tot_book
.pdf191
Рис. 101.
2.5.2. Графический метод
Если тело имеет сложную форму, то рассчитать поле температуры, даже стационарное, методом ЭТА затруднительно. Удобней обратиться к графическому методу, который требует лишь простейших расчетов и, как сказано в одном руководстве, обладает “поразительной точностью”.
Графический метод реализует векторную форму закона Фурье, согласно которому в окрестностях любой точки тела изотермическая поверхность перпендикулярна вектору теплового потока. Если изотермические поверхности проведены “достаточно густо”, то вместо векторов можно провести кривую q = const (линию теплового тока), пересекающую все изотермические поверхности по нормалям (рис. 102).
192
Рис. 102.
Графически это означает, что в каждой точке сечения линия тока перпендикулярна изотерме, а вектор теплового потока направлен к линии тока по касательной. Если построить пересекающиеся семейства линий T = const и q = const, которые будут в каждой точке пересечения взаимно перпендикулярны, то удастся определить тепловой поток и поле температуры в сечении тела.
Решение задачи разделяют на три этапа.
1.Вычерчивают, соблюдая масштаб, сечение расчетной
области.
2.Наносят линии T = const и q = const, добиваясь, чтобы диагонали косоугольных четырехугольников делили одна другую пополам и были взаимно перпендикулярны. Изотермы, кроме того, должны быть перпендикулярны адиабатным границам (поскольку на них q = 0), а также осям симметрии области, если они есть.
3.Уточняют расположение линий сетки, пока не будут выполнены положения второго этапа, а затем определяют тепловой поток, пользуясь законом Фурье.
193
Рассмотрим в качестве примера составную область (см. рис. 102), включающую Н-образную “вставку” (похожее сечение может иметь теплоизолированная стенка кузова, усиленная армирующим ребром). На границах области заданы температуры Tw1 иTw2 , т. е. поддерживаются граничные условия I рода. Требуется определить тепловой поток, идущий через “вставку”, — ее обычно называют тепловым мостиком (если автомобиль оставили на улице, а ночью были заморозки, все такие мостики утром станут ясно видны: на них по-другому, чем на прочих местах, оседает иней).
Считаем задачу стационарной, а все границы “вставки”, кроме выделенных жирной линией, — адиабатными; теплопроводность материала вставки постоянна и равна λ. Исходя из соображений симметрии, вычертим в удобном масштабе 1/2 сечения вставки, а затем проделаем операции, указанные в этапах 1 и 2. Тепловой поток мы разделили на составляющие Q1, Q2, Q3 и Q4, причем их сумма равна общему тепловому потоку:
|
|
|
n |
|
||
|
QΣ = ∑Qi . |
(2.102) |
||||
|
|
|
i=1 |
|
||
Для каждой ячейки (одна из них показана на рис. 102) можно |
||||||
записать уравнение Фурье |
|
|
|
|||
q |
= |
Qi |
= λ |
Ti+1 −Ti |
(2.103) |
|
∆y |
∆x |
|||||
i |
|
|
|
(в формуле (1.103) полагаем, что в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, размер ∆z = 1). Поскольку в каждой ячейке ∆x = ∆y, перепад температур между соседними изотермами будет одинаковым. Если теперь между изотермами на чертеже М промежутков (у нас М= 13), то
T |
−T |
= |
Tw1 |
−Tw2 |
; |
Q |
= λ(Tw1 −Tw2 ); |
∆y |
= |
λ |
(T |
−T |
). |
|
|
|
|
||||||||||
i+1 |
i |
|
|
M |
i |
M |
∆x |
|
M |
w1 |
w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Условие |
∆x = ∆y — одно из очень |
важных: именно оно |
определяет, с каким интервалом следует проводить линии обоих семейств (чем больше линий, тем точнее решение). Вначале задают величину ∆y (например, так, чтобы изотермы шли с шагом в 5 или
194
10 К), а потом определяют число “каналов” (Q = const по соотношению ∆x = ∆y; при этом линии тока разделят сечение на N частей (у нас N = 4), поэтому
QΣ = NQi .
Формула (2.104) примет вид
n |
λ(Tw1 −Tw2 )= |
4 λ |
(Tw1 −Tw2 ). |
|
||||
QΣ = ∑Qi = NQi = N |
(2.104) |
|||||||
|
|
|
||||||
13 M |
||||||||
i=1 |
M |
|
|
|
||||
Теперь можно “оцифровать” |
чертеж: если, например, Тw1 = |
400 К, Тw2 = 300 К, то изотермы пойдут с шагом 100/13 = 7,7 К.
Отношение N/М = S называют формфактором теплопровод-
ности; с учетом такого обозначения тепловой поток |
|
QΣ = λS(Tw1 −Tw2 )= λS∆T, |
(2.105) |
где ∆T — наибольший перепад температуры на исследуемой области.
Мы провели расчет на единицу длины “вставки” (∆z = 1); в общем случае величина S, как следует из формулы (2.105), должна
иметь размерность длины
|
[S]= |
QΣ |
= |
[Вт] [м] [К] |
= [м]. |
|
|
||
|
λ∆T |
[Вт] [К] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Значения |
S |
заранее |
рассчитывают |
для |
систем, |
распространенных в практике, а затем сразу переходят к оценке QΣ по формуле (2.105). Величину S можно определить и графическим методом, а иногда — даже аналитически.
Показано, в частности, что для пластины размерами h×b×δ S =
hb/δ, а для полого цилиндра D × d × h — S = ln(2dπhD) (см. рис. 74).
Hа рис.103 представлены значения формфактора S для цилиндра с эксцентричным каналом (рис. 103,а), бруса с каноническим каналом (рис. 103,б), канала круглого сечения (рис. 103,в) и цилиндрической полости конечной глубины в полуограниченном теле (рис. 103,г).
195
Рис. 103.
Заметим, что формфактор S связан с термическим сопротивлением тела R* зависимостью R = λ1S , поэтому формулы
и таблицы в обоих случаях взаимозаменяемы: достаточно, например, сопоставить формулы, приведенные на рис. 101 и 103,б.
Модификации графического метода существуют и для других видов граничных условий, но они менее удобны. Еще одно ограничение связано с тем, что метод применим лишь для стационарных задач: при решении задач нестационарных пришлось бы для каждого выбранного момента проводить свой расчет, корректируя температурное поле на границе по результатам предшествующих выкладок.
2.5.3. Метод конечных разностей
Основная идея метода состоит в том, что непрерывный процесс теплопередачи заменяют дискретным; при этом изотермы из плавных линий превращаются в ломаные. Математически метод конечных разностей означает замену дифференциального уравнения теплопроводности алгебраическим уравнением, где роль приращений ∂T , ∂τ, ∂x выполняют конечные разности ∆T, ∆τ, ∆x.
196
Рис. 104.
Впервые такой подход реализовал немецкий теплотехник Э. Шмидт в 1924 г.; следуя его идеям, рассмотрим задачу нестационарной теплопроводности пластины при граничных условиях I рода с произвольным начальным распределением температуры.
Разобьем пластину (рис. 104) на слои произвольно малой толщины ∆х и присвоим им индексы n–1, n, n+1,... Интервалам времени ∆τ присвоим обозначения k–1, k, k+1,... Температуру n-го слоя в момент времени k будем обозначать Тn,k.
Заменим дифференциальное уравнение Фурье
∂T = a ∂2T ∂τ ∂x2
конечно-разностным приближением
∆T |
∆2T |
(2.106) |
|
∆τ = a |
∆x2 . |
||
|
Переход к алгебраическому уравнению (2.106) означает, что температура в сечении пластины меняется по ломаной линии — она соединяет точки 1, 2, 3, ..., лежащие в среднем сечении каждого слоя толщиной ∆х.
Соединим эти точки для некоторого момента τ = k∆τ и получим ломаную 1–2–3.
В пределах любого n-го слоя перелом линии означает, что aналог
частной производной |
∆T |
|
∆T |
и |
||
∆x |
имеет два значения — “левое” |
|
||||
|
∆T |
|
|
∆x |
− |
|
|
: |
|
|
|
|
|
“правое” |
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
+ |
|
|
|
|
197
|
|
|
|
|
|
∆T |
= |
Tn,k −Tn−1,k |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∆x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∆T |
= |
|
Tn+1,k |
−Tn,k |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∆x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Aналог второй частной производной |
|
|
|
|||||||||||||||
∆2T |
|
1 |
∆T |
|
|
∆T |
|
|
1 |
|
(Tn+1,k +Tn−1,k −2Tn,k ) (2.107) |
|||||||
|
= |
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|||||||||
∆x2 |
|
∆x2 |
||||||||||||||||
|
∆x |
∆x |
− |
|
∆x |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
Аналог производной |
|
∂T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∆T |
Tn,k +1 |
−Tn,k |
|
(2.108) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆τ = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆τ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом подстановок (2.107) и (2.108) перепишем уравнение
(2.106):
Tn,k +1 −Tn,k |
= a |
Tn+1,k +Tn−1,k −2Tn,k |
; |
|
(2.108) |
||||||
|
∆τ |
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a∆τ |
T |
+T |
|
|
|
|
|||
Tn,k +1 −Tn,k = |
n+1,k |
n−1,k |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−Tn,k . |
(2.109) |
|||||
∆x |
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ∆х и ∆τ мы задали произвольно, их соотношение может
быть любым. Выберем его так, чтобы |
2a∆τ |
=1, тогда из равенства |
|||
∆x2 |
|||||
(2.109) получим |
|
||||
|
|
||||
Tn,k +1 = |
1 |
(Tn+1,k +Tn−1,k ), |
(2.110) |
||
2 |
т. е. температура в n-м слое в момент (k+1)∆τ равна полусумме температур в двух соседних слоях в момент k∆τ. На рис. 104
решение (2.110) представлено графически: точка 2 получается, если соединить отрезком прямой точки 1 и 3.
Поскольку величина ∆a∆x2τ равна числу Фурье для слоя толщиной ∆х, условие 2∆ax∆2τ =1 можно записать короче: Fо = 0,5.
198
Таким образом, для решения задачи методом Шмидта необходимо:
разбить сечение на n слоев толщиной ∆х каждый;
выбрать интервал времени ∆τ, удовлетворяющий условию Fо
= 0,5;
задать начальное распределение температур 1–2–3–...; последовательно определить температуры в моменты ∆τ,
2∆τ,..., k∆τ,..., используя соотношение (2.110) или эквивалентное ему графическое построение.
Э. Шмидт предложил свой метод именно как графический, хотя сейчас его используют в основном как компьютерный. Существуют двух- и трехмерные варианты метода конечных разностей.
Дальнейшее развитие описанный подход получил в 1946 г., когда А.П. Ваничев предложил его модификацию — метод элементарных балансов, который позволил решать задачи теплопроводности для составных тел и для сред с переменными теплофизическими свойствами.
Метод элементарных балансов (применительно к одномерным задачам) предполагает, что теплоемкость каждого n-го слоя “сосредоточена” в некоторой точке 1 (рис. 105); со своими “соседями” — точками 2 и 3 — точка 1 соединена тепловыми связями, по которым передается теплота. В основе метода Ваничева лежат три постулата.
Рис. 105.
1.Изменение температуры между расчетными точками (узлами) происходит по линейному закону и определяется термическим сопротивлением тепловых связей.
2.Изменение температуры во времени происходит скачками.
3.Увеличение энтальпии элементарного объема, прилегающего к данному узлу, пропорционально приращению температуры в этом узле.
Если в сечении выделить слой ∆х, а все расчеты вести для пластины единичной площади, то элементарный объем слоя
199
V = ∆x ∆x 1 = (∆x)2.
Теплота, переданная слою по связи 2–1, на основании постулата 1,
Q21 = ∆λx (T2 −T1)∆x∆τ,
а переданная по связи 3–1–
Q31 = ∆λx (T3 −T1)∆x∆τ;
здесь T1, T2, T3 — температуры узлов, рассчитанные в один и тот же момент.
За время ∆τ температура узла 1 изменится, поскольку к нему подведена теплота Q21,+Q31; это изменение, в силу постулата 3, определится из соотношения
cρV (T ′−T )∆τ = Q |
+Q |
|
= |
λ∆x |
∆τ(T |
+T |
−2T ), |
(2.111) |
|
|
∆x |
||||||||
1 1 |
21 |
31 |
|
2 |
3 |
1 |
|
||
где T1′ — температура |
узла |
1, рассчитанная |
в конце |
интервала |
времени ∆τ (в соответствии с постулатом 2 температура узла меняется скачком).
Соотношение (2.111) — уравнение теплового баланса (отсюда и название метода); из него следует, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ∆τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T1′= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
cρV |
T2 |
+T3 −2T1 |
+ |
λ∆τ |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cρV |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a∆τ |
|
||
Если учесть, что |
|
|
|
|
= a, |
V = (∆x) |
, |
|
= Fo, то |
||||||||
|
|
cρV |
|
(∆x)2 |
|||||||||||||
последнее равенство примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T1′= Fo T2 +T3 +T1 |
|
|
|
−2 |
. |
|
|
(2.112) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Fo |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Потребуем, как и прежде, чтобы Fо = 0,5, тогда |
|
||||||||||||||||
|
|
T ′= |
T2 +T3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2.113) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видим, уравнение (2.113) имеет тот же смысл, что и уравнение (2.110). В то же время условие Fо = 0,5 для уравнения
200
(2.112) не является обязательным; можно задавать любые значения Fо < 0,5. Например, при Fо = 1/3 равенство (2.112) принимает вид
T1′= 13 (T2 +T3 +T1 ),
а при Fо = 1/4 —
T1′= 14 (T2 +T3 + 2T1).
В правую часть этих формул входит величина T1: для расчета каждой последующей температуры в узле 1 надо знать предыдущее ее значение. Чем меньше Fо, тем точнее решение, но одновременно с точностью, увеличивается трудоемкость (или применительно к компьютерному варианту — время счета).
Для двумерных задач теплопроводности составляется
аналогичная расчетная |
схема |
(рис. |
106); |
если положить, |
||||
что∆x = ∆y = δ, a Fo = |
a∆τ |
, |
то в узле 0 в каждый последующий |
|||||
|
||||||||
|
|
δ2 |
|
|
|
|
|
|
момент времени температура |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
T1′= Fo T1 +T2 |
+T3 |
+T4 |
+T0 |
|
−2 |
, |
||
|
||||||||
|
|
|
|
Fo |
|
|
а при Fо = 1/4
T1′= 14 (T1 +T2 +T3 +T4 ).
Рис. 106.
Трехмерные задачи решают, рассматривая пространственные тепловые связи.
И метод Шмидта, и метод Ваничева реализуют явные конечно-разностные схемы: каждую последующую (во времени)