Математика в экономике, сборник задач

3.174. Фермер выращивает капусту. Производственная функция имеет вид: QK = 10× x , где x (ед.) - количество используемых удобрений.

Удобрения стоят 1 д. ед. за единицу. Определить, сколько капусты вырастит фермер и какова будет его прибыль, если рыночная цена капусты равна 2 д. ед.

3.175. Предположим, мы имеем следующую информацию о

продукции продаст фирма, стремящаяся максимизировать прибыль, и по какой цене, если:

1)* она будет функционировать как монополия, а функция спроса на продукцию фирмы линейна;

2) она будет функционировать в условиях совершенной конкуренции?

4. Монополия с несколькими заводами. Рассмотрим фирму-

монополиста, производящую одну и ту же продукцию на n заводах.

Прибыль монополиста равна разности между общей выручкой от продажи всей произведенной продукции Q = Q1 +...+ Qn , где Qi - объём выпуска

i −го завода, Qi ³ 0 , i = 1,2,...,n , и суммарными затратами всех заводов:

Π(Q) = R(Q)- C1(Q1 )- ... - Cn (Qn ),

здесь Ci - затраты i − го завода.

Необходимым условием максимизации прибыли фирмы по выпуску некоторого объёма продукции Q в коротком периоде является распределение выпуска между заводами так, чтобы выполнились

MR − предельный доход фирмы от продажи произведённой продукции. В случае, когда функция R(Q) является вогнутой, а все функции Ci (Qi )-

выпуклыми, условия (3.16) будут достаточными для глобального максимума прибыли фирмы.

3.176. В состав фирмы-монополиста, стремящейся максимизировать свою прибыль, входят несколько заводов. Зная функцию общих затрат каждого из них, найти функцию общих затрат для следующих вариантов её состава.

1) Фирма состоит из n одинаковых заводов с функциями затрат

Ci (Qi ) = 100 +10Qi + Qi2 .

2) Фирма имеет два завода с функциями затрат

101

3.177. Монополия, максимизирующая прибыль, владеет двумя предприятиями, на которых может производиться один и тот же вид продукции с разными затратами: C1 (Q1 ) и C2 (Q2 ). Спрос на продукцию

5. Ценовая дискриминация монополиста на сегментированных рынках означает установление различных цен для разных категорий покупателей (сегментов рынка). При дискриминации на сегментированном рынке монополия максимизирует прибыль, выбирая на каждом из сегментов наилучшее сочетание цен и объёмов продаж.

Предположим, что монополист может разделить рынок своей продукции на т сегментах, причём переток товара с одного сегмента на другой невозможен. Прибыль монополиста равна разности между общей

102

3.178. Фирма-монополист, располагая общим объёмом предложения товара в Q млн. единиц, торгует на рынках 1 и 2, которые характеризуются кривыми спроса, заданными уравнениями P1 = 12 − 4Q1 и P2 = b − 12Q2

соответственно, где b>0 − параметр. Фирма стремится максимизировать прибыль. Найти оптимальное для фирмы распределение товара между

рынками 1, 2 и цены продаж P1* , P2* для следующих вариантов значений

параметров b и Q:

1) b = 6, Q =1,8; 2) b = 4, Q =1; 3) b = 12, Q =1,8. 4) b = 60, Q =8.

3.179. Фирма-монополист реализует продукцию на рынке, где

покупатели подразделяются на две группы с различной эластичностью

вид: C(Q)= 5 + 5Q + 0,25Q2 .

1)При каких ценах на каждом из сегментов монополия получит максимум прибыли?

2)Как изменились бы объёмы продаж на каждом из сегментов и прибыль монополии, если бы ценовая дискриминация была бы запрещена?

3.180. Фирма-монополист реализует продукцию на рынке, где

покупатели подразделяются на две группы с различной эластичностью

спроса: Q1D = 60 - 0,2 × P1 , Q2D = 5 - 0,025× P2 . Найти предельную выручку фирмы как функцию объёма производства для двух вариантов: 1) продукт

продаётся на рынке по единой цене; 2)* продукт продаётся группам покупателей по разным ценам.

3.181. Компания является монополистом на рынке готовой продукции и, проводя политику ценовой дискриминации, разделяет потребителей своей продукции на два рынка: А и В. Эластичность спроса по цене на рынке А равна (-2), на рынке В – (- 4). Предельные издержки компании постоянны. Если цена товара на рынке А составляет 15 д. ед. за единицу, то какую цену компания может назначить на рынке В с целью максимизации своей прибыли?

3.182. Торговая компания ²Сатурн² продаёт футболки на Сенном и Кузнечном рынках. Эластичности спроса по цене соответственно равны ec = −5, eк = −8 . Торговой компании удаётся успешно разделить эти рынки

и препятствовать перепродаже купленных на другом рынке футболок. Какую цену должна назначить компания на футболки, продающиеся на Сенном рынке, если цена футболок на Кузнечном рынке равна 1000 д. ед.

3.183. Автомобильный концерн может продавать автомобили на внутреннем рынке, защищённом протекционистской политикой

мировой рынок, где цена в пересчёте на рубли составляет 80 тыс. руб. и не зависит от объёма экспорта. Предельные издержки концерна равны MC = 50 + Q10 , где Q − общий объём производства концерна. Каким

103

образом концерн распределит продукцию между внутренним и внешним рынком для того, чтобы максимизировать прибыль?

3.15. Асимптоты

Прямую называют асимптотой графика функции y = f (x), если расстояние от точек M (x, f (x)) графика функции до данной прямой

стремится к нулю при бесконечном удалении точек М от начала координат.

1.Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке

x= x0 является бесконечным, то прямую x = x0 называют вертикальной

асимптотой.

2. Если существуют (конечные) пределы

асимптотой при x → +∞ ( x → −∞), если k =0, то прямую y = b называют

горизонтальной асимптотой при x → +∞ ( x → −∞).

Решение. 1. Область определения рассматриваемой функции состоит из множества всех действительных чисел, за исключением одной точки

104

3.16. Исследование функций. Построение графиков

Рекомендуется следующая схема исследования функций:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва и односторонние пределы в этих точках;

3)выяснить чётность, нечётность и периодичность функции;

4)найти нули функции и точки пересечения с осью ординат;

5)найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума;

6)найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

7)найти асимптоты;

8)построить график, используя результаты исследования.

Пример.3.18. Исследовать функцию и построить ее график:

y= 1- x3 . x2

Решение. 1) Функция определена всюду, кроме точки x = 0.

2)Функция имеет одну точку разрыва x = 0. Подсчитаем в ней

числителя равен 1, а знаменатель является бесконечно малым при x → ±0.

4)Имеем: y = 0 Þ 1- x3 = 0 Þ x =1. Следовательно, график функции

x2

5) Найдём производную: y¢ = - x23 -1, приравнивая её нулю, найдём критическую точку x = -32 . Производная не существует при x = 0, но эта

105

точка не принадлежит области определения, поэтому критической не является.

Нанесём критическую точку и точку x = 0 на числовую прямую,

расставив

знаки производной на получившихся интервалах, видим, что: функция убывает при x < -32 x > 0, а возрастает при - 32 < x < 0, в точке

x = -32 функция имеет локальный минимум, ymin = y(− 32)= 334 .

6) Найдём вторую производную: y¢¢ = x62 , y′′ ¹ 0 и не определена в

точке x = 0, не принадлежащей области определения. Следовательно, точек перегиба функция не имеет (не выполнено необходимое условие их существования). Во всей области определения вторая производная положительна, функция является всюду выпуклой.

7)В рассматриваемом примере существует вертикальная асимптота x

=0 (см. п. 2 исследования)).

Проверим условия существования наклонной асимптоты:

функция имеет наклонную асимптоту y = −x при x → ±∞ .

9) Учитывая результаты исследования, строим график (см. рис.3.17).

106

y

y = 1− x3 x2

Рис.3.17. График функции y = 1− x3 x2

3.185. Исследовать функции и построить их графики:

107

Глава 4 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.1. Первообразная и неопределённый интеграл

ным интегралом и обозначают ò f (x) ×dx . По определению ò f (x)× x = F(x)+ C , где F(x)− одна из первообразных функции f (x), C− произвольная постоян-

ная.

Основные свойства неопределённого интеграла:

5. ò( f (x)± g(x))× dx = ò f (x)× dx ± ò g(x)× dx .

В силу свойства 6 таблицу интегралов можно расширить, заменив в приведённых выше формулах независимую переменную x на переменную

108

интегрирования u = u(x) (тогда во всех формулах dx заменится на du = u′(x)dx ).

Пример 4.1. Используя тождественные преобразования подынтеграль- ных выражений и свойства неопределённых интегралов, свести к табличным и вычислить следующие интегралы:

=5sin x + 2x - x3 + ln x + C .

2)ò(3 - x2 )3 dx=ò(27 - 27x2 + 9x4 - x6 )dx= 27òdx + 27ò x2 dx +

3) Разделим числитель подынтегральной функции почленно на знаме- натель, тогда

4) Заменим единицу в числителе подынтегральной функции на триго- нометрическую, получим

=x3 - x + arctgx + C . 3

109