tot_book

71

Л. Больцман показал, что в необратимых процессах термодинамическая вероятность каждого последующего состояния больше, чем предыдущего. Если считать термодинамический процесс последовательностью состояний, то термодинамическая вероятность w будет возрастающей функцией, т. е. dw > 0 (для обратимых процессов все состояния равновероятны, при этом dw = 0). Формально термодинамическая вероятность и энтропия системы близки по смыслу, что и позволило Л. Больцману представить энтропию системы в форме

где k = 1,38054·10–26 кДж/кг — постоянная Больцмана.

Л. Больцман полагал, что “природа стремится от состояний, менее вероятных, к состояниям, более вероятным”. Это утверждение также можно считать формулировкой второго начала.

Следует помнить, что принцип возрастания энтропии применим только к изолированным системам. Кроме того, любая термодинамическая система должна быть замкнутой, поэтому использовать его за пределами этих ограничений, например, для анализа процессов во Вселенной, недопустимо.

Соотношение (1.85) в сочетании с уравнением первого начала позволяет объединить оба основных закона (начала) термодинамики. Из уравнения (1.85) следует, что dq ≤Tds ;

объединенное уравнение первого и второго начал термодинамики примет вид

Соотношения (1.87) и (1.88) справедливы для любых процессов — обратимых и необратимых.

1.5.6. Т–s-диаграмма состояний. Изменение энтропии в процессах идеального газа

72

Из формулы (1.85) следует, что теплота произвольного обратимого процесса, идущего от состояния 1 к состоянию 2,

s2

q1−2 = ∫Tds.

s1

Если по оси абсцисс отложить энтропию системы, а по оси ординат — абсолютную температуру, то площадь под кривой процесса 1–2 в такой диаграмме состояний будет равна теплоте, подведенной (отведенной) в данном процессе (рис. 36). Это обстоятельство делает диаграмму T–s чрезвычайно удобной, и наряду с p–v-диаграммой ее широко используют в термодинамике. По аналогии с диаграммой p–v (рабочей) Т–s-диаграмму называют

тепловой диаграммой состояний.

Рис. 36 Рис. 37

Применим Т–s-диаграмму к анализу процессов идеального газа. Изменение энтропии газа в обратимых процессах х = const можно оценить, используя объединенное уравнение первого и второго начал (1.87):

Tds ≥ de + pdv.

Если подставить в эту формулу значение de = cvdT и поделить обе части на Т, то получим

73

но для идеального газа Tp = Rv , поэтому

dTT + R dvv .

Рассчитаем изменение энтропии в произвольном обратимого процессе 1–2. При этом вспомним, что разность s2 – s1, не зависит от пути интегрирования, поскольку s — функция состояния. Изобразим процесс 1–2 в диаграмме состояний v–T(она “ничем не хуже”, чем р–v или Т–s-диаграммы, а в данном случае делает рассуждения более наглядными). Переведем рабочее тело из состояния 1 в состояние 2 не по первоначальному пути 1а2, а по ломаной 1b2, состоящей из отрезков изохоры v = const и изотермы Т= const (рис. 37). Поскольку на прямой 1b dv = 0, а на прямой b2 dT

= 0,

Уравнения (1.89а) и (1.896) справедливы для любого обратимого процесса идеального газа х = const. Рассмотрим частные случаи: Т = const, v = const, p = const, q = 0 и n = const (рис. 38).

74

Изотермический процесс 1–2Т изображен на тепловой ди-

аграмме горизонтальной прямой, его теплота

q1−2T =T (s2T − s1 ),

а изменение энтропии, на основании соотношений (1.89а и 1.89б)

Чтобы получить уравнение изохорного процесса 1–2v, ис пользуем уравнение (1.89а). При v2 = v1 из него следует, что

Если в изохорном процессе заданы начальная и конечная удельные энтропии s1 и s2, то формула (1.91) позволяет определить конечную температуру

Поскольку сpm > cvm, экспонента (1.94) на рис. 39 идет более полого, чем экспонента (1.92).

Адиабата 1–2s на тепловой диаграмме — вертикальная прямая, совпадающая с линией s = const. Теплота в этом процессе не подводится и не отводится (q1–2s = 0), изменение энтропии равно нулю (s2s – s1 = 0).

75

В политропном процессе (n = const) из уравнения Tvn–1 = const следует, что

v2n v1 = (T1 T2n )1(n−1) ;

кроме того, политропная теплоемкость

Формулы (1.90), (1.91), (1.93), (1.95) позволяют вычислить

изменение энтропии. Истинное же значение энтропии в точке на диаграмме состояний неизвестно: энтропия, как и другие функции состояния, определена с точностью до постоянной. Для того чтобы иметь конкретные значения s, договариваются о точке, где энтропии приписывают нулевое значение. Такая точка для газов соответствует нормальным условиям (TN = 273,15 К; pN = 760 мм рт. ст.). Если энтропию отсчитывать от этой точки, то результаты совпадут с табличными значениями энтропии:

s = cvm TTN ln(T TN )+ R ln(vvN ),

где vN — удельный объем газа при нормальных условиях.

В Т–s-диаграмме состояний удобно сравнивать эффективность различных циклов. Покажем, в частности, некоторые важные свойства цикла Карно. В осях Т–s он имеет вид прямоугольника, причем площадь под верхней изотермой равна подведенной теплоте, а под нижней — теплоте отведенной.

Сравним термические КПД двух циклов: обратимого цикла Карно С и произвольного обратимого цикла А, расположенного в том же интервале температур Th и Тс (см. рис. 39).

Термический КПД цикла С зависит только от температур Th и

Тс:

76

Таким образом, термический КПД цикла Карно больше,

чем термический КПД любого другого цикла в том же интервале температур. Другими словами — цикл Карно является своего рода эталоном, поскольку его термический КПД — наивысший из всех возможных в данном температурном интервале. Поэтому о термодинамическом совершенстве реального цикла судят, сравнивая его термический КПД с термическим КПД цикла Карно.

При анализе эффективности циклов часто используют понятие среднеинтегральной температуры подвода и отвода теплоты. Если в процессе 1–2 подводится или отводится теплота

77

Рис. 40.

s2

q1−2 = ∫T1−2ds, s1

где T1−2 — температура процесса (зависящая, в общем случае, от параметров рабочего тела), то, на основании теоремы о среднем,

q1−2 = T1−2 (s2 − s1),

где T1−2 — среднеинтегральная температура процесса 1–2; поэтому

Среднеинтегральная температура процессов подвода и отвода теплоты позволяет рассчитать термический КПД произвольного цикла D (см. рис. 40). На участке abc этого цикла теплота подводится, так как здесь ds > 0 и, поэтому Tds = dq > 0. На участке cda теплота отводится (здесь ds < 0 и dq < 0). Подведенная теплота

q1D = qabc =Th (sc − sa ),

где Th — среднеинтегральная температура подвода теплоты; отведенная теплота

q2D = qcda = Tc (sa − sc ) =Tc (sc − sa ),

где Tc — среднеинтегральная температура отвода теплоты. Следовательно, термический КПД цикла D

79

Пусть цикл Карно ABCD осуществляется в интервале температур от Ts = 100 °С до Тm = 0 °С — между точками кипения воды и таяния льда (индексы соответствуют англ. saturation и melting).

Если разбить цикл ABCD на 100 одинаковых циклов Карно, то работа каждого из них составит 0,01 от общей работы цикла ABCD, причем эта калорическая величина будет соответствовать единице температуры — одному градусу (1 °С совпадает по величине с 1 К).

Практическая реализация термодинамической шкалы потребовала бы точных измерений количества теплоты на изотермах, что связано с большими трудностями в постановке экспериментов. В интервале температур 1…1530 К термодинамическую шкалу температур реализуют с помощью идеально-газовых термометров. Их устройство чрезвычайно просто. В сосуде постоянного объема находится газ, при нагреве давление в сосуде увеличивается, а температуру газа рассчитывают по уравнению Клапейрона-Менделеева

T = vpR = const p.

80

Рис. 41.

Использование идеально-газового термометра не умаляет ценности главного вывода, сделанного Кельвином: существуют

температурные шкалы, не зависящие от свойств термометрического тела, а идеально-газовая температура лишь приближенно совпадает с одной из этих шкал.

1.6. ЦИКЛЫ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

В зависимости от процесса, в котором подводится теплота, поршневые двигатели внутреннего сгорания (ДВС) делятся на несколько типов. ДВС карбюраторного типа работают на бензине, подвод теплоты в них осуществляется в изохорном процессе v = const. Дизельные ДВС работают на тяжелых топливах, теплота в них подводится в изобарном процессе р = const. Конструктивно оба типа ДВС близки друг к другу (рис. 42).

Вспомним последовательность процессов в цилиндре ДВС:

1.Всасывание: поршень 3 из верхнего положения идет вниз, через открытый клапан 1 топливная смесь (воздух в дизельном ДВС), поступает в цилиндр.

2.Сжатие: поршень 3 движется вверх, оба клапана 1 и 2 закрыты, топливная смесь (воздух в дизельном ДВС) сжимается, одновременно повышается температура в цилиндре. В дизельном ДВС в конце сжатия в цилиндр специальным насосом подается порция топлива.

3.Расширение (рабочий ход): оба клапана 1 и 2 закрыты, за счет электрической искры в карбюраторном ДВС (или под воздействием высокой температуры в ДВС дизельном) топливо воспламеняется и сгорает. Продукты сгорания, расширяясь, перемещают поршень 3 вниз. При этом совершается работа, которая может быть использована почти целиком.

4.Выхлоп: клапан 2 открывается (клапан 1 закрыт), поршень 3 идет вверх и выталкивает продукты сгорания.

Далее процессы в цилиндре повторяются.