tot_book

231

Распределения скорости и избыточной температуры в ламинарном пограничном слое хорошо аппроксимируют полиномы третьей степени:

где a0,...,а3 и b0,...,b3 — постоянные коэффициенты. Коэффициенты полиномов (2.137) и (2.138) можно определить

из граничных условий для скорости и температуры:

(последние условия в равенствах (2.139) и (2.140) соответствуют первым двум уравнениям системы (2.134), поскольку

wy y→0 = wx y→δl → 0 ). Подставляя соотношения (2.139) и (2.140) в

полиномы (2.137) и (2.138) соответственно, получим

Расчет коэффициента теплоотдачи а на основе последнего уравнения системы (2.134) приводит теперь к выражению

232

Таким образом, для окончательного расчета а необходимо найти ∆l, например, из уравнения (2.136), но туда входит еще и δl, (косвенно, через wx), поэтому придется решить также уравнение импульсов (2.135). Подставляя wx из уравнения (2.141) в уравнение

(2.135), найдем

(чтобы получить последние два результата, мы допустили, что ∆l ≤ δl и что ∆l и δl одинаковым образом зависят от продольной координаты х). Подставим теперь ∆l в формулу (2.143); получим

Этот результат позволяет рассчитать местные значения α, в то время как для практических расчетов часто достаточно знать средние по длине пластины значения коэффициента теплоотдачи

233

вспомнить, что для капельных жидкостей число Прандтля Рr снижается с увеличением Тf,. Отсюда следует, что при Tf > Tw

теплоотдачи для капельно-жидких теплоносителей; для газов число Рr меняется слабо и при умеренных перепадах

Prf 0,25

температуры =1.

Prw

2.8.4. Теплообмен в турбулентном пограничном слое на плоской поверхности

Турбулентное течение, как отмечалось, характеризуется пульсациями скорости, температуры, давления и т. д. Если использовать достаточно точный измеритель скорости в пограничном слое, который сможет фиксировать мгновенные ее значения wx и wy, то при продольном обтекании плоской поверхности мы получили бы примерно следующие графики (рис. 114).

234

Рис. 114.

Скорость wx в любой момент времени можно представить в

виде

скорости wy. При отсутствии значительных продольных градиентов температуры составляющая скорости w′x не оказывает заметного влияния на теплообмен, а вот составляющая w′y в пограничном

слое, где поперечные перепады температуры и скорости значительны, играет существенную роль. Если представить, что в турбулентном пограничном слое макроскопическая, но малая частица 1 переместилась в положение 2 (рис. 115), то условие неразрывности потребует, чтобы переход был скомпенсирован: частица 2 должна перейти в положение 1. Переходы 1–2 и 2–1 обеспечат сохранение сплошности потока, и уравнение неразрывности не нарушится. Однако частица 1 имела скорость wxl, а перешла в область частицы 2, где средняя продольная скорость равна wx2, и наоборот. Подобных обменов происходит много,

235

поэтому “сверху вниз” идет массовый поток ту, равный массовому потоку частиц “снизу вверх”. Кажется, что такой обмен должен приводить к выравниванию скорости, однако в действительности профиль средней скорости сохраняет устойчивость.

Рис. 115.

Это говорит о том, что выравниванию скоростей препятствует какая-то сила, а именно сила трения между слоями. Таким образом, на основе теоремы сохранения количества движения мы имеем право записать

m&y — массовый поток, связанный с турбулентными пульсациями. Но этот же массовый поток m&y переносит энтальпию: частица 1

несет поток энтальпии cpf T1m&y , а частица 2 — cpf T2m&y . Разность

потоков энтальпии определяет плотность теплового потока в направлении, перпендикулярном поверхности:

Обозначение St принято для числа Стантона (Stanton number), которое легко выразить через другие критерии подобия:

Формула (2.159) выражает суть аналогии Рейнольдса наиболее наглядно. Для того чтобы получить расчетные значения Nuf, а затем и α, необходимо использовать данные гидродинамики для коэффициента трения Cf (например, в виде уравнения Cf =

что и в уравнении для ламинарной части пограничного слоя (2.149). Посмотрим, как изменяется коэффициент теплоотдачи α вдоль поверхности. Согласно формуле (2.148), в ламинарной части слоя αlam ~ х–0,5, а в турбулентном пограничном слое αturb ~ х–0,2 (см. формулу (2.160)). Зависимость αtrans(x) для переходной области на

рис. 116 показана штриховыми линиями.

238

Рис. 116.

Вразд. 2.8.3 мы вывели формулу для расчета а при условии L

<xcrl. Если же длина поверхности настолько велика, что L > xcr2, то

значение α находят путем вычисления трех интегралов:

где αlam, αturb, αtrans — значения коэффициента теплоотдачи для ламинарного, турбулентного и переходного участков течения соответственно.

Последний интеграл мало влияет на α, так как xcrl достаточно близко к xcr2, поэтому выражение (2.162) сводят к более простому:

где αlam и αturb определяют по формулам (2.148) и (2.161) соответственно.

Подставим их значения, проинтегрируем и приведем равенство (2.162) к безразмерному виду; получим

240

w = GFv ,

где Gv — объемный расход жидкости; F — площадь поперечного сечения трубы (для круглых труб диаметром d F = πd2/4).

Напомним, что при Redf < 2,3·103 течение носит ламинарный характер, при Redf > 104 является турбулентным, а область 2,3·103 < Redf < 104 характеризует переходный режим течения.

При ламинарном течении жидкости по трубе диаметром 2r0 скорость w(y) на расстоянии у от оси трубы определяется

соотношением Пуазейля:

w( y) = w0 1− ry 2 ,0

где w0 — скорость на оси трубы.

При турбулентном течении профиль скоростей по форме близок к трапеции, параболическое соотношение (2.166) не выполняется. Обычно используют зависимость

w = f (Redf ); w0

при Redf < 2,3·103 принимают w = 0,5 ; при больших значениях Redf w0

пользуются экспериментальными данными (рис. 117).

Рис. 117.