Математика в экономике, сборник задач

основным гипотезам: 1) U (Q) (строго) возрастают и 2) являются строго

вогнутыми. В прикладных задачах допускается использование функций полезности, удовлетворяющих ослабленным аналогам гипотез: неубывающих и вогнутых (не обязательно строго!).

3.154. 1) Пояснить содержательный смысл основных гипотез и их ослабленных аналогов для функций полезности.

2) Какими свойствами обладает функция предельной полезности, если функция полезности удовлетворяет а) основным гипотезам; б) их ослабленным аналогам?

3.155. Оценить возможность использования следующих функций в качестве функций полезности, т.е. проверить выполнение для этих

произведённой при этом продукции. Множество значений затрат ресурса x , на котором функция f (x) является возрастающей, называют

экономической областью.

Закон убывающей предельной производительности труда гласит: с

ростом объёма затрат единственного переменного ресурса предельный продукт данного ресурса снижается. Обычно данный закон начинает

действовать после достижения объёма затрат данного ресурса некоторого уровня.

3.156. Определить: а) экономические области и б) множества, на

которых действует закон убывающей предельной производительности труда для следующих производственных функций:

1) f (x) = a × x , a > 0− параметр; 2) f (x)= x2 ×(300 - x).

3.157. Пусть, Q = f (C)− производственная функция, изображённая на рис.

3.6(здесь переменный ресурс x = C − переменные затраты производства).

1)Определить: а) экономическую область производственной

функции; б) промежуток, на котором действует закон убывающей предельной

производительности труда.

2)Найти, при каких значениях С определена обратная к производственной функция затрат С = С(Q) и изобразить её график.

91

3.14.Поведение предприятий в условиях совершенной конкуренции

ичистой монополии

1.Формальное решение задача максимизация прибыли фирмы..

Напомним, что прибыль фирмы определяют как разность между выручкой от реализации продукции в объёме Q и издержками (затратами) её

производства: Π(Q) = R(Q)− С(Q). Необходимым условием максимизации прибыли является выполнение равенства:

а достаточным для локального максимума дважды дифференцируемой функции Π(Q)- отрицательное значение второй производной функции прибыли в критической точке Q * , удовлетворяющей равенству (3.11):

Можно, естественно, вместо проверки условия (3.12) исследовать

смену знака первой производной функции прибыли при переходе через критическую точку Q *.

2. Максимизация прибыли совершенно конкурентной фирмы.

Совершенная конкуренция - идеализированное состояние товарного рынка, характеризующееся следующими условиями:

·имеется много покупателей и продавцов данного товара, причём каждый из них производит и, соответственно, покупает малую часть общего рыночного объёма;

·товар совершенно однороден с точки зрения покупателей, и все покупатели одинаковы с точки зрения продавцов;

·отсутствуют входные барьеры для вступления в отрасль нового производителя и возможности свободного выхода из отрасли;

·полная информированность всех участников рынка;

92

∙ рациональность поведения всех участников рынка, невозможность сговора.

Составим функцию прибыли фирмы

П = П(Q) = p·Q– TC(Q),

здесь p – цена товара (постоянная), Q – объем производства, TC(Q) – общие издержки фирмы при производстве Q единиц товара. Функцию TC(Q) будем считать дифференцируемой любое количество раз.

Необходимое условие экстремума:

П ′ (Q) = 0 → p – MC(Q) = 0 → p = MC(Q),

здесь MC(Q)= C′ (Q) - предельные издержки.

P

P=MC(Q)

П ′ (Q)

П(Q) 0 ↓ Q1 ↑ Q2 ↓

d

Рис. 3.9. Проверка смены знака

производной функции прибыли

Рис.3.8. Кривые предельных

издержек и спроса

93

Достаточные условия экстремума функции прибыли выполнены в точке пересечения кривой спроса участка возрастания кривой предельных издержек (см. рис. 3.8, 3.9).

2.1. Поведение фирмы в коротком периоде. Совокупные (общие)

издержек определены экономическим содержанием соответствующих

Т.о., минимумы функций средних переменных и средних

совокупных издержек достигаются в точках пресечения их графиков с кривой предельных издержек.

Ставя задачу максимизации функции прибыли, при цене p0 фирма производит Q0 единиц продукции. При этом фирма может иметь положительную прибыль (рис.3.11), нести убытки, но при этом покрывать переменные и часть постоянных издержек (рис. 3.12), нести убытки, превышающие переменные издержки (рис.3.13)

94

Краткосрочная кривая предложения совершенно конкурентной фирмы определяется условиями

p = MC(Q) при MC(Q) ≥ AVC(Q)

и представляет собой часть кривой предельных издержек, расположенной выше кривой средних переменных издержек. Таким образом, кривая предложения фирмы совпадает с ее кривой предельных

издержек для цен, превышающих минимальный уровень средних переменных издержек (AVC(Q)).

Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в коротком периоде изображена на рис. 3.14. жирной линией.

Цена безубыточности

AVC(Q)

Цена прекращения производства (краткосрочная цена ликвидации)

Q

Рис. 3.14 Кривая предложения совершенно конкурентной

фирмы в коротком периоде

Если цена товара будет меньше минимального уровня средних переменных издержек (AVC), который называют цена прекращения производства (краткосрочная цена ликвидации), то фирма закроется и объем ее производства будет нулевым.

Цена безубыточности равна минимальному уровню средних совокупных издержек. Если рыночная цена равна цене безубыточности, то фирма безубыточна: не имеет ни прибыли, ни убытков в экономическом смысле.

2.2. Поведение фирмы в долгосрочном периоде. В долгосрочном периоде все издержки фирмы являются переменными: LTC(Q)= LVC(Q), здесь и далее буква «L» означает, что переменная рассматривается в долгосрочном периоде.

Долгосрочная кривая предложения совершенно конкурентной фирмы представляет собой часть ее кривой LMC(Q), расположенную выше точки минимального уровня LAC(Q).

Кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в долгосрочном периоде изображена на рис. 3.15. жирной линией.

96

дохода может пересекать кривую предельных издержек в одной или двух точках (см. рис. 3. 16 и 3.17). Нетрудно убедиться, что максимум функции прибыли достигается в точках Q*.

устанавливает цену, превышающую предельные затраты (см. рис. 3.16).

3.16. Ценообразование на монополизированном рынке

3.158. Фирма, находится в условиях совершенной конкуренции. Функция затрат фирмы имеет вид С = C(Q). Определить: 1) функцию предложения фирмы; 2) объём производства, если цена продукции на рынке равна P д. ед., и фирма стремится максимизировать прибыль. Решить задачу при условии, что:

максимизирующей прибыль, если цена на продукцию с 200 руб. за штуку упадёт до 100 руб. за штуку?

98

3.161. Спрос на продукцию конкурентной отрасли QD = 55 - P , а предложение QS = 2 × P - 5. На рынке отрасли установилось рыночное

равновесие. Определить, при каком объёме производства фирма отрасли максимизирует прибыль, если кривая ее предельных издержек

MC = 3×Q + 5.

3.162. В конкурентной отрасли действуют 200 одинаковых фирм.

Общие затраты каждой из них в коротком периоде выражаются функцией C(Q)=16 + 2Q + Q2 . Известна функция рыночного спроса: D(P)= 2400P .

1)Найти функцию предложения каждой из фирм и функцию рыночного предложения.

2)Определить равновесную цену .

3)Определить объём выпуска каждой из фирм и получаемую ею прибыль, если каждая из фирм стремится масимизировать свою прибыль.

3.163. Общие затраты конкурентной фирмы в краткосрочном периоде описываются функцией

С(Q)= a + bQ , 0 ≤ Q ≤ Q *,

где a>0, b>0 − параметры, величина Q * характеризует производственные возможности фирмы.

1)Построить функцию предложения фирмы.

2)Определить, при каких значениях цены фирма прибыльна, а при

ограниченности земельных участков каждый фермер не может предложить больше 6 у. ед. картофеля.

1)По какой цене будет продаваться картофель, если каждый фермер самостоятельно будет стремиться к максимуму прибыли?

2)По какой цене будет продаваться картофель, если образуется

картель?

3)Как должна распределяться прибыль между участниками картеля, чтобы им было выгодно придерживаться единой монопольной цены?

монополиста, цену и размер прибыли, если функция спроса на продукцию монополиста Q = 12 − P , а функция общих затрат C = 2 + 6 × Q .

99

3.167. Спрос на продукцию фирмы-монополиста, максимизирующей

P = 20 . Каковы предельные затраты фирмы?

3.168. Заданы функция совокупного спроса на монополизированном рынке D = D(P), функция общих затрат монополии C = C(Q) и функция, характеризующая капиталоёмкость производства K = K(Q). Определить,

по какой цене будет продаваться продукция при стремлении монополии к максимуму:

а) прибыли Π(Q); б) выручки R(Q); в) нормы прибыли ΠK (Q). Решить задачу при условии, что:

1)D(P)= 301− P , C(Q)= 120 + Q + Q2 , K(Q)= 500Q ;

2)D(P)= 200 − P , C(Q)= 50 + Q + Q2 , K(Q)= 2Q .

3.169. Фирма выпускает товар в условиях монополии. Кривая спроса на данный товар задаётся равенством P =144 - 3×Q , а функция средних

издержек AC = 25Q + Q . При каком объёме выпуска прибыль фирмы будет

максимальной?

3.170. Производство столов в городе М монополизировано компанией ²Харин и сыновья². Какую цену на столы назначит компания, если её общие издержки по производству столов C =10×Q , а эластичность

спроса по цене на столы равна (-5)?

3.171. Продавая оборудование по цене 120 д. ед. за единицу, фирма – монополист максимизирует прибыль. Если ценовая эластичность спроса при данной цене равна (-1,5), то какую величину при этом составляют предельные издержки и предельная выручка?

3.172. Монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед.

монополии линейна.

Как изменится цена на продукцию, если с каждой проданной её единицы с монополии будет взиматься налог в размере 7 д. ед.? Как изменится прибыль монополии? Какова сумма получаемого налога?

фиксированный налог на капитал в размере 200 д. ед.

100