tot_book

141

Рис. 77.

(во всех одномерных стационарных задачах следовало бы использовать обозначения dT, dх и т. д.; сохраним знак частной производной лишь для однообразия и в силу традиции). Задача (2.20) допускает прямое интегрирование:

Ранее были известны лишь температуры Тw1 и Тw2 уравнение (2.23) позволяет определить температуру в любом сечении пластины и показывает, что по координате х температура меняется линейно.

Возможен и другой случай: если Т(х) задана, то постоянную во всех сечениях пластины плотность теплового потока найдем,

подставляя в уравнение (2.4) значение ∂T ∂x и уравнения (2.21):

сопротивлением4 ; ее размерность — м2 К/ Вт; очевидно, что

q = Tw1 −Tw2 Rλ

Решения (2.23) и (2.24) можно обобщить для многослойной пластины (рис. 78).

температур на двух изотермических поверхностях к плотности теплового потока. Для пластины q = idem, в более общем случае q может задаваться для одной из изотермических поверхностей.

143

Пусть в пластине n слоев с толщинами δ1, δ2,...,δn и теплопроводностями λ1, λ2,...,λn, соответственно; температуры границ слоев равны Тw1, Тw2,...,Тwn+1. Физически ясно, что в стационарном режиме плотность теплового потока q во всех сечениях пластины остается одинаковой:

q = Tw1 −Tw2 ;

δ1 λ1

q= Tw2 −Tw3 ;

δ2 λ2

.......................

q= Twn −Twn+1

δn λn

Разрешим эти уравнения относительно разностей температур, а затем сложим почленно:

Tw1 −Tw2 = qδ1 λ1 ;

Tw2 −Tw3 = qδ2 λ2 ;

внутренним термическим сопротивлением многослойной пластины (здесь видна аналогия с сопротивлением электрических цепей постоянного тока: суммарное сопротивление

144

последовательно соединенных проводников равно сумме составляющих). В осях Т–х распределение температур в сечении пластины представляет ломаную линию; наклон любого ее звена тем больше, чем меньше теплопроводность соответствующего слоя. Усложним задачу (рис. 79): пусть обе поверхности пластины омывают жидкости с различными температурами (Тf1 > Тf2), а коэффициенты теплоотдачи на этих поверхностях равны соответственно α1 и α2. Рассмотрим, таким образом, задачу теплопроводности при граничных условиях III рода.

Поскольку в любой стационарной задаче теплопроводности плотность теплового потока во всех сечениях пластины остается неизменной, определим значение q: на левой границе

правой границе q x=δ = α2 (Tw1 −Tf 2 ).

Рис. 79.

Выполнив те же преобразования, что и в предыдущем случае, получим

146

Рис. 80.

Нередко требуется определить температуру в произвольном сечении пластины 0 < х < δ. Запишем значения перепадов температур, используя прежнее условие q = idem:

Tf 1 −Tw1 = q α1 ;

Tw1 −Tw2 = qδ1 λ1 ;

.......................

Twn −Twn+1 = qδn λn ;

Twn+1 −Tf 2 = q αn+1 .

Температуры на границах слоев

Tw1 =Tf 1 −q 1α1

Tw2 =Tf 1 −q 1α1 +δ1 λ1

.....................................................

Twn+1 =Tf 1 −q 1α1 +δ1 λ1 +...+δn λn ;

Tfn+1 =Tf 1 −q 1α1 +δ1 λ1 +... +δn λn + 1αn+1 .

Пусть сечение х находится в j-м слое стенки. Тогда расстояние от этого сечения до границы с температурой Тwj будет

равно xj = х – (δ1 + ... + δj–1), а температура

147

Рассуждения остаются в силе, если расчет начинать не с Тf1, а с Тf2 перед q поставить знак “+”, а все члены суммировать в обратном порядке.

Теплопроводность цилиндрической стенки при граничных условиях I рода рассчитать чуть сложнее, поскольку в этом случае плотность потока q зависит от текущего радиуса r (рис. 81).21.10

Рис. 81.

Обычно цилиндрические стенки достаточно “длинные” (трубы, каналы и т. п.); их поле температуры вполне точно описывают одномерным уравнением Фурье, т. е. считают, что температура вдоль оси цилиндра постоянна.

Краевая задача Фурье для осесимметричной цилиндрической стенки без внутренних источников имеет вид

Tr=r2 =Tw2.

Введем новую переменную U = ∂∂Tr , чтобы понизить порядок производных, тогда

разделим переменные и проинтегрируем; получим последовательно

T = C1 ln r +C2.

Постоянные С1 и С2 найдем из граничных условий задачи

(2.29):

После подстановки получим значение температуры Т на произвольном радиусе r:

Уравнение (2.31) описывает убывающую логарифмическую функцию, что физически вполне объяснимо: с увеличением значения r плотность теплового потока снижается, хотя тепловой поток, подводимый на поверхности r =r1, и отводимый с

поверхности r = r2, остается неизменно равным Q = −λ ∂∂Tr 2πrl

(здесь l — длина расчетного участка).

Поскольку в соответствии с равенством (2.30)

Для цилиндрической стенки плотность теплового потока удобнее рассматривать либо на поверхности 2πr1l, либо на поверхности 2πr2l:

Можно также рассчитать тепловой поток, протекающий через единицу длины цилиндра,

эту величину назовем линейной плотностью теплового потока.

Легко заметить, что

иначе говоря, линейная плотность теплового потока ql , не зависит от текущего радиуса r. Для n-слойной цилиндрической стенки все рассуждения проведем так же, как для многослойной пластины; при этом линейная плотность теплового потока окажется равной

внутренним термическим сопротивлением i-го слоя, а сумму

термическим сопротивлением многослойной цилиндрической стенки, (м·К)/Вт.

Для граничных условий III рода (рис. 82)

150

Рис. 82/

термические сопротивления, (м·К)/Вт. Равенство (2.37) можно представить в виде

теплопередачи, Вт/(м2·К), рассчитанные для соответствующих поверхностей однородного цилиндра, то справедливо соотношение kl = 2r1k1 = 2r2k2 .

Температура на радиусе r, отдаленном на расстояние ∆rj от границы (j – 1)-го и j -го слоев (см. рис. 82), равна