Глава 5

Синхронизация хаотических систем

В этой главе мы опишем синхронизацию в хаотических системах. Мы начнем с краткого описания хаотических колебаний в диссипатив-ных динамических системах, обращая особое внимание на свойства, важные с точки зрения возникновения синхронизации. Затем мы опишем различные типы синхронизации: фазовую, полную, обобщен­ную и т.д. При изучении этих явлений часто обращаются к числен­ному моделированию, поэтому для иллюстрации мы обычно будем использовать результаты расчетов; будут, однако, представлены и экспериментальные данные. Где только возможно, мы постараемся проследить аналогию с синхронизацией периодических автоколеба­ний.

5.1 Хаотические колебания

Одним из самых важных достижений нелинейной динамики послед­них десятилетий было открытие сложных, хаотических движений в простых колебательных системах. Теперь это явление подробно исследовано и вошло в программу старших классов школы и первых курсов института; тем не менее, введение в эту тематику представля­ется не лишним. Термин «хаос» означает, что на больших интервалах времени поведение динамической системы предсказать нельзя, даже если параметры системы не флуктуируют и система не подверже-

на действию шума. Нерегулярность и непредсказуемость вытекают непосредственно из внутренних свойств детерминированной дина­мики системы, хотя на первый взгляд это утверждение выглядит противоречивым. При представлении хаотических автоколебаний в диссипативной системе в фазовом пространстве выясняется, что им соответствует не такой простой геометрический объект, как предель­ный цикл, а довольно сложное множество, называемое странным аттрактором (в противоположность предельному циклу - простому аттрактору).

5.1.1 Пример: модель Лоренца

Рис. 5.1. Конвекция вязкой жидкости в тонком подогреваемом снизу обруче хорошо описывается системой Лоренца.

В 1963 метеоролог Эд Лоренц опубликовал свою знаменитую работу, в которой странный аттрактор был найден при численном исследо­вании турбулентной конвекции. К счастью, имеется простая физиче­ская реализация модели Лоренца — конвекция в вертикальном обруче [Gorman et al. 1984, 1986], см. рис. 5.1. Жидкость подогревается сни­зу, и при достаточно сильном подогреве возникает конвекция. Вблизи порога ее возникновения движение стационарно, с постоянной скоро­стью V. Ясно, что вследствие симметрии движение возможно как по часовой стрелке, так и в противоположном направлении. При увели­чении подогрева стационарное вращение становится неустойчивым и происходят переключения направления конвективного движения. Более того, эти переключения не регулярны и не повторяются: дви­жение не периодично, а хаотично.

Для теоретического описания хаоса нужно составить модель - си­стему обыкновенных дифференциальных уравнений. До сих пор мы рассматривали только системы на фазовой плоскости, т.е. с двумя независимыми переменными. Два - это минимальная размерность для существования предельного цикла, но ее недостаточно для хао­тического движения. Поскольку траектории в фазовом пространстве не пересекаются (это противоречило бы детерминизму - через дан­ную точку фазового пространства может проходить только одна тра­ектория), на фазовой плоскости невозможно получить что-то более сложное, чем предельный цикл. Хаотическая модель должна быть по крайней мере трехмерной, т.е. состояние осциллятора должно задаваться тремя координатами. Модель Лоренца как раз и описы­вается тремя переменными x,y,z, имеющими следующее физическое значение: х пропорционально горизонтальной разности температур Тз — Ti; у пропорционально скорости потока V; z пропорционально вертикальной разности температур Т4 — Т^. Следуя заголовку этой части, мы не будем приводить здесь сами уравнения (см. часть II, уравнения (10.4)), а просто изобразим на рис. 5.2 полученное числен­но решение. Зависимости всех переменных от времени представляют собой нерегулярные колебания с переключениями между конвектив­ными движениями по часовой стрелке (отрицательные у) и против часовой стрелки (положительные у).

Мы взяли модель Лоренца как представительный пример хаотиче­ских колебаний. Есть много других систем (например, электронные схемы, лазеры, химические реакции), которые демонстрируют хаос и могут быть описаны простыми дифференциальными уравнениями: их описания можно найти в многочисленных книгах о хаосе, см. ссылки в разделе 1.4. Более того, при наблюдении многих естествен­ных процессов можно сделать вывод, что они порождены хаотиче­ской динамикой, см. примеры в [Kantz and Schreiber 1997].

Так же как и в случае периодических колебаний, важно различать автоколебания и вынужденные движения. Хаотические автоколеба­ния описываются автономными уравнениями, поэтому все моменты времени эквивалентны. Можно сказать, что они обладают непре­рывной симметрией по времени (в смысле независимости динамики от сдвига времени). Есть много примеров хаотических движений в нелинейных системах с периодической внешней силой, они описы­ваются неавтономными уравнениями. Сила в этом случае нарушает непрерывную симметрию по времени и делает ее дискретной (только моменты времени, различающиеся на период или несколько периодов внешней силы, эквивалентны друг другу), см. также аналогичное

обсуждение для периодических колебаний в разделе 2.3.2. Другой популярный класс хаотических моделей - отображения - в этом смы­сле эквивалентен системам с периодической силой. Здесь симметрия по времени очевидным образом дискретна, так как дискретно само время. Для многих свойств хаоса, в частности для явления полной синхронизации (раздел 5.3), различие между автоколебательными и вынужденными системами не существенно. Однако для фазовой синхронизации хаоса (раздел 5.2) оно является решающим.