tot_book

121

2.ТЕПЛОПЕРЕДАЧА

2.1.ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ

Любое реальное (т. е. необратимое) преобразование энергии связано с ее переходом в теплоту (полным или частичным).

Первое начало термодинамики показывает, какая часть теплоты расходуется на совершение работы, а какая преобразуется во внутреннюю энергию термодинамической системы. Таким образом, оно определяет энергетический баланс и отвечает на вопрос: “Какое количество теплоты выделено (поглощено) в процессе преобразования энергии?”

Второе начало утверждает, что в неравномерно нагретой термодинамической системе теплота самопроизвольно передается от более нагретой области к менее нагретой. Это начало отвечает на другой вопрос: "В каком направлении происходит передача теплоты?"

Оба начала имеют важнейшее значение, но не могут разрешить задачу, связанную с самопроизвольным необратимым теплопереносом в пространстве, где температура распределена неравномерно. Вспомним, в частности, что в термодинамике мы сознательно не использовали реальное время, а процесс передачи энергии считали квазистатическим, т. е. весьма медленным.

Теплопередача — сложный физический процесс. Его определяют форма и размеры термодинамической системы, распределение температуры внутри системы и в окружающей среде, теплофизические свойства веществ и т. д. В простейшем случае, когда неравномерно нагретые тела находятся в соприкосновении и неподвижны относительно друг друга, теплота передается теплопроводностью. Если среда (жидкость, газ, пар, поток частиц сыпучего материала) движется относительно поверхности твердого тела, имеющей температуру, отличную от температуры среды, то

123

понятий и свои методы исследования, однако позволяет, при необходимости, учитывать вклад и других видов теплопередачи.

Общие для всех видов теплопередачи вопросы:

1.Как распределены в пространстве и как изменяются во времени значения температуры в различных (в принципе — во всех) точках рассматриваемой термодинамической системы?

2.Какое количество теплоты передается от системы в целом и от любой, сколь угодно малой части ее поверхности, в окружающую среду?

Интуитивно ясно, что оба вопроса тесно связаны. Неравномерность распределения температуры приводит к передаче теплоты — так утверждает второе начало. Но второе начало не объясняет, как зависит от температур областей теплота, передаваемая от более нагретой области к менее нагретой, поэтому распределение температуры и тепловые потоки должны определяться какими-то дополнительными соотношениями.

Эти дополнительные феноменологические (т. е. связанные с явлениями, феноменами) гипотезы обычно подтверждаются длительной практикой и огромным числом экспериментов, а потому фактически выполняют роль законов.

Итак, теория теплопередачи основана на первом и втором началах термодинамики и на ограниченном числе феноменоло-

гических гипотез, т. е., в отличие от равновесной термодинамики, не является вполне строгой теорией.

Впрочем, и в задачах термодинамики нам требовались сведения об уравнениях состояния и физических свойствах реальных веществ, поэтому для инженера и термодинамика, и теплопередача стоят, по сути, на одном уровне строгости.

2.2.ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

2.2.1. Основные понятия и определения

Теплопроводность — молекулярный перенос теплоты в сплошной среде, обусловленный неравномерностью распре-

124

деления температуры в различных ее областях. При этом теплота может превращаться в другие виды энергии (хотя возможен и обратный переход, например, при нагреве среды электрическим током), а области с различными температурами находятся в механическом соприкосновении.

Называя теплопроводность молекулярным переносом теплоты, имеют в виду, что теплота в этом случае передается посредством теплового движения микрочастиц. В газах роль таких частиц выполняют атомы, молекулы или ионы, совершающие броуновское движение. В жидкостях и твердых диэлектриках теплопроводность связана с упругими волнами, которые возникают при согласованных смещениях атомов и молекул относительно положений устойчивого равновесия. В металлах теплоту передает поток свободных электронов (электронный газ). Как видим, термин “молекулярный” довольно условен и означает лишь, что в среде не перемещаются частицы более крупные, чем молекулы.

В теории теплопроводности не рассматривают природу передачи теплоты в той или иной материальной среде. При таком подходе физические особенности среды характеризуют эмпирическими величинами — теплофизическими свойствами,

которые, в общем случае, зависят от параметров состояния среды, например, от температуры. Среду при этом рассматривают как однородную (континуум), а дискретным, на микроуровне, ее строением не интересуются.

Мы говорили, что для количественного описания любого вида теплопередачи (в частности — теплопроводности) оба начала термодинамики необходимо дополнить феноменологическими гипотезами. В теории теплопроводности используют гипотезу БиоФурье, речь о которой пойдет в разд. 2.2.2.

Познакомимся с основными понятиями теории теплопроводности.

Распределение температуры в теплопроводящей среде характеризует так называемое поле температуры. М. Фарадей, впервые предложивший это название, сознавал, что поле температуры не является полем в том смысле, как поле

125

гравитационное, электромагнитное и т. п. Речь идет о совокупности значений температуры Т во всех точках пространственной области с координатами х, у, z в данный момент времени τ≥ 0. Уравнение

называют уравнением поля температуры. Обычно требуется определить конкретный вид формулы (2.1) для исследуемой области.

Если процесс теплопроводности не зависит от времени τ, то поле температуры называют стационарным, а функцию

T =T (x, y, z) — уравнением стационарного поля температуры. В

противном случае поле и его уравнение называют нестацио-

нарными.

Если температура меняется вдоль одной или двух координат, то говорят об одномерном или двумерном поле температуры. Так, T (x, τ) — нестационарное одномерное, а T (x, y) — стационарное двумерное поле температуры.

Если мысленно соединить все точки среды, температура в которых одинакова, то такое геометрическое место точек образует

изотермическую поверхность1. Сечение среды условной плос-

костью заданной ориентации позволяет получать следы изотермических поверхностей — изотермы. Как изотермические поверхности, так и изотермы нигде не пересекаются: уравнение (2.1) определяет температуру в каждой точке среды однозначно, а пересечение означало бы, что в данной точке поддерживаются одновременно два и более значений температуры.

1 В состоянии равновесия T (x, y, z,∞)=const, и вместо

изотермической поверхности приходится рассматривать изотермический объем, охватывающей всю область (x, y, z).

126

Рис. 72.

На рис. 72 условно показано сечение среды с тремя изотермами: средняя соответствует температуре Т, а крайние отличаются от нее на величину ±∆Т. В любом направлении S скорость изменения температуры характеризует производная ∂T ∂S . Эта скорость максимальна, когда линия S совпадает с

нормалью к изотерме n. Максимальное значение производной

называют градиентом температуры. Градиент считают вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры; заметим, что

∂∂TS = ∂∂Tn cos(nr, sr)≤ ∂∂Tn

В теории теплопроводности всегда рассматривают разность температур (конечную ∆T или бесконечно малую dТ, ∂Т), поэтому выбор температурной шкалы — стоградусной (Цельсия), абсолютной термодинамической или иной — принципиального значения не имеет, обозначение T далее относим к температуре по любой из них. Однако выбор шкалы следует оговорить заранее, чтобы избежать путаницы при задании теплофизических свойств и других зависящих от температуры параметров.

Количество теплоты, проходящее через произвольную поверхность (реальную или условную) за время τ, обозначим Qτ; размерность этой величины — Дж. Количество теплоты,

127

проходящее через произвольную поверхность в единицу времени,

назовем тепловым потоком:

Q = ddQτ , Вт

Если тепловой поток определяется в расчете на единицу площади поверхности dF, то величину

q = dQ = d2Qτ , Вт/м2 dF dτ dF

назовем плотностью теплового потока.

Плотность теплового потока определяется не только величиной, но и направлением, т. е. является вектором:

где i , j,k — единичные векторы (орты) декартовой системы координат; qx , qy , qz — проекции вектора q на оси х, у и z.

Важно помнить, что величины Q и q представляют собой производные, т. е. определены в бесконечно узких пределах dτ и dF. В частных случаях, когда поле температуры стационарно, а плотность теплового потока во всех точках поверхности одинакова,

можно считать, что Q = Qτ , q = QF , но это — исключение, а не пра-

вило! Нередко максимальное значение q на определенных участках поверхности ограничивают (например, на трубах водогрейного котла или на наружной поверхности теплоизоляции): если плотность теплового потока выходит за предельное значение, нарушается тепловой режим, а иногда возникает опасность аварии. В этих случаях надо обязательно помнить о "местном" характере величины q: в опасной зоне она может превысить допустимую, хотя

среднее по поверхности F значение Q F останется в приемлемых

пределах.

2.2.2. Гипотеза Био–Фурье

128

В 1804 г. французский физик Ж. Био предположил, что количество теплоты d2Qτ, проходящее через любую изотермическую поверхность в сторону уменьшения температуры, должно быть прямо пропорционально времени dτ, площади поверхности dF, разности температур ∆T между "соседними" изотермами и обратно пропорционально расстоянию между ними

∆n:

где λ — коэффициент пропорциональности, “выравнивающий” размерности левой и правой частей формулы (2.3) и однозначно определяемый природой проводящей среды.

Знак "–" в формуле (2.3) указывает, что теплота передается из области с более высокой температурой в область, где температура

ниже; при ∆T > О d2Qτ < О и наоборот.

В 1807 г. Ж.-Б. Фурье, соотечественник Ж. Био, показал, что при ∆n >0 уравнение (2.3) принимает вид

Это соотношение называют законом Фурье. Уравнение (2.4) выдержало многолетнюю экспериментальную проверку и в большинстве случаев выполняется, однако не является столь общим, как первое и второе начала термодинамики, поскольку не может правильно описать физическую картину теплопроводности в некоторых особых условиях, например, при весьма быстрых процессах токопередачи.

Величину λ, входящую в уравнения (2.3) и (2.4), называют теплопроводностью, ее размерность — Вт/(м К). Фурье считал коэффициент λ постоянным, фактически же теплопроводность зависит от природы среды и определяется параметрами ее состояния.

129

Так, например, большинство теплоизоляторов — материалы пористые, в них много мелких ячеек, заполненных воздухом (для него λ = 0,02…0,03 Вт/м К), что и определяет низкое значение λ для теплоизолятора в целом. Если слой изоляции увлажнится, то проникшая в ячейки вода может заметно (в несколько раз) повысить теплопроводность материала. Наиболее сильно выражена зависимость λ от температуры, от давления теплопроводность λ зависит слабо.

Теплопроводность численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Эта величина не имеет такого глубокого физического смысла как, например, теплоемкость; она лишь устанавливает связь между модулями двух векторов: q иgradT .

Теплопроводность меняется в широких пределах: 0,006–0,6 Вт/(м К) — для газов, 0,07…0,7 Вт/(м К — для жидкостей, 0,04…10 Вт/(м К) — для неметаллов,

8…425 Вт/(м К) — для металлических материалов.

2.2.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Уравнения (2.3) и (2.4) формируют гипотезу теплопроводности, но не дают удобных для практики решений,

поскольку величина ∂T ∂n остается неизвестной. Это понимал и

Ж.-Б. Фурье, который в 1814 г. получил дифференциальное уравнение для одномерной задачи теплопроводности. Более общий и вполне строгий вывод такого уравнения был предложен М.В. Остроградским в 1830 г.; рассмотрим его подробнее.

Используем в дальнейших рассуждениях оба начала термодинамики, а также гипотезу Био–Фурье.

Первое начало для среды объемом V запишем в виде

130

где Qv — количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) внутренними источниками (стоками), имеющими мощность qv2; QF — количество теплоты, переданное через поверхность среды F; ∆H — изменение энтальпии среды; р — давление в объеме V.

Поскольку теплопроводность λ и объем V большинства сред

которое означает, что угол γ между векторами плотности потока и градиента температуры лежит в пределах π/2 < γ < 3π/2 (на рис. 72 "разрешенная" область значений γ заштрихована). Уравнение (2.4), строго говоря, относится к изотропной среде (свойства которой одинаковы во всех направлениях); оно удовлетворяет требованию (2.7) при γ = π. Уравнение (2.4) является одной из форм второго начала и одновременно выполняет роль феноменологической гипотезы.

Итак, вывод уравнения теплопроводности основан на уравнении первого начала (2.5) и на частном случае второго начала — интегральном законе Фурье (2.4).

Выделим на поверхности среды тела площадку dF внешней нормалью nr (рис. 73).

2 Мощность внутренних источников — количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) внутренними тепловыми источниками

(стоками) в единице объема среды в единицу времени, измеряется в Вт/м3.