tot_book

41

Выражение (1.49) можно записать по-другому, используя уравнения Клапейрона–Менделеева и Бойля–Мариотта:

начального объема v1, до конечного v2, в р–v-диаграмме характеризуется площадью а12b (рис. 11).

Рис. 11.

В изотермическом процессе dT = 0, поэтому подвод любой теплоты qT не меняет температуру системы. Формально это означает, что теплоемкость в изотермическом процессе равна плюсминус бесконечности (сT = ±∞), поэтому расчет по формуле qT1−2 = cT (T2 −T1) связан с раскрытием неопределенности вида 0·∞. Однако соотношение (1.48) позволяет рассчитать теплоту через эквивалентную ей работу расширения:

qT1−2 = lT1−2 = RµuT ln(v2 v1 );

либо использовать любую удобную форму записи (1.50). Ясно, что площадь а12b на рис. 11 характеризует не только работу изотермического процесса, но и его теплоту.

1.4.4. Адиабатный процесс

42

Адиабатным называют процесс, протекающий без подвода или отвода теплоты. На практике “абсолютно адиабатных” процессов не наблюдается, но процессы, достаточно близкие к адиабатным, распространены чрезвычайно широко: газы, обладающие свойствами идеальных, сжимаются в поршневых двигателях и компрессорах, расширяются в турбинах почти адиабатно.

При отсутствии теплоподвода и теплоотвода, т. е. при dq = 0 и q1–2 = 0, уравнение первого начала принимает вид

работа в адиабатном процессе совершается за счет изменения внутренней энергии.

Рассмотрим связь между термическими параметрами в адиабатном процессе. Для этого кроме уравнения (1.51) используем уравнение первого начала (1.31), в котором положим dq = 0. Получим dh = vdp.

Для идеального газа dh = cp dT, поэтому

Аналогично выглядят формулы, включающие внутреннюю энергию е и теплоемкость cv:

название коэффициента Пуассона, или показателя адиабаты.

Идеальный газ, у которого ср = const, cv = const, называют совершенным, для него величина k зависит только от строения молекул:

k= 1,66 для одноатомных газов; k= 1,40 для двухатомных;

44

Уравнения (1.27) и (1.38) показывают, что при dq = 0 dl =– cvdT, откуда

Если газ совершенный (cv = const), то lq1−2 = cv (T2 −T1).

С учетом формулы Майера cv = kR−1,

поэтому

Тот же результат можно получить, интегрируя выражение (1.25) с подстановкой р = const/vk. Работа адиабатного процесса 1–2 численно равна площади а12b (рис. 13).

1.4.5. Политропные процессы

45

Политропные процессы — процессы идеального газа, идущие при постоянной теплоемкости — названы по сочетанию греческих слов гаоАл — много и трота — превращение. Все рассмотренные ранее процессы — частные случаи политропных (если, конечно, считать, что в них соблюдаются условия сх = const). В политропных процессах, как и во всех остальных, соблюдается первое начало термодинамики:

cndT = cvdT + pdv,

где, сn — теплоемкость политропного процесса (политропная теплоемкость).

Кроме того, при cv = const

de = cvdT = cv = const, dq cndT cn

или в интегральной форме для процесса 1–2

т. е. в политропных процессах доля теплоты, переходящая в работу, постоянна.

Получим уравнение политропы. Если в формулы (1.39) и (1.40) подставить значение q = cndT, то они примут вид

cndT = cvdT + pdv, cndT = cpdT −vdp,

откуда следует, что

(cn −cv )dT = pdv; (cn −cp )dT = −vdp,

После почленного деления получим

46

Величину n = cn −cp называют показателем политропы. cn −cv

Дифференциальное уравнение политропы

Политропные процессы могут не только совпадать с рассмотренными процессами р = const, v = const, T= const, но и проходить в р–v-диаграмме между ними (рис. 14). Процессу р = const соответствует значение n = 0, v = const — n = ±∞, Т= const — n = 1, a q = const — n = k, поэтому для процесса 1–2 0 < n < 1, для процесса 1–3 1 < n < k, а для процесса 1–4 k<n<∞.

Рис. 14. Рис. 15.

Формально уравнение политропы (1.63) совпадает с уравнением адиабаты Пуассона (1.55) при замене n на k, поэтому

47

Теплоту, сообщаемую газу в политропном процессе, проще всего определить по общей формуле

T2

qn1−2 = ∫cndT.

T1

Если подставить в нее значение cn = cv nn−−k1 , то получим

Величина и знак сn зависят как от свойств газа (cv и k), так и от характера процесса (т. е. от показателя политропы n). При n < 1 и n

> k сn > 0 (рис. 15). При n = 1 сn = ±∞ и функция с(n) терпит разрыв. Мы уже обсуждали причины, по которым теплоемкость процесса Т = const следует считать бесконечной. Если 1 < n < k, то сn < 0; это означает, что при подводе теплоты температура газа понижается, и наоборот.

Такое явление вполне объяснимо: ведь кроме подвода теплоты существует еще одна форма взаимодействия — совершение работы. Понижение температуры газа при подводе теплоты означает, что одновременно газ совершает работу, причем с работой энергии отводится больше, чем подводится с теплотой. В результате внутренняя энергия газа уменьшается, что и приводит к понижению температуры. Подобным образом объясняется и повышение температуры при отводе теплоты: здесь прирост энергии за счет совершения над газом работы сжатия превышает потерю энергии за счет отвода теплоты.

48

Рис. 16. Рис. 17.

Для расчета произвольного политропного процесса по уравнению (1.63) необходимо определить значение n. На кривой процесса, полученной опытным путем, намечают две точки, в которых известны термические параметры состояния (рис. 16).

Естественно, что рассчитать значение п ничуть не труднее, если в точках 1 и 2 известны давление и температура или удельный объем и температура газа.

Если зависимость р(v) носит сложный характер (рис. 17), то весь процесс разбивают на участки, на каждом из которых можно рассчитать свой показатель политропы. Эти показатели находят по формулам, аналогичным равенству (1.66), для каждого участка 1–2, 2–3, 3–4. По найденным показателям n1, n2, n3 на отдельных участках процесса рассчитывают теплоту и работу, а затем суммируют их значения для всего процесса 1–2–3–4.

Описанный метод расчета (метод политроп) находит широкое применение при анализе процессов в двигателях внутреннего сгорания, компрессорах, газовых турбинах и т. д. В качестве примера рассмотрим процесс сжатия газа, по свойствам близкого к совершенному, в поршневом компрессоре.

49

1.4.6. Сжатие газа в поршневом компрессоре

Компрессором называют машину для сжатия газов и паров. При сжатии газа в компрессоре обычно преследуют следующие цели:

создать запас энергии для последующего совершения работы (пневматические тормоза автомобилей, устройства для передвижения под водой и т.д.);

повысить температуру газа для последующей отдачи теплоты (холодильные установки);

обеспечить компактное хранение газа (газобаллонные станции).

Типы и конструкции компрессоров разнообразны, но термодинамические процессы в них достаточно сходны.

Рассмотрим работу поршневого компрессора (рис. 18), в цилиндре 1 которого возвратно-поступательно движется поршень 2.

При движении поршня 2 вниз клапан 3 открывается, и газ низкого давления поступает в цилиндр. После того, как поршень 2 дойдет до нижней мертвой точки, он начинает сжимать газ, причем оба клапана 3 и 4 закрыты вплоть до момента, пока давление в

Рис. 18.

цилиндре 1 не достигнет заданного уровня. Затем открывается клапан 4, и газ нагнетается в магистраль под действием движущегося вверх поршня 2. В верхней мертвой точке нагнетание заканчивается, клапан 4 закрывается, а клапан 3 открывается, происходит новое всасывание и т. д.