- •Содержание Двойной и тройной интегралы.
- •1 Двойной интеграл. Объем цилиндрического тела.
- •2 Свойства двойных интегралов
- •3 Вычисление двойного интеграла
- •4 Двойной интеграл в полярных координатах
- •5 Вычисление площади поверхности
- •6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
- •7. Тройной интеграл
- •8. Физические приложения двойных и тройных интегралов
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •1 Криволинейный интеграл второго рода по координатам
- •2 Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •3 Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
- •4 Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
- •5. Формула Грина.
- •7 Поверхностные интегралы
- •8 Вычисление поверхностного интеграла
- •9 Формула Стокса
- •Элементы теории поля.
- •1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля
- •3 Циркуляция и ротор векторного поля
- •4. Оператор Гамильтона и его применение.
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •2. Однородные уравнения
- •5. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.
- •6. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений.
- •7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •8. Уравнение Эйлера
- •9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Теория функций комплексного переменного.
- •1. Комплексные числа
- •2. Непрерывные функции комплексного переменного
- •3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.
- •4 Сопряжённые гармонические функции
- •5 Конформное отображение
- •6 Постоянство растяжений
- •7 Интеграл по комплексному переменному
- •8 Ряд Лорана
- •9 Классификация изолированных особых точек
- •10 Вычеты
- •11. Вычисление интегралов при помощи вычетов
- •12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию
- •13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного
8 Ряд Лорана
Теорема 1.
Пусть .
Всякая аналитическая функция в кольце (1) однозначна и представлена в виде сходящегося ряда
(2)
(3)
;
Ряд (2) называется рядом Лорана функции по степенямили разложением Лорана функциив кольце (1).
Когда полагаем, что сходится, то подразумевается, что сходятся отдельнои
Пример.
Функция аналитическая на плоскости за исключением точек 2 и 3.
a) Функция аналитична в кругеи на основании теоремы её можно разложить в ряд Тейлора по степенямсходящимся в круге
;
b) Функция аналитическая в кольце
- окружность ориентирован против часовой стрелки.
Для
c) Функция аналитична во внешней области кругаи удовлетворяет неравенству.
можно разложить в ряд Лорана
Элементы не могут входить в разложение
Пример.
Разложить в ряд Тейлора по степеням
- открытый круг с центром в точке радиуса.
Внутри аналитическая, а любой больший его концентрический круг содержит в себе особую точку, в которой аналитичность нарушается. Разложимв ряд Тейлора по степеням
Вывод:
Искомая функция есть разложение в ряд Тейлора по степеням функции. Радиус сходимости этого ряда.
9 Классификация изолированных особых точек
Пусть ианалитична в кольце, то она раскладывается на сходящийся в ней ряд Лорана.
Пусть предполагается, что функция аналитическая во внешнем круге, из которого выколота точка
В точке функция бывает неопределенна, в этом случае- изолированная особая точка. Степенной рядимеет радиус сходимостипоэтому его производная непрерывна в круге
Первый случай.
Т.к. степенной ряд сходится для любого , то его радиус сходимости равени его суммаопределена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга. Т.о. функцияаналитична в этом круге. Если принять, то функциябудет аналитичной. В этом случае особенностьв точкеустранима. Достаточно положить, как функциястанет аналитической не только поблизости от точки, но и в самой точке.
для любого замкнутого контура содержит точкуи принадлежащего кругу.
Второй случай.
Т.к. для
В этом случае полагают, что точка есть полюс функциипорядка (кратности). Приточкуназывают простым полюсом.
Т.к. и
Если - контур, ориентированный против хода часовой стрелки и принадлежащий кругу, то
Третий случай.
В ряду не равно нулю бесконечное число коэффициентов. Считается, чтоимеет в точкесущественную особенность.
Однако в указанных условиях не стремится прик какому-либо пределу.
Пример.
Здесь имеется существенная особенность в точке . Эта функция не имеет предела в точке.- существенно особая точка.
10 Вычеты
Пусть - полюс-го порядка функции. Вычет функцииотносительно её полюса-го порядка вычисляется по формуле
Если - полюс 1-го порядка
При вычислении вычета в точке
(ряд Лорана)
Теорема о вычетах.
Пусть аналитическая на всей плоскостиза исключением конечного числа точек. Тогда
Доказательство.
Построим окружности ориентированные по часовой стрелке с центрами соответствующиенастолько малого радиуса, чтобы они не пересекались. Кроме того, построим окружностьориентированную против часовой стрелки с центром в нулевой точке настолько большого радиуса, чтобы она охватывала все окружности.
Сложный контур ограничивает областьв которой функцияаналитическая.
При обходе по областьостаётся слева, тогда на основании теоремы Коши для сложного контура
(*)
или
Внутри каждого из контуров находится одна особая точка, а вне контура только одна особая точка.
Вывод:
Если затруднительно вычислить интегралы из (*).
Само вычисление этих интегралов сводится к разложению в ряд Лорана в окрестности соответствующих особых точек.