Математика в экономике, сборник задач

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Байкальский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

для вычисления производной функции y = cosax при

Решение. Найдём приращение функции в точке x и преобразуем его:

Dy = cos a(x + Dx)- cos ax = -2sinçax +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2015

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

	ln(1+ 3x)		0					æ		ö
lim		=		=	1	lim ln(1+ 3x)1 x =	1 lnç		lim	(1+ 3x)1 x ÷ .

x→ + 0	2x	0			2 x→ + 0		2	ç		÷
								è x→ + 0		ø

Мы поменяли местами знаки предела и логарифма, воспользовав- шись непрерывностью логарифмической функции. Заметим, что

lim (1 + 3x)1x = 1∞ , продолжим вычисление предела:

x→ + 0

	æ	lim	ö	=		æ	lim	ö	3	3 .
1 lnç			(1+ 3x)1 x ÷		1 lnç			(1+ 3x)1 (3x) ÷	=
2	ç		÷		2	ç		÷		2
	è x→ + 0		ø			è x→ + 0		ø

2.26. Используя первый замечательный предел, вычислить:

lim

sin3x ;

lim sin 2x

;

x→0

x→0 sin 3x

lim

;

lim

sin 4x

;

- cos x

x + 1 -1

x→0 1

x→0

lim

tgx

;

x2 - 4

sin 2x

lim

;

x→π

arctg(x +

πx

x→−2

cos

lim 1 - cos2x + tg2 x .

lim

;

x→0

x sin x

x→1 1- x

2.27. Доказать следующие равенства:

lim

loga (1+ x)

= loga e ;

lim

a x

-1

= ln a .

x→0

2.28. Используя второй замечательный предел, вычислить:

ö7x

lim x

;

1- 2x

1) lim

ç1

;

x→0

x→∞

3) lim

æ x + 3 ö

2x+1

;

öx 2

lim

;

x→∞

è x - 2 ø

- 5

x→ ∞ è x

æ 2x - 3öx

(1+ tg

x ) x ;

lim

;

6) lim

x→∞ è

3x +1 ø

x→+0

lim (sin x) tgx ;

lim

ln(1 + 4x)

;

x→π

x→0

a x - a

lim

1 + x

;

10) lim

- x

x -1

x→0 x

x→1

4. Разные примеры на вычисление пределов.

Вычислить пределы:

2.29.

lim

-1

2.30.

lim

x2 -1

2x2

- x -1

x→∞ 2x2 - x -1

x→0

2.31.

lim

-1

æ x3

- 3x +1

2.32.

lim

+1÷.

x→1 2x

- x -1

x - 4

x→0è

2.33.	lim	x	.
		- x
	x→1 1
2.35.	lim		x - 3	.
			x - 3
	x→3+0
	(x→3−0)

2.34.	lim			x2 - 3
			x4 + x2 +1
	x→
		3
2.36.	lim			x + 5	.
				25 - x2
	x→5+0
	(x→5−0)

2.37.

lim

- 3x + 2

4 - x2

x→2

2.39.

lim

+ x - 2

- 3x - x2

x→1 4

2.41.

lim

x3 - 2x - 3

(x + 2)3

- (x -

2)3

x→∞

5x2

2.43.

lim

+ 2 x ÷ .

x→∞

- x

2.45.

lim

8x - 7x

6x - 5x

x→+∞

(x→−∞)

2.47.

lim

x−5

x→5+0

(x→5−0)

2 ö

2.49.

lim

(2−x)

x→2+0

3 ø

(x→2−0)

2.38.

lim

- 5x + 4

1+ x3

x→∞

2.40.

lim

2x2 - 5x - 7

1+ x3

x→ −1

2.42.

lim

÷.

- x

- x3

x→ 2

è 2

(x→2−0)

2.44.

3×2x - 5x

lim

5x+1 + 5

x→+∞

(x→−∞)

2.46.lim 3x+2 .

→∞x

2.48.	lim		é1	ù
2.48.	lim		ê	ú .
	x→+∞		ë x	û
	(x→−∞)
2.50.	lim	(2 + x)1 x .
	x→+0
	(x→−0)

2.51.

lim ç

2x + 1

÷ .

x→∞è

2.52.

lim

(x +1)5 + (x + 2)5 +...+ (x + n)5

n N .

x→∞

x5 + n5

3x + 4

2.53.

x + 2

x - 4

2.54.

lim

lim ç

5x +

x→ 1 è x

- 5x + 4 3×

- 3x + 2)ø

x→∞

2.55.

lim

x3 + 5x + 3

x2 + 3x -1

x→+∞

- 3

2.57.

lim

x + 6

x→3

x2 - 9

2 -

2.59.

lim

x + 6

x→−2

9 + 4x -1

- 3

2.61.

lim

x + 8

x→1 x2 - 2x +1

+ 2

2.63.

lim

x - 6

x3 +

x→ −2

2.65.

lim

÷ .

+ x - x2

x→+∞è

- x ø

2.67.

lim

x - a

x→a

x2 - a2

2.69.

lim

x→0 arctg 2 5x

2.71.

lim 1− cos4x .

x→0

x sin x

lim sin

2.73.

x→ +0

2.75.

lim(1- x)× tg

π x .

x→1

2.77.lim sin(1 - x).

x→1 x -1

2.79.	lim	1+ x sin x	-1	.

	x→0	x2
2.81.	lim tgx - sin x .
	x→0	x3

2.83. lim

x→0

2.85. lim

x→α

2.87. lim

x→0

(x + 4 - 2)× x . 1 - cos x

tg 2παx ×sin x -2α .

x + sin x . x - sin x

2.56. lim (4x2 − 7x + 4 − 2x).

x→ + ∞

2.58.

lim

1+ 2x

- 3

x→4

x - 2

2.60.

lim

x + 4

4 - x

x2 + 3x

x→0

- 2

2.62.

lim

x + 13

x + 1

x2 - 9

x→3

-1

2.64.

lim

x→1

x -1

2.66.

lim

2 + x

2 - x

x→0

3 2 + x - 3 2 - x

2.68.

lim sin 2x .

x→0

2.70.

lim arcsin 2x .

x→0

sin 3x

2.72.

lim sin5x .

x→π

2.74.

lim

cos x

x→π

π − 2x

x - sin x

2.76.

lim

x→∞

1- 5x

2.78.

- ctgx

lim

÷ .

x→0è sin x

2.80.

lim

(sin

- sin

x +1

x→+∞

2.82.

lim

x3 + 1

sin(1 + x)

x→−1

2.84.

lim

1 - cos5x .

x→0

1 - cos3x

- 2cos x

2.86.

lim

π - 4x

x→ 4

sin x .

2.88.

lim

x→ +0

(x→−0)

2.89.

lim

tg(4x -π )

x®

2x -

4π

ç x®

-0÷

2.91.

limç

÷ .

x→0ç sin2

4sin

sin2 x

2.93.

lim

x→0

1+ x sin x - cos x

öx2

2.95.

lim ç

÷ .

x→∞è x

+ 1

2.97.

lim(1- 4x)(1− x ) x .

x→0

2.99.

lim (1 + 3tg2 x)ctg2x .

x→0

2.101. lim (2x − 7)(ln(3x + 4)− ln 3x)

x→+∞

2.103. lim

-1

x→0

2.105. lim

æ x

ö1 (x−2)

x→ 2è 2

2.90. lim	x2	.
	cos x -1
x → 2π ± 0

sin(x - 2)

−

(x −2)2

2.92.

lim

+ 2

ú .

x→2

x2 - 4

2.94.

lim cos

π (x

+1).

x→−1

x +1

2.96.

3x - 2 ö2x

lim

÷ .

3x +

x→∞è

1 ø

- x +1

öx2

2.98.

lim

+ 3

÷ .

x→ ∞è

2.100. lim(cos x)1 sin x .

x→0

2.102. lim ln(1- 3x).

x→0

2.104. lim

sin 2x

x→

0 ln(1+ x)

2.106. lim sin 3x - sin x .

x→

ln(x +1)

5. Темп роста и мгновенный темп роста функции. Темп роста

функции y = f (x), соответствующий изменению аргумента от значения x до x + x , определяют отношением

y + Dy	=	f (x + Dx)		.
y		f (x)

Мгновенным темпом роста функции y = f (x) в точке x назы-

вают величину

		é y + Dy ù			1
R(x) =	lim				x	= lim
		ê		ú
			y
	x→+0ë			û		x→+0

		1
é f (x + Dx)ù
é f (x + Dx)ù			x	.
ê		ú
ê	f (x)	ú
ë	f (x)	û

2.107. Доказать, что только постоянная функция имеет единичный темп роста в любой момент времени.

2.108. Вычислить мгновенные темпы роста указанных функций и указать их значения при t=10 и t=30:

1)	y = 2t +1; 2) y = −4t +10; 3) y = at + b ; 4) y = akt (a > 0); 5)
y = a ×tb ,
здесь a, b, k− постоянные.
					2.3. Сравнение бесконечно малых
Пусть α (x)				и		β (x)− бесконечно малые в точке a функции. Тогда,
если:		α (x)
1)	lim			= 0 ,		то α (x) называют бесконечно малой более высокого
		β (x)
порядка,	x→a
	чем β (x) , и пишут α (x) = o(β (x)) ;
2)	lim	α (x)		= A,		A - число, A ¹ 0 , то α (x) и β (x) называют бесконеч-
		β (x)
	x→ a
но малыми		одного порядка. В частности, при A = 1 бесконечно малые α(x)
и β (x) называют эквивалентными и пишут α (x) ~ β (x) ;
3)	lim		α (x)		= A , A - число, A ¹ 0 , то α (x) называют бесконечно

	x→a (β (x))γ
малой порядка γ				относительно β (x) .

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых можно каждую (или только одну) из них заменить другой бесконечно малой, экви- валентной ей, т.е. если в точке a бесконечно малые α (x) ~ α1(x) и

β (x) ~ β1	(x), то lim	α(x)	= lim	α1(x)	= lim	α (x)	=

	x→ a β (x)		x→a β (x)		x→a β1(x)

Пример 2.4. Доказать, что sin x ~ tgx при Решение. Вычислим предел отношения

lim α1((x)).

x→a β1 x

x ®0.

lim	sin x			= lim	sin x	= lim cos x = 1.
lim				= lim		= lim cos x = 1.
x→0 tgx				x→0 sin x cos x		x→0
Данные бесконечно малые эквивалентны при x →0
2.109. Доказать, что при x →0 :
1)					2) tgx ~ x ;			3) arcsin x ~ x ;
sin x ~ x ;
5)		x2			5)			6)	x
1- cos x ~			;		ln(1+ x) ~ x ;		loga (1+ x) ~		x	;


2									ln a
8)					9) (1+ x)a -1 ~ a × x , a Q+ .
a x -1 ~ x ×ln a ;
Пример 2.5. Определить порядок бесконечно малой
носительно бесконечно малой β (x) = x при								x ®0.

4) arctgx ~ x ;

ex -1 ~ x ;

sin4 x + x6 от-

Решение. Учитывая определение бесконечно малой величины поряд-

ка γ , следует найти такое число γ , при котором при

x →0 предел отно-

шения

sin4 x + x6

существует и отличен от нуля. Имеем:

xγ

lim

sin

4 x + x6

= lim

sin4 x + x6

= lim

sin 4 x

+ lim

xγ

x2γ

x→0

x→0 x2γ

Проанализируем каждый из пределов, стоящих под знаком корня от-

дельно:

ì0, γ < 2,

ì0,

γ < 3,

sin4

lim

= í1, γ = 2,

lim

= í1,

γ = 3,

x2γ

x→0

γ > 2,

x→0

γ > 3.

î¥,

Отсюда видно,

что сумма пределов,

а, значит, и искомый предел су-

ществует и отличен от нуля только при γ = 2: lim

sin 4

x + x6

= 1. Следова-

x→0

тельно, функция sin4 x + x6 является бесконечно малой второго порядка относительно бесконечно малой x при x →0.

Пример 2.6. Пользуясь заменой бесконечно малых функций эквива- лентными, вычислить пределы:

1) lim

sin 5x

;

2) lim

1- cos x

;

3) lim

ln cos

x→0 ln(1+ 4x)

x→0

4 1+ x2 -1

1- cos 2

Решение. При решении данного примера будем использовать эквива-

лентные функции, перечисленные в пр. 2.109 .

1) Нетрудно убедиться, что sin 5x ~ 5x ,

ln(1+ 4x)~ 4x , тогда

lim

sin 5x

= lim

5x =

5 .

x→0 ln(1+ 4x)

x→0

2) Имеем: 1- cos x ~

, 1- cos

, поэтому

lim

1- cos x

= lim

= 4 .

x→0

1- cos

x→0

x2 2

3) lim

ln cos x

= lim

ln(1+ (cos x -1))

= 4 lim

cos x -1

= - 4 lim

= -2 .

(1+ x2 )1 4

x→0

4 1+ x2 -1

x→0

-1

x→0

2.110. Определить

порядок бесконечно малой α(x) относительно

бесконечно малой β (x) = x при x →0 , если:

1) α(x) = x ×sin 3x ;

2) α(x) = x2 ×cos x ;

3) α(x) = x × ln(1 + 2x);

5) α(x) = 3

3×

;

4) α(x) =

;

6) α(x) = tgx - sin x ;

1- x

7) α(x) =		×arcsin(x);	8) α(x) = 3		-1;
				x
	x

2.111. Вычислить пределы:

1)lim sin 4x ;

→0 sin 7xx

lim

x ×sin 2x

;

x→π

tg5x

lim

arcsin(x + 2)

;

x→ −2

x2 + 2x

tg3 1 × arctg

lim

;

n→∞ sin

× tg

× arcsin

9)lim 3 1+ x2 -1 ;

x→ 0 3x2 +1 -1

11)lim 7 x -1;

x→1 8 x -1

13)lim 3 cos x -1 ;

x→ 0 5 cos2x -1

15)	lim			3x			;
15)	lim						;
	x→0 x2			+ x +1 -1
17)	lim		2x	-1	;
17)	lim			- 4x)	;
	x→0 ln(1			- 4x)
19)	lim		sin2 3x			;
19)	lim					;
	x→0 ln2 (1+ 2x)
21)	lim	ln cos x			;
21)	lim				;
	x→0 ln(1+ x2 )

9) α(x) =

tgx .

+ x7

lim

arctg

2 2x

;

2 x

x→0

sin

lim

sin2 (x -1)

;

x2 -1

x→1

lim

tg(2x -1)

;

x→1 2

4x2 -1

lim

x3 -1

;

x→1 sin(x -1)

10)lim 4 1+ x -1 ;

x→ 0 5 1+ 2x -1

12)

lim

sin2 5x

;

x→ 0 1- 3x2 -

-1)(2x−1 -1)

;

14)

lim

x→1

cos(x -1)-1

16) lim

e−2 x -1

;

x→0 arcsin x

18)

lim

tg5x

;

x→

1+ 2x -1

20)

lim

ln(1+ x - 3x2 + 2x3 )

;

4x2

+ x3 )

x→1 ln(1+ 3x -

22)

lim

sin(ex−1 -1)

ln x

x→1

2.4. Точки разрыва функции и их классификация

Точку a называют точкой разрыва функции y = f (x), если функция y = f (x) не является непрерывной в этой точке.

Точку a называют:

∙ точкой разрыва первого рода - когда существуют односторонние

пределы в точке, не равные друг другу, т.е. lim	f (x) ¹ lim f (x);
x→a−0	x→a+0

∙ точкой разрыва второго рода - когда хотя бы один из односто-

ронних пределов в этой точке не существует (в том числе если функция является бесконечно большой при x → a − 0 или x → a + 0 );

∙точкой устранимого разрыва - когда существует предел функции

вточке a , но он не совпадает со значением функции в этой точке или функция в точке a не определена.

2.112. Показать, что в точке a функция y = f (x)

имеет разрыв, опре-

делить характер разрыва:

1) y =

, a = 4;

2) y =

, a = 0;

x - 4

ì2x ,

- 2 £ x £ 2,

a = 2;

4) y =

ìx2 ,

0 £ x £ 1,

a = 1;

3) y = í

2 < x £ 4,

- x, 1 < x £ 2,

î2x +1,

î2

x2 - 25

5) y =

, a = 5;

6) y = arctg

, a =2.

x - 2

x - 5

2.113. Заданы функции, зависящие от параметров. При каком выборе

параметров функции будут непрерывными?

ìx -1,

x £ 1,

+ x - 2

1) f (x)=

, x ¹1,

2) f (x)= í

x >1;

í x -1

îax2 - 2,

x = 1;

3) f (x)= íïax

+1,

x £ 2 ,

ïsin x + b,

x > π .

f (x)

2.114. Исследовать на непрерывность функцию

на указанных

отрезках:

1) f (x) =

a)[2, 5]; b)[4, 10]; c)[0, 7];

(x -1)×(x - 6)

2) f (x) =

a)[6, 10]; b)[− 2, 2]; c)[− 6, 6].

x4 - 26x2 + 25

2.115. Исследовать на непрерывность, определить характер точек

разрыва и построить графики функций:

f (x) = tgx ;

1) f (x) =

;

2) f (x) = - 6 ;

x -1

4) f (x) =

5) f (x) =

x +1

6) f (x) = 2 -

;

4 - x2

x +1

7) f (x) = x +

x +1

8) f (x) =

x3 + x

9) f (x) =

4 - x2

;

x +1

2 ×

4x - x3

x2 - 3x + 2

11) f (x)

10)

f (x) =

;

= 2

x−2

;

x - 2

ì x +1,

x < -1,

13)

-1 £ x £ 5,

14)

f (x) = í- x -1,

x > 5;

x < -2,

ï2x + 3,

15)

£ x £ 1,

16)

f (x) = í3 - x2 , - 2

x > 1;

ì x +1,

x < 0,

17)

f (x) = í

0 £ x £ 1,

18)

ï x -

x2 ,

x > 1;

12) f (x)

= 1- 2

;

-1 £ x < 1,

ï2

f (x) = í x -1, -1 £ x < 4,

x = 4;

x < -3,

ï x + 4

f (x) = í x

- 3 £ x £ 1,

+ 1,

x > 1;

ï x

x3 -1,

x < 0,

0 £ x £1,

f (x) = í x -1,

x >1.

- x

î2

2.116. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в слу- чае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

1) f (x) =

;

2) f (x) =

(1+ x)n -1

;

3) f (x) =

×sin x ;

×(x -1)

4) f (x) = 3 4−x2 ;

7) f (x) = 3x−2 -1;

3x−2 +1

5)	f (x) = (x +1)× arctg								1	;	6) f (x) =	1	× ln	1	+ x	;
5)	f (x) = (x +1)× arctg								x	;	6) f (x) =	x	× ln	1	- x	;
		1				1			x			x		1	- x
		1	-			1
8)	f (x) =	x	-		x +1			.
		x			x +1			.
			1			+	1
		x -		1		+	x
		x -		1			x

Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1. Понятие производной

Пусть

функция

y = f (x)

определена

окрестности точки

x ,

y =

f (x)=

f (x +

x)− f (x)− приращение функции в точке

x , соответст-

вующее приращению аргумента

x . Если существует

lim

= lim

f (x) = lim

f (x +

x)− f (x)

x→0 Dx

x→0

то его называют производной функции

y = f (x)

в точке x

и обозначают

′

(x),

df (x)

Операцию нахождения производной называют

f (x), y

дифференцированием.

f (x)

Величина

y =

равна средней скорости изменения функции

y = f (x)

x + Dx ,

при изменении аргумента от

до

а производная

′

y = f (x)

в точке x .

f (x) – мгновенной скорости изменения функции

Если

lim

f (x) = ¥ (+ ¥,- ¥), то говорят, что

в точке x функция

y = f (x)

x→0

имеет бесконечную производную (бесконечную производную знака

«+», бесконечную производную знака «-»).

Правостороннюю

f+′ (x) и левостороннюю

f−′(x) производные

функции y = f (x) в точке

x определяют равенствами

f+¢ (x) =

lim

f (x +

x)− f (x)

f−¢(x) =

lim

f (x +

x)− f (x)

x→+0

x→−0

Производные

f+′ (x)

f−′(x) называют односторонними.

Для существования производной

′

f (x) в точке

x не-

(x) функции

обходимо и достаточно, чтобы в этой точке обе односторонние производ- ные существовали и были равны между собой, т.е. f+′ (x)= f−′(x), при этом

f ′(x) = f+′ (x)= f−′(x).

Пример 3.1. Пользуясь определением производной, найти формулу

		æ	a × Dx ö			a ×Dx
Dy		2sinçax +		÷	×sin
			2			2
	= -	è		ø			.
Dx			Dx

Применяя свойства	предела функции			в точке и 1-й замечательный

предел, вычислим

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.07.2019113.15 Кб3Маркетинговые исследования Лекции.doc
#
09.11.20182.12 Mб3Маркетинговые коммуникации Гл16 КСО.doc
#
09.11.201810.26 Mб5Маркетинговые коммуникации Гл17 Соц. отчет.doc
#
11.07.2019253.44 Кб7Маркетинговые коммуникации Лекции.doc
#
09.11.2018220.16 Кб1Маркетинговые коммуникации Ответы на экзамен.doc
#
08.03.20151.91 Mб49Математика в экономике, сборник задач.pdf
#
08.03.20154.35 Mб38МатыскинаТеория статистики.pdf
#
08.03.2015207.36 Кб13Машинотех продук готовая.doc
#
08.03.2015858.47 Кб135Международное частное право.pdf
#
08.03.2015203.18 Кб9Менеджмент переделка (Восстановлен).docx
#
08.03.2015101.89 Кб12Метод указ по практике.doc