tot_book

162

поверхность не покрылась грязью; из набегающего потока воздуха на оребрение могут попасть насекомые и т. д.

Надо помнить, что расчет оребрения — многовариантная (оптимизационная) задача, требующая творческого подхода и не имеющая “единственно верного” решения. Целевую функцию (например, Q) определяют с учетом добавочных ограничений, речь о которых шла выше.

2.4. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Тепловые процессы в транспортных системах могут существенно зависеть от времени. Запуск и остановка двигателей, насосов и других агрегатов, предпусковой прогрев двигателя, отопление салона, отсека или кабины, действие экстремальных факторов (огня, резкого охлаждения в воде) — далеко не все причины, заставляющие обратиться к расчету нестационарной теплопроводности элементов конструкции, отдельных агрегатов и машины в целом.

Математически такая задача сводится к решению дифференциального уравнения Фурье (2.11) вместе с условиями однозначности, соответствующими нестационарной природе процесса.

Со времен Фурье методы решения краевой задачи теплопроводности развивались весьма успешно; к настоящему времени создана аналитическая теория теплопроводности, позволившая решить множество инженерных задач. В последние 10–20 лет активно развиваются численные методы, пригодные для решения задач практически любой сложности.

Аналитический аппарат теории теплопроводности сложен и громоздок, а программирование задач для численного решения требует больших затрат времени; оба пути доступны лишь теплотехникам-профессионалам.

163

Тем не менее, в инженерных расчетах можно и нужно использовать достаточно простые формулы, обращаясь при необходимости к справочной литературе и помощи специалистов.

В разд. 2.4 речь пойдет об аналитических решениях линейного равнения теплопроводности, широко используемых в расчетах плового состояния твердых тел. Набор таких решений может асширяться в зависимости от конкретных технических задач.

2.4.1.Теплопроводность термически тонких тел

Ктермически тонким относят тела, у которых в любой момент нагрева или охлаждения температура мало меняется по

координатам. Простейший пример — нагретое докрасна бритвенное лезвие, которое опускают в стакан с водой или охлаждают на воздухе. В его сечении (0,08…0,1 мм) температуры всех точек почти одинаковы. Лезвие охлаждается буквально на глазах: о температуре можно судить по изменению цвета (например, с помощью оптического пирометра).

Именно в такой постановке, при граничных условиях III рода, мы и рассмотрим задачу теплопроводности для термически тонких тел. Ясно, что тело будет почти изотермичным, если его внутреннее термическое сопротивление Rλ = R/λ (R — обобщенный размер тела) окажется заметно меньшим, чем внешнее термическое

Пусть однородное тело, удовлетворяющее условию (2.58), погружено в жидкость с температурой Tf, причем коэффициент теплоотдачи α = const (рис. 88).

164

Рис. 88.

Теплофизические свойства тела (λ,ρ,с), его объем V и поверхность F заданы, а температура, вследствие исходного допущения, меняется только во времени: Т = T(τ).

В соответствии с первым началом термодинамики, отвод теплоты в окружающую среду уменьшит энтальпию тела:

введем новую переменную — избыточную температуру

ϑ =T (τ) −Tf .

Зададим, кроме того, начальную температуру тела Т0 и ее аналог — начальную избыточную температуру

Решение дифференциального уравнения (2.59) при начальном условии (2.60) имеет вид

Количество теплоты Qτ(τ), отданное телом с начала процесса до момента τ, определяется интегрированием уравнения (2.63):

ττ

Qτ(τ) = ∫Q(τ)dτ = αFϑ∫e−Bi Fodτ,

Сопоставление формулы (2.62) с точными решениями показывает, что при Вi < 0,1 ошибка в определении температуры редко превышает 5%. При Вi > 0,1 следует обратиться к более точным методам — или смириться с довольно высокой погрешностью расчета по формулам (2.62)–(2.65).

166

Условие (2.58) используют и в случае, когда вместо твердого тела речь идет об объеме хорошо перемешиваемой жидкости (например, масла в картере двигателя). Если при этом необходимо описать нестационарный отвод теплоты в окружающую среду, то уравнения (2.62)–(2.65) сохраняют силу.

2.4.2. Теплопроводность полуограниченного тела и стержня

Полуограниченным в разд. 2.2.5 мы назвали достаточно большое тело с одной плоской поверхностью, к которой подводится теплота (см. рис. 75, а). Температура такого тела обычно меняется только вдоль оси х, поэтому уравнение теплопроводности будет одномерным:

откуда∂T (∂∞x,τ) = 0, т. е. на достаточно большой “глубине” х

температура тела равна начальной, а тепловой поток — нулю. Уравнение (2.66) удается решить, если кроме условий (2.67) и (2.68) ввести граничные условия на свободной поверхности х = 0. Рассмотрим вначале вариант, когда температура границы х = 0 в начальный момент скачком меняется от Т0 до Тw, а затем поддерживается постоянной (граничные условия I рода):

Задача (2.66)–(2.69) имеет решение

167

Гаусса для аргумента u (рис. 89)(лат. erratum + лат. functio). Уже при u ≈ 2,7еrf(u) = 0,9999... Это означает, что температурное возмущение ослабевает по “глубине” х достаточно быстро, а неравномерность поля температуры тем сильнее, чем меньше значение τ.

теплового потока q(τ) = qw = const (граничные условия II рода);

тогда

где ierfc(u)= ∞∫[1−erf (u)]du — специальная функция аргумента u

u

(рис. 90)(сокр. ierf + лат. complementum — интеграл дополнения функции ошибок), принимающая при u = 0 значение

1 π ≈ 0,5642... и уже при u = 2,0 падающая почти до нуля.

168

Поскольку в этом случае величина qw задана, общее количество теплоты, переданное с поверхности х = 0 за время τ,

Рис. 89. Рис. 90.

Уравнение (2.66) — одномерное, поэтому все результаты,

полученные для полуограниченного тела, можно использовать и для полуограниченного стержня, у которого боковая поверхность теплоизолирована (см. рис. 75,б).

В справочной литературе приводят решения задачи теплопроводности для полуограниченных тел и стержней при разных граничных условиях; все они выражаются через специальные функции, родственные функции ошибок Гаусса.

Отметим, что граничные условия I и II рода на поверхности полуограниченного тела принципиально различны. Сравнение формул (2.70) и (2.73) показывает, что при Tw = const поле температуры стремится к стационарному (когда Т(х,∞) = Tw), а условие qw = const при τ→∞ приводит к неограниченному росту температуры Т(х, τ). Фактически, конечно, ограничения на такой рост накладывают реальные свойства материала: он плавится, испаряется и т. д. На практике по мере нагрева могут изменяться граничные условия: с поверхности в область х < 0 все больше теплоты будет отводиться излучением, путем конвективного теплообмена и т. д. Однако физически результат Т(х,∞)→∞ не является неожиданным. Вспомним, что уравнение первого начала

169

(2.6) при QV=0 имеет форму –QF = ∆H , а при τ→∞ принимает вид QF = 0. С другой стороны, по определению,

QF = ∫∫qndFdτ,

Fτ

поэтому условие ∫∫qndFdτ = 0 является обязательным для всех

Fτ

случаев, когда поле температуры при τ→∞ становится стационарным. При нагреве полуограниченного тела тепловым потоком плотностью qw = const на всей поверхности х = 0 отвод теп

лоты “не предусмотрен”, ∫∫qndFdτ ≠ 0 и стационарное

Fτ

распределение температуры недостижимо.

2.4.3.Нагрев и охлаждение пластины, цилиндра и шара

Вразд. 2.3.1 мы рассмотрели стационарную теплопроводность пластины, цилиндрической и шаровой стенок при граничных условиях I и III рода. В начальной стадии процесса,

когда ∂∂Tτ ≠ 0, решение таких задач значительно усложняется.

Для решения нестационарной краевой задачи Фурье используют приемы, которые слишком громоздки, чтобы их могли применить инженеры-транспортники. Поэтому рассмотрим лишь общий вид решений и остановимся на некоторых важных частных случаях.

Пусть пластина из материала с известными теплофизическими свойствами (λ, ρ, с) имеет толщину 2δ (рис. 91). В начальный момент температура пластины равна Т0, а затем пластину погружают в среду с температурой Тf, что приводит к теплообмену по закону Ньютона при коэффициенте теплоотдачи, равном α. Краевая задача Фурье примет вид

170

(условие (2.76) означает, что пластина охлаждается симметрично). Ясно, что в любой момент τ > 0 температуры T(х) в поперечном сечении пластины и Тw на ее поверхности будут меняться, пока при τ→∞ не станут равными Тf . На рис. 91 показаны кривые T(τ) для условно выбранных значений времени τ1 < τ2 < τ3 <

τ4.

Задачу (2.75)–(2.77) принято записывать в безразмерной форме. Если положить что

то уравнение (2.75) преобразуется так: