tot_book

вот почему запись краевой задачи Фурье в форме (2.78)–(2.80) удобнее, чем в размерной форме (2.75)–(2.77). Кроме того, задача получает обобщение: решение (2.81) описывает поле температуры в любой пластине, независимо от численных значений α,δ, a = λ/(ρс), и в любой момент τ = Foaδ2 .

Решение (2.81) представляют собой сумму бесконечного ряда

172

Рис. 92.

Трансцендентное уравнение (2.83) решим графически, построив кривые y1 = ctgµ и y2 = µ/ Bi в осях у–µ (рис. 92). Из графика видно, что корней уравнения (2.83) — бесконечное множество, они приведены в виде таблиц в справочной литературе.

Функцию cos(µnL) называют собственной функцией задачи

(2.78)–(2.80).

Коэффициент разложения (амплитудная функция)

точностью; обычно принимают n ≤ 6, а для Fо ≥ 0,3 хватает и одного первого корня µ1:

Условие (2.85) соответствует так называемому регулярному тепловому режиму (см. разд. 2.45).

По мере увеличения значений Вi линия у2 на рис. 92 будет отклоняться от оси абсцисс на все меньший угол и при Вi→∞

173

при этом An = (2n −1)n+1 (практически это произойдет при Вi>100).

µn

В этом случае αλ → ∞, Tw →Tf , граничные условия III рода выродятся в условия I рода. Распределение температуры T (x) Bi→∞

представлено на рис. 93,a.

Другой предельный случай — Вi→0; уравнение (2.82) при этом переходит в форму,

которая соответствует практически равномерному распределению температуры ϑ(L)L+1 (рис. 93,б). Заметим, что равенство (2.86) в

точности совпадает с соотношением (2.62), полученным в разд. 2.4.1 для термически тонких тел.

Для цилиндра и шара распределения температуры также выражаются суммами членов бесконечных рядов:

— для неограниченного цилиндра

174

где J0(µ), J1(µ), — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка, соответственно; r/r0 — безразмерная координата

где r/r0 — безразмерная координата для шара радиусом r0 (здесь r ≤ r0 — текущая размерная координата).

В формулах (2.87) и (2.88) µn — корни соответствующих характеристических уравнений, их значения для цилиндра и шара табулированы, как и сами функции Θc и Θb. В обе формулы входит

экспоненциальный множитель e−µ2nFo , причем, как и для пластины, начиная с Fо ≥ 0,3 безразмерная избыточная температура достаточно точно определяется первым членом соответствующего ряда: для цилиндра и шара, как и для пластины, наступает регулярный тепловой режим.

В задачах нагрева и охлаждения часто требуется найти среднюю безразмерную температуру тела

каждого из этих тел.

175

В инженерных расчетах вместо формул (2.89) можно использовать соответствующие графики; в справочной литературе они приводятся для пластин, цилиндров бесконечной длины, шаровых стенок и некоторых других тел.

При заданных Вi и Fо последовательно находят Θ, затем T (τ) = Θ(T0 −Tf )+Tf , после чего определяют количество теплоты,

отданное телом за время τ:

Qτ = cρV [T0 −T (τ)].

по известным значениям Вi и Fо также определяют графически. С учетом формулы (2.90) из графика можно определить значение Θτ. Для расчета температур используют графики, где по оси ординат отложена температура на поверхности пластины Θw (рис. 94,а) или в ее осевом сечении Θ0 (рис. 94,б). Аналогичные кривые построены для цилиндра и шара. Кроме того, иногда используют график (рис. 95)

Θ = T (x,τ) −Tf

T (0,τ) −Tf

по нему можно определить температуру Т(х, τ) в любом сечении

L = δx , если известна избыточная температура в средней плоскости

[T (0,τ) −Tf ]. Аналогичные графики построены для цилиндра, шара и полуограниченного тела.

176

Рис. 94.

Пользуясь перечисленными “семействами” графиков, можно решать два класса задач:

1. Определять значения температур (безразмерных и размерных) в сечении тела, если заданы его теплофизические свойства, размеры, коэффициент теплоотдачи на поверхности и текущее время:

177

Рис. 95.

Задачу (2.91) решают непосредственно по графикам (рис. 94, 95) или по их аналогам: рассчитывают числа Вi, Fо, L, а затем определяют температуру в центре, на поверхности, в точке с координатой х или среднемассовую. Такой подход позволяет для любого заданного времени рассчитать поле температуры, например, в сечении теплоизолированного ограждения вокруг отсека при пожаре, в сечении стенки кузова после выезда автомобиля из теплого гаража и т. д.

2. Определять время, к которому температура (средняя) достигнет заданного уровня Θ:

Задача (2.92) связана с выбором предельных тепловых режимов: если значение Θ ограничено теплостойкостью материалов, а также предельной допустимой температурой в отсеке или салоне транспортного средства, то число Fо определит время, в течение которого объект находится в приемлемом состоянии. Возможна и менее “тревожная” постановка задачи, когда, например, требуется определить время прогрева салона зимой или охлаждения (кондиционером или вентилятором) летом.

2.4.4. Нагрев и охлаждение тел конечных размеров

178

Тела канонической формы (пластина, цилиндр, шар) далеко не исчерпывают все практически важные для инженеровтранспортников случаи. Почти всегда тело ограничено в двух или трех направлениях, причем ясно, что поле температуры в его объеме заведомо неравномерно (Bi >> 0,1). Если по-прежнему считать, что теплофизические свойства материала (λ,ρ,с) не зависят от температуры, то температуры в двух-и трехмерных областях можно рассчитать, применяя решения, полученные для тел канонической формы.

Рис. 96.

Рассмотрим в качестве примера круговой цилиндр радиусом r0 и длиной 2δ. Необходимо рассчитать температуру в точке M(δ,r0), если в начальный момент цилиндр имел температуру T0, а в момент τ = +0 на всей его поверхности начался конвективный теплообмен со средой, имеющей температуру Tf, при постоянном коэффициенте теплоотдачи а (граничные условия III рода). Представим наш “короткий” цилиндр как пересечение бесконечно длинного цилиндра радиусом r0 и неограниченной пластины толщиной 2δ (рис. 96). Для любого τ в этом случае окажется справедливой формула

ΘM = ϑMϑ(δ,r0 )= C(r0 )P(δ),

0

179

где С(r0) — значение Θc для цилиндра радиусом r0, значение Θp для пластины толщиной 2δ, ϑ0 =Tf −T0 — избыточная температура

среды; ϑM (δ,r0 ) = TM (δ,r0 ) −T0 — избыточная температура в точке

M (δ,r0 ).

Значения С(r0) и Р(δ) находят по соответствующим графикам для цилиндра и пластины. Аналогично решают задачу нагрева (охлаждения) параллелепипеда размерами 2х × 2у × 2z:

ΘM (x, y, z) = P(x), P( y), P(z),

где Р(х), Р(у), Р(z) — значения температур для пластин толщиной 2х, 2у, 2z, соответственно.

Итак, общее правило таково: безразмерная температура тела конечных размеров, образованного пересечением канонических тел, равна произведению безразмерных температур, рассчитанных для каждого из этих тел в предположении, что их поверхности пересекаются, ограничивая тело конечных размеров. Этим способом рассчитывают температуру на поверхности, в центре тела и среднемассовую температуру.

Описанный метод впервые был предложен Р. Зодербергом в 1931 г.; поскольку функции Р(х), С(r0) и т. д. входят в расчетные формулы в виде произведений, его называют

мультипликативным.

2.4.5. Регулярный тепловой режим

Эксперимент показывает, что нередко при конвективном теплообмене на поверхности тел самой различной формы (в том числе — “неправильной”, сложной) температура во всех точках тела, где бы они ни находились — на поверхности или в глубине —

180

меняется во времени по экспоненте6. Мы отмечали, что в уравнениях (2.82), (2.87), (2.88) при Fо ≥ 0,3 значения безразмерных избыточных температур Θp, Θc, Θb достаточно точно определяются одним первым членом соответствующих бесконечных рядов.

Рис. 97.

Все изложенное было хорошо известно уже в начале XX в., но лишь в 1954 г. Г.М. Кондратьев предложил весьма простую и логичную теорию теплового режима, названного регулярным. В дальнейшем в исследованиях А.В. Лыкова, Г.Н. Дульнева и др. теория регулярного режима была распространена на системы тел с внутренними источниками теплоты и прочие важные для практики случаи.

Теория регулярного режима требует, чтобы теплообмен со средой происходил при граничных условиях III рода, а тепловой поток на границе тела не менял знака (т. е. тело должно или нагреваться, или охлаждаться в течение всего процесса).

Других ограничений нет: форма тела и начальное распределение температур могут быть произвольными. Если определить (расчетно или экспериментально), как меняется температура Т в любых двух точках 1 и 2 охлаждаемого тела (рис.