члены, описывающие различные эффекты, а перемножать их. Чтобы пояснить этот важный для понимания физического смысла дискретных моделей момент, рассмотрим два способа введения дополнительной диссипации в отображение (13.1). Диссипатив-ный член должен уменьшать переменную х. Аддитивное слагаемое типа x(t +1) = f(x(t)) — 'yx(t) не всегда уменьшает х - это зависит от знаков и значений f(x) и 7. В противоположность этому, умножение на множитель І7І < 1, приводящее к x(t + 1)= 7/(a'(t)), всегда уменьшает абсолютное
значение х.
При увеличении параметра связи е, который можно рассматривать в качестве бифуркационного, в общем случае наблюдается сложная последовательность бифуркаций (при этом не исключены и нехаотические режимы), но четко прослеживается тенденция к все более полной корреляции между х и у. Можно найти такое критическое значение параметра связи ес < 1/2, при превышении которого, г > ес, устанавливается синхронное состояние х = у. Этот переход наиболее четко виден при представлении динамики на плоскости (х, у) (см. ниже рис. 13.2). Точки вне диагонали х = у соответствуют асинхронному состоянию. С увеличением е точки концентрируются у диагонали и при превышения критического значения параметра связи ес сосредотачиваются на ней.
Связанные отображения типа косой тент
Ниже мы проиллюстрируем эффект полной синхронизации на примере отображения типа косой тент
х/а при 0 < X < а.
(1 — х)/{1 — а) при а < х < 1.
(значению параметра a = 0.5 соответствует обычное отображение типа тент, но эта симметричная ситуация, как будет показано ниже, является вырожденной). Отображение (13.5) показано на рис. 13.1. оно растягивает единичный интервал вдвое и складывает обратно. Результатом этих растяжений и складываний является развитый
f(U)
1
a 1
U
Рис. 13.1. Отображение типа косой тент: простая точно решаемая одномерная модель хаоса.