8. Уравнение Эйлера

Уравнение вида (1)

где - постоянные; называется уравнением Эйлера.

Пример.

;

; ;

;

9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Этот метод называется методом сведения к уравнению соответствующего порядка. Порядок уравнения зависит от количества уравнений системы.

Пример 2.

;

;

Пример 3

- характеристическое уравнение системы

1).

2).

3).

Теория функций комплексного переменного.

1. Комплексные числа

- действительная часть

- мнимая часть

называется сопряженным комплексному числу

Комплексные числа иназываются равными, еслии

- модуль комплексного числа

- главное значение

Два комплексных числа иравны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную.

Действия над комплексными числами

1.

2.

3.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

Формула Муавра

Свойства модуля комплексных чисел

1) 2) 3) 4) 5)

7) 6) 8)

Точки соответствующих значений являются вершинами правильногоn – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат. Любое числоz, не равное нулю, можно записать в показательной форме , где,.

Формула Эйлера

(a)

(b)

2. Непрерывные функции комплексного переменного

Пусть на множестве E комплексной плоскости z определена комплекснозначная функция W=f(z)

Комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных.

Все свойства функций действительных переменных переносятся на функции комплексного переменного.

Предел функции.

Пусть точка является предельной точкой множестваE, то есть любая окрестность точки содержит бесконечное число точек множестваE.

Число A называется пределом при, если

или при

Если сходится кA, т.е.

Существование , где, равносильно существованию пределови

Пределы функции комплексного переменного обладают такими же свойствами.

Если ,, то

,

Непрерывность.

Пусть определена на множествеE и точка .

Функция называется непрерывной в точке, если

Функция называется непрерывной в точке, еслиинепрерывны в точке.

называется непрерывной на множестве E, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Сумма, разность, произведение и частное (в тех точках, в которых знаменатель не равен нулю) непрерывных функций комплексного переменного является непрерывной функцией.

3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.

Пусть определена в некоторой окрестности точки.

Если существует конечный предел (1),

то этот предел называется производной функции в точке, аназывается дифференцируемой в точке.

называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

(2)

:

, где

Если (3), то, гдеA – комплексная постоянная, не зависящая от .

Равенство (3) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости в точке.

Из (3) следует, что функция, дифференцируемая в точке , непрерывна в этой точке.

Пример

C = Const

Если существует , тоимеет один и тот же предел припо любому пути.

Функция комплексного переменного, дифференцируемая в области, обладает производными всех порядков в этой области.

На функции комплексного переменного распространяются известные формулы дифференцирования.

Если идифференцируемы в точкеz, то их сумма, произведение и частное так же дифференцируемы в этой точке.

1.

2. ,C = Const

3.

4.

Если дифференцируема в точкеz, а дифференцируема в точке, то

Замечание.

Непрерывность функции комплексного переменного в точкеравносильно непрерывности функцийив точке. Аналогичное утверждение не имеет места для дифференцируемости. Именно требование дифференцируемости функцииналагает дополнительные условия на частные производные функцийи.

Условие Коши-Римана.

Теорема 1.

Чтобы функция была дифференцируема в точкенеобходимо и достаточно, чтобы 1) функцииибыли дифференцируемы в точке, и 2) в точкевыполнялись условия Коши-Римана (4)

Для выполнения условий теоремы имеет место формула (5)

Доказательство:

Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда(6)

(7)

Выделяя в последнем выражении действительные и мнимые части находим

(8)

Действительная функция дифференцируема в точкетолько если и приращение представляется в виде, гдеи- действительные числа, не зависящие оти.

При этом и

(9)

Аналогично найдём, что .

Вывод: ив формулах (8) удовлетворяют условиям (9) и поэтому функцииидифференцируемы в точке.

Из формулы (8) ;;;

Отсюда следует формула Коши-Римана

Достаточность.

Пусть функции идифференцируемы в точкеи пусть выполняются условия (4), тогда имеет место равенство (8) гдеи.

Умножая вторые из этих равенств на и складывая с первым получаем

или

или

, где

Отсюда следует дифференцируемость функции в точке.

Пример.

;

Функции ,,z, z дифференцируемы во всей комплексной плоскости и их производные вычисляются по формулам ,,,.

Замечание.

Пусть , тогда

Эти формулы связывают декартовые и полярные координаты

;

Формулы для производной