tot_book

151

Задачу теплопроводности многослойных цилиндрических стенок чаще всего используют при расчете теплоизолированных трубопроводов. В связи с этим представляет интерес задача о критическом диаметре тепловой изоляции. Впервые она появилась в экспериментах У. Томсона (Кельвина) в 1884 г., а в 1910 г. удалось получить аналитическое решение, совпадающее с современным. Суть задачи в следующем: двухслойную цилиндрическую стенку (рис. 83,а) рассматривают в рамках краевой задачи теплопроводности при граничных условиях III рода. Полное линейное термическое сопротивление такой стенки

152

Значение 2rcr , называемое критическим диаметром

тепловой изоляции, определяет максимум тепловых потерь с наружной поверхности цилиндрической стенки.

Из формулы (2.39) следует важный практический вывод: если r3 < rcr, то увеличение толщины изоляции не уменьшает, а увеличивает тепловые потери! При r3 = rcr тепловые потери максимальны и только при r3 > rcr они начинают снижаться.

Следовательно, при теплоизоляции трубопроводов

необходимо выполнять требование r3 > λ2 .

α2

Как правило, величину α2 определяют условия эксплуатации, поэтому задача сводится к выбору теплопроводности теплоизоляционного материала λ2.

Поскольку в формулу (2.39) не входят ни r1, ни r2,

стенки и толщину внутреннего ее слоя, на величину rcr не влияют. Можно показать, что аналогичные рассуждения справедливы для любой оболочки, у которой внутренняя поверхность меньше наружной; вид формул для rcr будет при этом зависеть от формы

оболочки.

Шаровая стенка встречается в расчетной практике реже, чем пластина или стенка цилиндрическая. При решении задачи все предыдущие рассуждения сохраняют силу. Приведем наиболее общие формулы: тепловой поток через многослойную шаровую стенку (рис. 84) при граничных условиях III рода

153

(как видим, в каждом слое стенки температура меняется по закону гиперболы);

— температура в произвольном слое, отстоящем от центра шара на расстоянии r,

стенки.

154

Рис. 84.

2.3.2. Теплопроводность оребренных поверхностей

Оребрение поверхности позволяет увеличить тепловой поток в случаях, когда коэффициент теплоотдачи невысок и не может быть повышен. Форма теплоотводящих ребер различна (см. рис. 76). Их используют на стенках цилиндров (в ДВС и компрессорах с воздушным охлаждением); в радиаторах и теплообменниках, на отопительных приборах, корпусах редукторов и т. д.

Вспомним, что коэффициент теплопередачи через однослойную пластину

где α1, α2 — коэффициенты теплоотдачи на внутренней (“горячей”) и наружной (“холодной”) сторонах пластины, соответственно. Если

155

пренебречь внутренним термическим сопротивлением Rλ = λδ (а

обычно Rλ невелико), то

другими словами, коэффициент теплопередачи пластины всегда меньше наименьшего из коэффициентов теплоотдачи α1 и α2 увеличить значения α1 или α2 непросто. Поэтому используют другой способ: пытаются "развить" поверхность теплоотдачи со стороны меньших α, выполнить на ней пазы, выступы, стержни — словом, создать теплоотводящие ребра (рис. 85).

Рис. 85.

Пусть через поверхность пластины F1 проходит тепловой поток Q В стационарном режиме этот поток пройдет через сечение пластины и будет целиком передан среде, омывающей поверхности F1 и F2. Температура вдоль ребра Т(l) распределена по закону, который в общем случае неизвестен; будем пока считать, что средняя по длине ребра l температура равна Tl .

Поскольку весь тепловой поток Q передается через оребренную стенку, можно с некоторыми “натяжками” (определите сами, в чем они состоят!) записать балансовое уравнение в формe

157

а приведенный коэффициент теплопередачи через оребренную пластину, на основании равенства (2.47),

оребрение выгоды не дает (хотя размеры и массу конструкции увеличивает!).

В случае же, если η = 0,05,

оребрение не увеличивает, а уменьшает тепловой поток Q. Поэтому надо очень тщательно проектировать ребро,

стремясь к более высоким значениям η. Но как этого добиться?

158

Рис. 86.

Рассмотрим задачу теплопроводности для ребра постоянного сечения (рис. 86), полагая, что:

—температура ребра T(z) меняется только вдоль оси z;

—теплота передается в окружающую среду только с верхней

инижней поверхностей ребра, площадь каждой из которых равна

l×b;

— коэффициент теплоотдачи на этих поверхностях постоянен и равен α, а плотность теплового потока q(z) = α[T (z) −Tf ], где

Tf — температура окружающей среды.

Выделим в ребре элемент шириной ∆z, на левой границе которого тепловой поток имеет плотность q(z) , а на правой — плотность q(z + ∆z) < q(z). Уравнение теплового баланса на выделенном элементе имеет вид

q(z)2δb − q(z + ∆z)2δb −α(2b∆z)(T −Tf )= 0,

где T — температура на поверхности полосы шириной ∆z. Разделив все члены на 2δb∆z, перейдем к пределу при ∆z →∞:

но по закону Фурье q(z) = −λ ∂∂Tz , поэтому уравнение (2.49) примет вид

теплообменом на торце z = L.

Краевую задачу (2.50)-(2.52) удобнее решать в обобщенных

(безразмерных) переменных. Обозначим

T −Tf = Θ;

Tw −Tf

Здесь Θ — безразмерная избыточная температура; Z, L* — безразмерные текущая координата и длина ребра, соответственно, а величина Bi (число Био) имеет особый физический смысл. Поскольку

Bi = αL = Lλ = Rλ , λ 1α Rα

число Био характеризует соотношение термических сопротивлений: внутреннего Rα и внешнего Rλ. При Вi → 0, Rλ → 0 ребро в поперечном сечении почти изотермично, температура меняется только по его длине. При Вi → ∞, Rλ → 0 поверхность ребра имеет практически ту же температуру, что и жидкость, а изменения температуры происходят почти целиком в сечении ребра.

Запомним, что число Био “появляется” только там, где заданы граничные условия III рода.

160

Приведем уравнение (2.50) к безразмерному виду:

его общее решение

где С1, С2 — постоянные, зависящие от граничных условий; их определяют соотношения (2.51) и (2.52), также представленные в безразмерной форме: