6. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений.

Рассмотрим линейно-независимую на систему функций(1), имеющих производные доn-го порядка включительно.

(2)

Где - неизвестная функция будет линейным дифференциальным уравнением , для которого функции (1) составляют фундаментальную систему решений . Коэффициенты приn-ой производной в (2) есть системы (1).

Те точки, в которых этот определитель обращается в ноль, называются особыми точками построенного уравнения. В этих точках обращается в ноль коэффициент при старшей производной , для которой функциииобразуют фундаментальную систему решений.

7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

Для правых частей специального вида частные решения находятся так

Где и- многочлены степениl и m соответственно.

В этом случае

и - многочлены отx, k-ой степени общего вида с неопределенными коэффициентами

Если не является корнем характеристического уравнения тоs=0.

(1)

Если , то на рассматриваемом интервале после деления будем иметь

(2)

Если в уравнении (1) все коэффициентыи правая частьнепрерывны, то оно имеет единственное решение при

где - любые действительные числа, а- любая точка.

Действительно (1a)

В окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности

Имеет ограниченные частные производные, где , т.к. эти производные равны непрерывным коэффициентам. На начальные значенияне налагается никаких ограничений

1.

2.

В первом случае С – постоянная.

, а

Доказательство

здесь , а

Если является решением уравнения

, где - постоянные.

Доказательство

(3)

Это свойство, называемое принципом суперпозиций, остается справедливым и при если рядсходится и допускаетсяn-кратное почленное дифференцирование.

В этом случае возможен переход в (3).Если все коэффициенты- функцииидействительны, имеют решения, то действительная частьи мнимая частьявляются соответствующими решениями уравненийи

Теорема

Общее решение на уравненияс непрерывными на том же отрезке коэффициентамии правой частьюравно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения инеоднородного уравнения.

Метод подбора со специальным видом правой части.

Пусть имеется дифференциальное уравнение

(1)

1.

- многочлен n-ой степени, тогда

1) не является корнем характеристического уравнения

здесь (3)

- многочлен степени n.

- многочлен степени n-2.

Слева и справа имеем многочлен n-ой степени. Приравнивая коэффициент, при равных степенях n , получаем систему для нахождения

Пример

2)является однократным корнем характеристического уравнения

Пример

3)- двукратный корень характеристического уравнения

Пример

Правило 1

Если правая часть уравнения есть произведение показательной функциина многочлен, то частное решение уравнения следует искать в виде

- многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами, а показатель степени равен кратности корняв характеристическом уравнении.

Правило 2.

Если правая часть есть многочленn-ой степени , то частное решение такого уравнения, где- многочленn-ой степени с неопределенными коэффициентами показатель степениравен кратности корня

Пример

| 12A = 1 | 6A+8B=0 | 2B+4C=0

Если правая часть

и - многочлены

и - многочленыk-ой степени общего вида с неопределёнными коэффициентами

- кратность корней характеристического уравнения, гдене является корнем характеристического уравнения

Пример

Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.

Правая часть дифференциального уравнения	Корни характеристического уравнения	Виды частных решений
	1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения	многочлен с неизвестными коэффициентами
	2. Число 0 корень характеристического уравнения кратности
	1. не является корнем характеристического уравнения
	2. является корнем характеристического уравнения кратности
	1. не является корнем характеристического уравнения
	2. является корнем характеристического уравнения кратности
	1. не является корнем характеристического уравнения
	2. является корнем характеристического уравнения кратности

Пример 1.

;

Пример 2.

;

;