7 Поверхностные интегралы

В прямоугольной системе координат задана некоторая область. Пусть в областизадана некоторая поверхность, ограниченная некоторой пространственной линией. Относительнобудем предполагать, что в каждой её точкеопределено положительное направление единичным вектором, направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Пусть в каждой точке поверхности, где- непрерывные функции координат.

Разобьём поверхность каким-либо способом на элементарные площадки , на каждой площадке возьмём точку

(1)

- значение вектора в точкеплощадки.

- единичный вектор нормали в этой точке.

- скалярное произведение этих векторов.

Предел суммы (1), распространённый на все при стремлении к нулю диаметров всех таких площадок называется поверхностным интегралом.

(2)

Каждое слагаемое суммы (1) (3)

Механическое истолкование.

Это произведение равно объёму цилиндра с основанием и высотой.

Если есть скорость жидкости, протекающей через поверхность, то произведение (3) равно количеству жидкости протекающей через площадкуза единицу времени в направлении вектора.

даёт общее количество жидкости протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении, если подподразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхность интеграла (2) называется потоком векторного полячерез поверхность.

Из определения поверхностного интеграла следует, если разбить на части

Выразим единичный вектор через его проекции на оси координат

Подставляя в (2) выражения ичерез их проекции, получим

- проекция площадки

(4)

.

8 Вычисление поверхностного интеграла

Вычисление интеграла по кривой поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области.

Пусть поверхность такова, что всякая прямая параллельнаяпересекает её в одной точке.

Обозначим через проекцию поверхностина, получим

- интегральная сумма для двойного интеграла по области от функции.

« + » берётся, когда

« - » берётся, когда

Если не удовлетворяет условию указанному в начале, то её разбивают на части.

9 Формула Стокса

Пусть имеется поверхность , такая, что всякая прямая, параллельная, пересекает её в одной точке. Границу поверхностиобозначим через. Положительное направлениевозьмём таким образом, чтобы она образовывала с положительным направлениемострый угол.

Предположим, что всеми точками лежит в некоторой области. Пусть взадана функция, непрерывная вместе с частными производными первого порядка.

На линии имеем, где- координаты точек линии, являющейся проекцией линиина плоскость.

(2)

Сделаем преобразования по формуле Грина

(3)

(4)

(5)

(6)

Последний интеграл преобразуем с помощью (1).

или

(7)

(8)

Направление контура .

Если наблюдатель смотрит с конца , то он видит обход против часовой стрелки.

Формула (8) справедлива для любой поверхности, если её можно разбить на части, уравнения которой .

(8a)

(8б)

(9)

(9) – формула Стокса.

Обход по кривой совершается по тому же правилу.

Теорема М.В.Остроградского(1801 - 1861).

Пусть в пространстве задана правильная область , ограниченная замкнутой поверхностью, и проектируется нав замкнутую область.

Предположим, что можно разбить на 3 частитак, что уравнение первых двух.

Функции непрерывны в области, а третья часть - цилиндрическая поверхность с образующими параллельными.

(1)

Выберем на нормали к поверхности направление, которое совпадает с направлением внешней нормали к поверхности .

Тогда будет на поверхностиположительным, а наотрицательным, наон будет равен нулю. Двойные интегралы в правой части (1) равны

(2a)

Элементы поверхностей ии элемент площадисвязаны, так как угол междуитупой.

(2б)