Математика в экономике, сборник задач

УДК 517(075.8) ББК 22.1я7

Н 62

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Байкальский государственный университет экономики и права

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. З.А. Дулатова

Никифорова И.А.

Н62 Математика в экономике: сб. задач. Ч. Ι: Введение в анализ.

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. / И.А. Никифорова. – 2-е изд., испр. и доп. – Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2008 – 190 с.

ISBN 978-5-7253-1823-4

Содержит задачи по первой части курса “Математика ”, который чи- тается на экономических факультетах БГУЭП, и охватывает разделы “Чи- словые последовательности”, ”Предел, непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной”. Написан на осно-

ве многолетнего опыта чтения лекций и ведения практических занятий у студентов-экономистов.

Для студентов экономических специальностей вузов.

2

2.1.Понятие функции одной переменной. Экономические переменные. Функции экономического анализа…………………………………………………………………… 25

1. Понятие функции одной переменной.(25) 2. Экономические переменные. Функции экономического анализа.(26)

2.2.Предел функции. Непрерывность функции………………………………………….. 35 1. Предел функции, основные определения. (35). 2. Предел функции, основные

ГЛАВА 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ……………………………… 50

3.1.Понятие производной…………………………………………………………………. 50

3.2.Производная явной функции………………………………………………………….. 52 1.Таблица производных основных элементарных функций (52). 2. Основные пра-

1.Дифференциал функции (64). 2. Формулы для приближенных вычислений (65).

3.Дифференциалы высших порядков (67).

0∞

1.Неопределенности 0 и ∞ . Правило Лопиталя (78). 2. Неопределенности

0 ×¥ , ∞ − ∞ , 1∞ , 0∞ , ∞0 (78).

3

3.10.Формулы Тейлора и Маклорена…………………………………………………….. 81

3.11.Монотонные функции. Экстремум………………………………………………….. 83 1. Монотонные функции (83). 2. Исследование функции на экстремум (83).

3.12.Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба………………………………….. 89

3.13.О некоторых свойствах функций экономического анализа……………………….. 90 1. Функция полезности и ее свойства (90). 2. Экономическая область и закон убы-

вающей производительности труда производственной функции (91).

3.14.Поведение предприятий в условиях совершенной конкуренции и чистой монополии………………………………………………………………………………….. 92

1. Максимизация прибыли (92). 2. Монополия с несколькими заводами (101). 3. Ценовая дискриминация монополиста на сегментированных рынках (102).

3.15.Асимптоты…………………………………………………………………………….. 104

3.16.Исследование функций. Построение графиков........................................................ 105

ГЛАВА 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ………………………………………… 108

4.1. Первообразная и неопределённый интеграл………………………………………… 108

4.2.Метод подстановки или замены переменной……………………………………….. 114

4.3.Метод интегрирования по частям…………………………………………………….. 115

ОТВЕТЫ……………………………………………………………………………………. 150

4

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1.1. Множества: основные понятия и простейшие операции над ними. Логическая символика

1. Множества и операции над ними. Понятие множества является первичным, неопределяемым. Под множеством понимают совокупность различных объектов, рассматриваемых как единое целое. Множества обо- значают большими, а их элементы - малыми буквами: запись x X означа- ет: «элемент x принадлежит множеству X », запись x X - «элемент x не принадлежит множеству X ». По числу содержащихся в них элементов множества делят на конечные и бесконечные. Множество, которое не со- держит ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом Æ.

Множество можно задать: 1) либо перечислением всех элементов, принадлежащих данному множеству (возможно лишь для конечных мно- жеств), 2) либо определением правила, которое позволяет судить о принад- лежности элементов множеству. Запись X = {x1, x2 ,..., xn } означает, что

множество состоит из n элементов x1, x2,..., xn ; запись X = {x P(x)} - что X состоит из элементов x , для которых выполняется правило P(x). Напри- мер, множество X = {x x3 - 3x2 + 2x = 0 } состоит из чисел x , удовлетво-

ряющих уравнению x3 - 3x2 + 2x = 0 . Решив уравнение, зададим множест- во перечислением элементов: X ={0; 1; 2 }.

Если множество X не содержит ни одного элемента, не принадле- жащего множеству Y , то в этом случае говорят, что множество X является

рое состоит из элементов, принадлежащих обоим множествам X и Y од- новременно.

Разностью X /Y называют множество, которое состоит из элементов множества X , не принадлежащих множеству Y .

Числовые множества. Напомним некоторые числовые множества:

·множество натуральных чисел N = {1;2;...};

·множество целых чисел Z = {...− 2;−1;0;1;2;...};

·множество действительных чисел R = Q U I , где множество рацио-

ных чисел. Иррациональными называют числа, представимые в виде деся-

5

тичных непериодических дробей. В частности, иррациональными являются числа 2 »1,4, e ≈ 2,8, π ≈ 3,14.

Логические символы. Для сокращения записи математических тек- стов удобно использовать логические символы. Наиболее часто встречают- ся следующие из них.

∙Символ существования " " используют вместо слов "существует", "найдётся".

∙Символ общности " " используют вместо слов "любой", "каждый", "всякий".

∙Символ следования "Þ " или "Ü" используют вместо слов и сло- восочетаний "влечёт", "отсюда следует", "из ... следует" и т.д.

∙Символ эквивалентности " Û " заменяет словосочетания "тогда и только тогда", "в том и только том случае, если", "эквивалентно", "равно- сильно".

∙Двоеточие ":" и вертикальную черту "|" используют для замены словосочетаний "такая, что", "такой, что" и т.д.

Пример 1. Выражение: "для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что

символов.

Решение. Данное выражение содержит в себе следующие высказыва-

ния:

"для любого "ε > 0 ", которое с помощью логических символов запи- сывается ε > 0 ;

" существует δ > 0" − с помощью логических символов записывается

Запись всего приведённого предложения в логических символах бу- дет иметь вид:

ε > 0 δ > 0 ("x ¹ x0 , x - x0 < δ Þ f (x)- a < ε ).

Скобки здесь используются для того, чтобы показать, что действие высказываний ε > 0 δ > 0 распространяется на всё предложение, заклю-

чённое в скобки

6

1.1. Задать указанные множества перечислением всех своих элемен-

тов:

1.2.Найти все подмножества данных множеств:

1.3.Определить, равны ли множества:

1.4.Найти множества A U B, A I B, A/ B, B / A:

1) A = {x Î R | x2 + x - 20 = 0 }; B = {x ÎR | x2 - x -12 = 0}; 2) A = {(x, y)| x Î R, y Î R, x2 + y2 < 4 };

B = {(x, y)| x Î R, y Î R, x2 + y2 > 1};

3) A = [7, 9], B = (3, 8).

1.5.Найти множества решений уравнений:

1.6.Найти множества решений неравенств:

I An :

n N

1) An = {x Z |− n ≤ x ≤ n}; 2) An = {3n − 2,3n − 1};

1.9. Прочитать приведённые ниже высказывания и записать их от- рицания:

1)x y (x + y = 3);

2)C > 0δ > 0 ("x ¹ x0 , x - x0 < δ Þ f (x) > C).

7

2. Ограниченные множества. Нижние и верхние грани. Числовое множество X называют ограниченным снизу (ограниченным сверху), если найдётся действительное число m (M) такое, что неравенство m£ x (M³ x) выполнится "xÎX, при этом m (M) называют нижней (верхней) гранью множества X. Множество, ограниченное снизу и сверху, называют ограни-

ченным.

Если множество ограничено снизу (сверху), то оно имеет бесконечно много нижних (верхних) граней. Наибольшую из нижних (наименьшую из верхних) граней называют точной нижней (точной верхней) гранью и обо-

значают inf X (sup X ).

Если m = inf X и mÎX, то m = min X (число m - минимум или наи-

меньшее число множества X), если M = sup X и MÎX, то M= max X (число

M - максимум или наибольшее число множества X).

1.10. Доказать, что приведённое выше определение точной верхней грани эквивалентно следующему. Число M есть точная верхняя грань множества X в том и только том случае, когда: 1) x ≤ M для всех x X ;

2) для всякого ε > 0 найдётся элемент xε X такой, что xε > M − ε .

Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для точной нижней грани множества.

1.11. Определить, являются ли указанные множества ограниченны- ми сверху, ограниченными снизу, ограниченными, найти для них множест-

1.13.Пусть X и Y - непустые множества вещественных чисел. Доказать, что если Y X , то а) supY £ supX ; б) inf Y ³ inf X .

1.14.Пусть X R - произвольное ограниченное множество. Дока-

зать, что множество − X = {x | − x X } также ограничено, и справедливы равенства sup(− X ) = − inf X , inf (− X ) = sup X .

8

1.19. Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причём новорождённые через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в нача- ле года была одна пара новорождённых кроликов? Найти рекуррентную формулу для задания последовательности {xn }, где xn − количество кро-

ликов по истечении n месяцев.

2. Ограниченные и неограниченные последовательности. После-

довательность {xn } называют ограниченной снизу (ограниченной сверху),

если найдётся число m (M) такое, что неравенство m£ xn (M ³ xn ) выпол-

нится "nÎN, тогда m (M) называют нижней (верхней) гранью последова- тельности. Последовательность, ограниченную снизу и сверху, называют ограниченной. Наибольшую из нижних и наименьшую из верхних граней

последовательности {xn} называют соответственно точной нижней и точной верхней гранями последовательности и обозначают inf xn и supxn .

Если m = inf xn и mÎ{xn}, то m = min xn (наименьший член последо- вательности), если M =supxn и MÎ {xn}, то M=maxxn (наибольший член последовательности).

1.20.Используя логическую символику, записать определения огра- ниченной снизу (сверху), ограниченной последовательностей, а также от- рицания этих понятий.

1.21.Доказать, что последовательность является ограниченной тогда

итолько тогда, когда найдётся число С > 0 такое, что неравенство xn ≤ C

выполнится "nÎN.

1.22. Для последовательностей {xn }: а) определить, являются ли

последовательности ограниченными снизу, ограниченными сверху, огра- ниченными; б) найти inf xn , supxn , n = 1,2,..., наименьший и наибольший

10