7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики

В этом разделе мы подробно показали, что происходит с автоколеба­ниями под действием слабой периодической силы. В первом порядке по е (амплитуде силы), сила существенно влияет на фазу колебаний, в то время как амплитуда возмущается мало. На плоскости параме­тров внешнего воздействия и, е (расстройка - амплитуда) существует область синхронизации (7.30), см. рис. 7.4а. Эта область ограничива­ется двумя прямыми, наклоны которых определяются экстремумами функции q (7.20). Внутри этой области медленная фаза ip принимает устойчивое стационарное значение (или одно из возможных устойчи­вых значений), и фаза колебаний ф вращается с частотой внешней силы. При этом процесс x(t) периодичен с периодом внешнего воз­действия. Вне области синхронизации фаза ф вращается с частотой, отличной от частоты внешней силы, и процесс x(t) в общем случае квазипериодический. Одна из фундаментальных частот - это часто-

та внешней силы, другая - так называемая частота биений - задается выражением (7.34). На пороге синхронизации частота биений растет как квадратный корень параметра (см. (7.35)); эволюция во времени выглядит как периодическая последовательность синхронных участ­ков, разделенных 27г-проскоками фазы.

Описанная выше картина основана на предположении малости амплитуды е. Ниже мы кратко обсудим, что меняется при средней и большой амплитуде силы; более детальный анализ будет дан в разделе 7.3.

Средняя амплитуда силы

В этом случае качественные характеристики динамики не меняются: внутри области синхронизации наблюдается периодическое движе­ние с периодом внешней силы, а вне этой области - квазипериодиче­ское. Количественно поведение частоты биений на пороге синхрони­зации - корневая зависимость от параметров (7.35) - остается тем же, поскольку оно определяется типом бифуркации, а бифуркация и при средних амплитудах силы имеет тип седло-узел. Однако остальные характерные черты синхронизации меняются следующим образом.

(і) Границы области синхронизации при средних е - не прямые

0

100

200

время

300

400

Рис. 7.5. Динамика фазы согласно (7.24) при д(ф) = sin?/), е = 1 (здесь параметр е положен равным единице, а не малому значению, что соответствует изменению масштаба времени) и различных значениях расстройки: снизу вверх v = 1.001, 0, —1.01, —1.1.

линии, а, вообще говоря, кривые. Еспи в разложении Фурье (7.18) резонансные члены отсутствуют, то они могут появиться в высших приближениях, т.е. как члены пропорциональные г², е³, и т.д. В этих случаях ширина области синхронизации особенно мала при е —> 0.

(іі) В синхронном режиме разность фаз осциллятора ф и внешней силы более не является постоянной, как вытекает из (7.31), а становится периодической (с периодом внешней силы) функци­ей времени. Причиной тому нерезонансные члены в разложении (7.18).

Большая амплитуда силы

Здесь может меняться и качественная картина синхронизации. Пере­ход к ней может происходить через другие бифуркации. Более того, могут наблюдаться сложные режимы, включая хаос - мы обсудим это в разделе 7.3.

Важно отметить, что, хотя мы и рассматривали случай малой силы, синхронизацию нельзя рассматривать в рамках теории ли­нейного отклика. В самом деле, для физика, рассматривающего уравнение (7.5), естественно было бы попробовать применить ме­тод возмущений и представить отклик в виде ряда по е. Мы уже знаем ответ и можем сразу сказать, что этот подход будет работать только вне области синхронизации, где квазипериодическое движе­ние можно примерно представить как комбинацию невозмущенных колебаний на частоте uiq и вынужденного решения с частотой ш. Внутри области синхронизации процесс имеет только частоту ш, так что, формально говоря, отклик на частоте воздействия имеет порядок 0(1) и его нельзя получить разложением по е. Линейная или слабонелинейная теория возмущений не работает потому, что невозмущенные автоколебания в определенном смысле сингулярны, поскольку фаза нейтральна и может испытывать большие, порядка 0(1), отклонения при сколь угодно малой силе. Другим проявлением этой сингулярности служит довольно необычная для физики зави­симость наблюдаемой частоты от расстройки: у нее есть идеальный горизонтальный участок с хорошо определенными конечными точ­ками (рис. 7.4Ь). Во многих случаях, когда такие «ступеньки» встре­чаются в физических задачах, их можно объяснить проявлением синхронизации (см. обсуждение ступенек Шапиро в вольтамперной характеристике контактов Джозефсона в разделе 4.1.8).