1 курс / Химия / Kharitonov_Yu_Ya_-_Analiticheskaya_khimia_2_chast

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

это такой образец, в котором точно задано содержание определяемого компонента, т. е. истинное значение определяемой величины ц (или ее действительное значение а).

Пусть оцениваемым методом проведен количественный анализ стан­ дартного образца — сделано п параллельных определений и рассчитаны

среднее значение х , стандартное отклонение s, дисперсия V - s 2. Задача состоит в сравнении среднего х с истинным значением р и в решении вопроса о том, значимо или не значимо (случайно или не случайно) рас­ хождение между х и р, т. е. в выявлении систематической ошибки. Для этого используют t-критерий Стьюдента, поступая следующим образом.

Рассчитывают критерий (функцию) Стьюдента t по формуле (1.13):

(1.13)

Сравнивают значение tpacc4 с табличной величиной /табЛ функции Стьюдента (табл. 1.1) при заданной доверительной вероятности (напри­ мер, при Р = 0,95) и данном числе степеней свободы/ = п - 1.

Если /рассч > /табл, то между средним х и истинным значением р име­ ется статистически значимое различие, т. е. существует систематическая ошибка, оцениваемая по формуле (1.2): А„ = х - р.

Если /рассч < /табл, то расхождение между х и р статистически незна­ чимо. Метод не содержит систематической ошибки.

Сравнение результата количественного анализа образца двумя методами (сравнение средних). Пусть проведен количественный анализ одного и того же образца двумя независимыми методами 1 и II, причем известно, что один из методов, например метод II, дает правильные ре­ зультаты (не имеет систематической ошибки), т. е. метрологически атте­

стован. Тогда сравнение средних х( и хг, полученных этими двумя ме­

тодами, позволяет оценить правильность метода I — наличие или отсут­ ствие систематической ошибки.

После статистической обработки обеих выборок, полученных мето­ дами I и II, имеем:

метод I: среднее xj, объем выборки иь дисперсия Кр

метод II: среднее х2, объем Выборки пъ дисперсия V2.

Метрологическое сравнение методов желательно проводить при f > 10 n f, > 10.

Далее поступаем следующим образом.

1) Определяем, однородны ли дисперсии, используя F-критерий Фи­ шера согласно формуле (1.12). Если окажется, что Fpacc4 > FTa6a при дове­ рительной вероятности Р = 0,99, то два средних значения нельзя сравни­ вать между собой как относящиеся к двум выборкам одной и той же со­

21

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

вокупности (выборке большего объема), т. е. различие дисперсий стати­ стически значимо; дисперсии неоднородны.

Если же FpaK4 < FTабл при доверительной вероятности Р = 0,99, то, по­ скольку дисперсии однородны, продолжаем статистическую обработку далее.

2) Рассчитываем средневзвешенную дисперсию V = J 2 и функцию Стьюдента Грассч по формулам (1.14) и (1Л5):

3) Сравниваем грассч и ?та5л (табл. 1.1) для заданной доверительной ве­ роятности Р = 0,99 и числа степеней свободы / = и, + п2 - 2.

Если <рассч > Сабл> то расхождение между средними статистически зна­ чимо (неслучайно); метод I дает неверные результаты.

Если /рассч < гта6л, то расхождение между средними статистически не­ значимо. Результаты, полученные обоими методами, можно рассматри­ вать как одну выборочную совокупность. -

Пример сравнения двух методов количественного анализа по пра­ вильности и воспроизводимости. Пусть проведен анализ одного и того же объекта двумя методами I и II, причем известно, что метод 1 дает пра­ вильные результаты (отсутствует систематическая погрешность). В соот­ ветствии с вышеизложенным при сравнении двух методов желательно, как отмечалось выше, чтобы число степеней свободы f и f 2 для обеих выборок было больше 10. Пусть при первичной статистической обработке

22

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

Сравним оба метода по воспроизводимости.

Для этого используем ^-критерий Фишера (см. выше). Найдем

Получим FTабл = 4,47. Поскольку Fpacc4= 2,87 < FTa& = 4,47, то дисперсии однородны (различие между и V2 статистически незначимо). Оба ме­ тода дают воспроизводимые результаты, причем воспроизводимость ме­ тода II лучше воспроизводимости метода I.

Сравним оба метода по правильности.

Поскольку дисперсии V\ и V2 однородны-, то используем /-критерий Стьюдента. Рассчитаем средневзвешенную дисперсию V = 7 2 согласно формуле (1.14):

V = Г = [(и, - Щ + (и* - W , ]/(«, + пг - 2) =

= [(12 - 1) • 0,00525 + (12 - 1) ■0,00183]/(12 +12 - 2) = 0,003538.

Вычислим критерий Стьюдента /рассч согласно соотношению (1.15):

U H = fl*i- x , \ l v ai)[n{n j { n { +и2)]°'5 =

=(|3,12-3,20|/0,003538°s )[12 -12/(12 +12)]°5 = 3,29.

Втабл. 1.1 находим табличное значение /табл при доверительной ве­

роятности Р - 0,99, числе степеней свободы/ = и, + п2- 2 = 12 + 12 - 2 = 22: /Табл = 2,83. Поскольку /рассч = 3,29 > /табл = 2,83, то можно сделать вывод о том, что метод II с доверительной вероятностью Р = 0,99 не дает пра­ вильные результаты, т. е. содержит систематическую ошибку. Эту систе­ матическую ошибку можно оценить, если учесть, Что метод I в отличие от метода II дает правильные результаты, т. е. можно принять Зс, = а, где

а — действительное значение определяемой величины. Тогда системати­ ческая ошибка Д0 метода II будет равна согласно (1.2):

А0 = х2- х , = 3,20 -3,12 = 0,08.

Процентная систематическая ошибка (относительная величина сис­ тематической ошибки) 5 метода II равна согласно (1.3):

8 = (х2 - x t) - \ 00%/Зс, = 0,08 • 100%/3,12 = 2,6%.

Таким образом, метод II дает завышенные результаты.

23

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

1.5.3. Оценка допустимого расхождения результатов параллельных определений

В практике количественного анализа часто число параллельных оп­ ределений бывает меньше пяти и может равняться трем-четырем. При таком небольшом числе параллельных определений обычная статистиче­ ская обработка результатов количественного анализа теряет смысл. Тем не менее остается вопрос об оценке сходимости результатов параллель­ ных определений. Под допустимым расхождением результатов парал­

лельных определений Rmas„,, понимают регламентированную верхнюю доверительную границу размаха результатов параллельных определений

где хтах и хтш — максимальное и минимальное значения вариант, п — число независимых параллельных определений, Р — доверительная ве­ роятность.

Если отсутствует систематическая ошибка метода, то расхождение результатов параллельных определений допустимо (результаты сходят­ ся), когда выполняется условие (1.16):

где L(P, п) — фактор, вычисленный по Пирсону при доверительной веро­ ятности Р = 0,95, a s — стандартное отклонение.

Численные значения ЦР , п) для п = 2, 3, 4 и Р = 0,95 приведены ни­

Если условие (1.16) не выполняется, то результаты параллельных определений нельзя считать сходящимися, т. е. их расхождение недопус­ тимо. Анализ необходимо повторить. Если при повторных независимых параллельных определениях условие (1.16) все равно не выполняется, то следует использовать другу методику анализа.

1.6. Некоторые рекомендации по обработке результатов количественного анализа

На основании изложенного в предыдущих разделах можно дать не­ которые рекомендации, полезные при обработке результатов количест­ венного анализа.

24

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

1. Рекомендуемое число независимых параллельных определений п при проведении количественного анализа (особенно лекарственных препаратов) в оптимальном случае равно: 5 < п < 20. При таком объеме выборки можно делать статистическую обработку результатов анализа (оценку их воспроиз­ водимости) в рамках применения распределения Стьюдента.

Рекомендуемое значение доверительной вероятности равно Р - 0,95 = = 95%.

Конечное представление метрологических характеристик количест­ венного анализа удобно давать в форме итоговой таблицы, описанной в разделе 1.4.4. При этом предполагается, что используемый метод анализа не имеет систематической ошибки или же систематическая ошибка меньше случайных.

2. Устранение грубых промахов с использованием Q-теста рекомен­ дуется проводить при объеме выборки 5 < п < 10 и доверительной веро­ ятности Р = 0,90 = 90%. При большем объеме выборки и > 10 устранение грубых промахов проводят с использованием соотношения (1.11).

3.При малом объеме выборки п = 3—4 можно (при необходимости) проводить оценку допустимого расхождения результатов параллельных определений (оценку их сходимости) с использованием фактора ЦР, и), вычисленного по Пирсону, согласно соотношению (1.16) при довери­ тельной вероятности Р = 0,95.

4.Оценку двух методов анализа по правильности и воспроизводимо­

сти желательно давать при числе степеней свободы f > 10 и/ 2 > 10 в ка­ ждом методе и доверительной вероятности Р = 0,99 = 99%.

1.7.Примеры и задачи к гл. 1

1.7.1.Примеры

I.При анализе лекарственного препарата (с целью контроля его ка­ чества) мезатона — 1%-ного раствора для инъекций — потенциометри­ ческим методом найдены следующие значения pH этого раствора: 4,50; 4,52; 4,55; 4,60; 4,70; 4,75.

Определите доверительный интервал среднего значения pH раствора мезатона при доверительной вероятности Р = 0,95 (95%) и относитель­ ную ошибку среднего.

Решение. 1) Выясним, имеются ли грубые промахи. Сомнительным значением pH предположительно может быть 4,75. Воспользуемся Q- критерием, поскольку объем выборки п = 6:

брасом = (4,75 - 4,70) / (4,75 - 4,50) = 0,20.

25

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

Справочное (табличное) значение (?та6л при и = 6 и Р = 0,90 равно 0,56. Поскольку брассч = 20 < е табл = 0,56, то грубые промахи отсутствуют. Выборка однородна.

2) Рассчитаем среднее значение pH, отклонения АрН, квадраты от­

клонений и сумму квадратов отклонений:

pH = (4,50 + 4,52 + 4,55 + 4,60 + 4,70 + 4,75)/б = 4,60,

£ АрН2 =0,0100 + 0,0064 + 0,0025 + 0 + 0,0100 + 0,0225 = 0,0514.

3)Определяем стандартное отклонение s:

*= [( 2 > р Н 2) /( и - 1 ) Г =[0,0514/(6-1)]°5 =0,10.

4)Находим полуширину доверительного интервала АрН. Табличное

значение коэффициента Стьюдента при и = 6 и Р = 0,95 равно tFn = t0lJ5 6 = = 2,57.

Тогда АрН = /0 lJ5 6 s/и 0 5 = 2,57 ■0,1о /6°' = 0,10. Доверительный интервал: pH ± АрН = 4,60 ±'0,10.

5)Рассчитываем относительную погрешность среднего ё:

ё= (АрН/pH ) ■100% = (0,10/4,60) • 100% = 2,2%.

6)Составляем итоговую таблицу.

26

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

2. При определении (с целью контроля качества) посторонних при­ месей в образце лекарственного препарата — этилового эфира а-бро- мизовалериановой кислоты (субстанция) — методом газожидкостной хроматографии (ГЖХ) найдено суммарное содержание примесей (массо­

вая доля W), равное в пяти параллельных анализах, %: 1,30; 1,40; 1,50; 1,60; 1,60.

Охарактеризуйте воспроизводимость полученных результатов, рас­

считав доверительный интервал среднего W ± A W и относительную ошибку ё среднего результата при доверительной вероятности Р = 0,95.

Решение. 1) Определяем наличие грубых промахов:

Qx= (1,40- 1,30)/(1,60- 1,30) = 0,33;

Qs = (1,60- 1,50)/(1,60- 1,30) = 0,33.

Табличное значение (9табл (Р = 0,90; п = 5) = 0,64.

Рассчитанные значения Qx и Qs, равные 0,33, меньше, чем (9табл = 0,64. Следовательно, грубые промахи отсутствуют. Выборка однородна.

2)Рассчитываем среднее значение:

W =(1,30+ 1,40+1,50+ 1,60+ 1,60)/5 = 1,48.

Определяем отклонения AW„ их квадраты и сумму квадратов откло­ нений, для чего составим таблицу отклонений:

Таблица отклонений

Сумма квадратов отклонений: У л1 Т 2 =0,0680.

3) Вычисляем стандартное отклонение:

•s = [ Z Al^ 2/(« -l> ]05 =(0,0680/4)°5 = 0,1304 «0,13. 4) Определяем полуширину доверительного интервала:

AW ='s t0ж5 / и"5 = 0,13 • 2,78/5°5 = 0,16.

Доверительный интервал: W ± AW = 1,48 ± 0,13. 5) Рассчитываем относительную ошибку среднего:

s= AW -100% /ж = 0,16 • 100%/1,48 = 10,8%.

6)Составляем итоговую таблицу

27

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

индометацина в лекарственной форме — в мази индометацина 5%-ной — был проанализирован образец мази, содержащий 0,0200 г индометацина. В шести параллельных анализах найдена масса т индометацина, равная, г : 0,0196; 0,0198; 0,0199; 0,0200; 0,0202; 0,0205.

Охарактеризуйте воспроизводимость результатов анализов, рассчи­ тав доверительный интервал среднего т ± Ат и относительную ошибку Ё среднего результата при доверительной вероятности Р = 0,95.

Оцените правильность методики анализа и рассчитайте системати­ ческую ошибку методики (если она имеется). Истинное значение содер­ жания индометацина ц = 0,0200 г.

Поскольку Qi = 0,22 и Q6 = 0,33 меньше б™бл(^ = 0,90; п = 6) = 0,56, то грубые промахи отсутствуют. Выборка однородна.

2)Вычисление среднего значения и отклонений. Среднее значение:

т= ( 0,0196 + 0,0198 + 0,0199 + 0,0200 + 0,0202 + 0,0205) / 6 = 0,0200.

Сумма квадратов отклонений: ^Гд/и =7010 8.

3)Стандартное отклонение:

*= []Г Д ш ,7 (и -1 )Г =[70-10 7 ( 6 - 1)]"5 =0,0004.

28

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

4) Полуширина доверительного интервала:

Дот = = 0,0004 • 2,57/б0'5 = 0,0004.

Доверительный интервал: от + Дот = 0,0200 ± 0,0004. 5) Относительная ошибка среднего результата:

s= (Лот/от) • 100% = 0,0004 • 100%/0,0200 = 2%.

6)Итоговая таблица:

7) Поскольку истинное значение ц = 0,0200 лежит внутри довери­ тельного интервала среднего, то систематическая ошибка отсутствует. Методика анализа дает правильные результаты.

4. Методом высокоэффективной жидкостной хроматографии (ВЭЖХ) проведен анализ лекарственного препарата калагель (детский зубной гель, обладающий обезболивающим и антисептическим действием) на содержание в нем фармакологически активного вещества — лидокаина гидрохлорида. В семи параллельных определениях содержание W ука­ занного активного компонента найдено равным, в процентах от номи­ нального (введенного в препарат) количества: 100,10; 100,50; 100,70; 101,00; 101,30; 101,40; 101,40.

Охарактеризуйте методику по воспроизводимости среднего резуль­ тата и правильности при доверительной вероятности Р = 0,95, если ис­ тинное значение ц = 100%.

Решение. 1) Оценка грубых промахов.

£>, = (100,50100,10)/(101,40100,10) = 0,31, Qn = (101,40101,30)/(101,4 0 - 100,10) = 0,08.

Значения gi = 0,31 и Q1= 0,08 меньше табличной (при Р = 0,90 и и = 7) величины е табл = 0,51, поэтому грубые промахи отсутствуют. Выборка однородна.

2) Среднее значение:

W = (100,10 + 100,50 +100,70 + 101,00+101,30 + 101,40 +101,40)/7 = 100,91.

Отклонения и сумма квадратов отклонений:

29

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ__________________ М М А им .И .М . Сеченова

Харитонов Ю.Я. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. АНАЛИТИКА. Кн. 2

Таблица отклонений

5 = Е а ^ 2А я - 1 ) Г = (1>51/6)0 5 =0,50.

4)Полуширина доверительного интервала:

а^ = 5'о,95л/ и°5 = ° ,5()-2,45/7 05 =0,46.

Доверительный интервал: W ± AIV = 100,91 ±0,46. 5) Относительная ошибка среднего результата:

s = 0,46-100%/100,91 = 0,46%.

Итоговая таблица

W, 100,10; 100,50; 100,70; 101,00; 101,30; 101,40; 101,40

п7

Б0,46

6)Истинное значение ц = 100% лежит за пределами доверительного интервала. Следовательно, методика отягощена систематической ошиб­

кой Д0:

До = ^ —(3 = 100,91—100 = 0,91. Относительная величина систематической ошибки 8:

8 = (W - ц) • 100%/ц = (100,91 -100) ■100%/100 = 0,91 %.

Методика дает слегка завышенные результаты.

К аналогичному результату можно прийти, воспользовавшись f-кри- терием согласно (1.13):

30