Математика в экономике, сборник задач

3)

Имеем y¢ = 2x ×ln 2,

y¢¢ = 2x ×ln2 2, ... ,

y(n)

= 2x ×lnn 2 .

4)

Имеем y¢ = e2x ×(2sin3x + 3cos3x),

y¢¢ = e2x × (4sin3x + 6cos3x + 6cos3x - 9sin3x) = e2x (12cos3x - 5sin 3x),

y¢¢¢ = e2x (24cos3x -10sin 3x - 36sin 3x -15cos3x)

= e2x (9cos3x - 46sin 3x).

Подставляя

x = 0

в

найденные

производные,

получим

′

y (0)= 3,

′′

y

′′′

y

(0)= 12,

(0) = 9 .

3.45. Найти производные второго порядка:

1)

y = −

22

;

2) y =

1 x2 (2ln x − 3);

x + 5

4

3)

y = cos2 x ;

4)

y = arctgx2 ;

1

2

6)

y = e− x2 ;

5)

y =

9 x sin 3x −

cos3x ;

27

8)

y = x(sin ln x + cosln x).

7)

y = log2

3

1 − x2

;

3.46. Найти производные третьего порядка:

1) y =

x

;

2) y = 1 ln2

x ;

3) y = (2x + 3)

;

2x + 3

6(x + 1)

2

4)

s = te−t ;

5) y = x ×sin x ;

y = arctg

x

6)

.

2

3.47. Найти производные

n -го порядка:

1) y = e

x 2

;

2) y =

1

;

3) y

= 2

x

+

2

−x

;

2x + 1

4) y = (4x +1)n ;

5)

y = ln 2x ;

6) y = xn ×

;

x

7) y = 5 -

3cos

2

x ;

ax + b

8) y = cx + d

(a,b, c, d -постоянные).

3.48. Найти производные в указанных точках:

1)

y = ln(x − 1), найти

′′

3

IV

y (2);

2)

y = x

× ln x , найти

( )

y(x)

y 1 ;

3)

= e

2 x

×sin3x ,

′

′′

найти y(0), y (0), y

(0).

3.49. Показать, что

функция

y = f (x)

удовлетворяет заданному

уравнению, если:

y′′ + 4 y = 4x ;

1)

y = x + sin 2x ,

2)

y = sin ln x + cosln x ,

x2 y¢¢ + xy¢ + y = 0 ;

3)

y = ex + 2e2 x ,

y′′′ − 6y′′ +11y′ − 6y = 0 ;

4)

y = С e

+ С

e -2×

,

здесь

C1,

С2 –произвольные постоянные,

x

x

1

1

2

xy′′ +

y′ − y = 0 .

2

3.50. Пусть

f (u)−

дважды дифференцируемая функция. Найти y′

æ 1

ö

2) y = ln f (x).

и y′′, если: 1) y =

f ç

÷

;

è x2

ø

3.51. Пусть u(x)

и

v(x)- дважды дифференцируемые функции.

u

′

′′

2

2

Найти y

и

y

, если:

1)

y = ln v ;

2*) y =

u

+ v

.

(n)

(n)

(n−1)

n(n -1)

(n−2)

(n)

n

k

(n−k )

k

(u × v)

= u

× v + n × u

v¢

+

u

v¢¢ +...+ u × v

=

åCn

× u

× v

,

1× 2

k =0

где u(0)

= u ,

v(0) = v ,

Cnk

= n(n -1)...(n - k + 1) =

n!

.

k!(n - k )!

1× 2 ×...× k

Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных поряд-

ков от заданных функций:

1) y = (x2

+ x +1)×sin x , найти y(15) ;

2)

y = (x2

- x)×ex , найти y(20) ;

3) y = e− x sin x , найти y (5);

4)

y = x ×log2 x , найти y(10) .

ренцируемая функция

y = y(x), x X ,

задана неявно посредством уравне-

ния

F(x, y) = 0 .

(3.2)

Для нахождения производной y

′

′

следует продифференциро-

= y (x)

вать равенство (3.2)

по

x , рассматривая левую часть как сложную

функцию переменной

x :

F(x, y) = F(x, y(x)),

а затем разрешить относи-

тельно y′ полученное в результате уравнение

ìdF(x, y(x))

= 0,

ï

dx

ï

í

ïd 2F(x, y(x))

= 0

ï

dx

î

′

′′

x ×e

y

- 5 - y

= 0.

Пример 3.7. Найти y (x) и

y (x), если

Решение. Дифференцируем уравнение дважды по x , считая

y функ-

цией от переменной

x , последовательно получим:

ey + x ×ey × y¢ - y¢ = 0 ,

e y × y¢ + e y × y¢ + x ×e y ×(y¢)2 + x ×e y × y¢¢ - y¢¢ = 0.

y

¢

e y

Из

первого

равенства

получим

=

1- x ×e y

,

из

второго

y¢¢ = (2 +

¢

)× y

¢

×e

y

или, после подстановки найденного для

y′

выраже-

x × y

1- x ×e y

ния: y¢¢ =

(2 - x ×e y )×e2 y

.

(1- x ×e y )3

3.53. Найти y

′

(x) для следующих функций, заданных неявно:

1) x3 + x2 y + y2 = 0 ;

2) ln x + e− y x = 0 ;

3) y5 + y - x2 = 1;

4) x

4

+ y

4

= x

2

× y

2

;

æ

y ö

2

2

5) x +

xy + y = 7;

6) arctgç

÷ = ln

x

+ y

;

è x ø

7)

x2 / 3 + y2 / 3 = a2 / 3,

8) ln

y

= x2 × y2 ;

9) cos(xy) = x;

a − параметр;

x

10)

y = cos(x + y);

11) e

y

′

+ xy = e , найти y (0);

12) x

2

+ y

2

′

- 4x -10y + 24 = 0, найти y (0), если y(0) = 6 .

3.54. Найти y

′′

(x) для следующих функций, заданных неявно:

1) arctgy − y + x = 0 ;

2) ex - e y = y - x ;

3)

x

3

- 2x

2

y

2

+

5x + y - 5 = 0, найти y

′′

(0);

4) x

2

+ y

2

+ 5xy - 2x + y - 6 = 0, найти y

′′

(1), если y(1) = 1.

2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Если

система

ìx = ϕ(t),

t Î(a, b),

í

=ψ (t),

îy

где ϕ(t)

′

и ψ (t)− дифференцируемые функции и ϕ (t)¹ 0, определяет y как

′

однозначную функцию от x , то производная y (x) существует и определя-

ется условиями

ìx = ϕ(t),

ï

dy

ψ

¢

t Î(a, b).

í

¢ =

(t)

ïy

=

,

dx

ϕ

¢

(t)

î

ìx = ϕ(t),

ï

d 2 y

dy¢

(ψ ¢(t) ϕ¢(t))¢

ψ ¢¢(t)×ϕ¢(t)-ϕ¢¢(t)×ψ ¢(t)

t (a, b) и т. д.

í

ïy¢¢ =

=

=

ϕ¢(t)

=

,

dx

2

dx

¢

3

î

(ϕ (t))

ì

3

+

3t +1,

ìx = 2(t - sin t),

1)

ïx = t

t

(− ∞, + ∞);

2) í

- cos t),

t (− ∞, + ∞);

í

3

ï

-

3t +1,

î y = 2(1

îy = t

ì

3t

ìx = 2ln ctgt ,

æ

π

ö

ïx =

,

4)

í

t

Îç

0,

÷ .

3

2

3)

ï

1+ t

t ¹ -1;

îy = tgt + ctgt;

è

ø

í

3t2

ïy =

,

3

ï

1 + t

î

3.56. Для следующих функций, заданных параметрически, найти

производные второго порядка от y по x :

ì

x

= t

2

+ 2t,

ì

= 2cos

3

t ,

æ

π

ö

1)

í

t (− 1, + ∞);

2)

ïx

y

= ln(t +

1),

í

3

t Î ç0,

2

÷ ;

î

ï

= 3sin

t,

è

ø