Элементы теории поля.

1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Скалярным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой которой связано определённое значение скалярной физической величины. Задание поля скалярной величины равносильно заданию скалярной функции. Функция, определяющая плоское скалярное поле, зависит от двух переменных, а функция, определяющая пространственное поле.

Линией уровня плоского скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которой функция этого поля имеет одинаковые значения. Линия уровня, во всех точках которой имеет одно и то же значениеопределяемое уравнением. Различным постоянным значениям функциисоответствуют различные линии уровня,.

Поверхностью уровня пространственного скалярного поля называется совокупность точек пространства, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения . Через каждую точку проходит только одна поверхность (линия уровня). Они заполняют всю рассматриваемую область и не пересекаются между собой. Производнаяпо направлениюназывается отношениек длине вектора, когдаоставаясь на прямой.

определяет величину скорости изменения функции при перемещениипо направлению. В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет производную по любому направлению. Производные по прямо противоположным направлениям отличаются только по знаку.

Производная по направлению линии уровня, касательная к линии уровня и по любому направлению, касательная к поверхности уровня равны нулю.

Градиент функции

Направление градиента в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Из всех производных наибольшее значение имеет производная по направлению градиента.

Пример 1.

Найти производную в точкепо направлению биссектрисы первого координатного угла.

Пример 2.

С какой наибольшей скоростью может возрастать при переходе точкичерез точку.

В каком направлении должна двигаться чтобыубывала с наибольшей скоростью. Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения функциипри переходечерез точкучисленно равна модулю градиента функции в точке. При этом функция будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка двигаться по направлению градиента в точкеили в противоположном направлении.

1.

Его модуль численно равен искомой скорости возрастания

2.

Чтобы убывала с наибольшей скоростью при переходе через точку. Точкадолжна двигаться в направлении противоположном

Пример 3.

Найти точки, в которых функция стационарна, т.е. точки в которых производная по любому направлению равна нулю. Чтобы производная в точке по любому направлению была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы все частные производные первого порядка в этой точке обращались в ноль.

2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля

Векторным полем называется плоская или пространственная область с каждой точкой которой связано определённое значение некоторой векторной физической величины. Если векторное поле отнесено к прямоугольной системе координат, а проекциибудут скалярными функциями

Поэтому задание векторной величины равносильно заданию скалярных функций (проекций).

Векторной линией векторного поля называется кривая, направление которой в каждой точке совпадает с направлением вектора, соответствующего этой точке.

Потоком векторного поля образованного вектором через поверхностьназывается поверхностный интеграл

(1)

Если определяет поле скоростей текущей жидкости, товыражает количество жидкости, протекающей через поверхностьза единицу времени. При этом если- замкнутая поверхность ограниченная областьюи если интеграл (1) берётся по внешней стороне, тоназывается величина потока изнутри. Она даёт разность количества жидкости вытекшей из областии втекающей за единицу времени. Прииз областивытекает больше жидкости, чем в неё втекает, что указывает на наличие в этой области источников. Прииз областивытекает меньше жидкости, чем в неё втекает, что означает наличие в этой области стоков. Прииз областивытекает столько же жидкости, сколько втекает.

Дивергенцией векторного поля, определяемого вектором , называется скаляр

(2)

Если , то точканазывается источником.

Если , то точканазывается стоком.

В первом случае в любой бесконечно малой области, окружающей точку , жидкость возникает.

характеризует мощность источника или стока.

Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна нулю, называется соленоидальным.

Согласно формуле Остроградского поток и дивергенция векторного поля связаны следующим равенством

(3)

Смысл формулы (3):

Поток векторного поля через поверхность равен тройному интегралу ограниченного этой поверхностью от дивергенции поля.

Каждая точка поля радиуса является источником постоянной мощности.