Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Байкальский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика в экономике, сборник задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2015

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

3.10. Формулы Тейлора и Маклорена

Пусть функция f (x)

имеет в точке a производные до n-го порядка

включительно.

Тогда

некоторой

окрестности

этой

точки

Oε (a)справедлива следующая формула (формула Тейлора

n − го порядка):

′(a)

(x - a)+

f ′′(a)

f (n) (a)

f (x) =

f (a)+

− a)

(x − a)

+ o((x − a) ), (3.8)

где

P (x) = f (a)+

f ′(a)

(x − a)+

f ′′(a)

(x − a)2 + . . . +

f (n)(a)

(x − a)n

- многочлен Тейлора порядка

o((x − a)n )- остаточный член в форме

Пеано,

o((x − a)n ) - бесконечно

малая в

точке

x = a

более высокого

порядка, чем

(x − a)n . С

точностью

до

указанной бесконечно

малой

x Oε (a) верно приближённое равенство:

f (n)(a)

(3.9)

f (x) ≈

f (a)+

f ′(a)

(x - a)+

f ′′(a)

(x - a)2 + . . . +

(x - a)n .

При a = 0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена:

	f ′(0)		f ′′(0)			f	(n)	(0)			(3.10)
f (x) = f (0)+		x +		x2	+ . . . +				xn + o(xn ).
	1!		2!
							n!
Пример 3.13. Представить функцию							f (x)= 3				в виде многочлена
										x

третьей степени относительно двучлена x +1.

Решение. Найдём для заданной функции многочлен Тейлора третьего

порядка. Из условия имеем: x - a = x +1Þ a =-1.

Вычислим

функцию

производные

до

третьего

порядка

включительно

точке

a =-1:

f (−1)= −1;

−2 3

Þ f

;

(x)= 3 x

(-1) = 3

¢¢

2 ö

−5 3

¢¢

¢¢¢

(x) = -

ö −8 3

¢¢¢

÷x

; f

÷x

×ç-

f (x)=

f (-1) =

Подставляя в формулу (3.8) при n=3, получим

» -1+

(x +1)+

(x +1)2 +

(x +1)3

× 2!

27 ×3!

» -1+

(x +1)+

(x +1)2 +

(x +1)3.

Пример 3.14. Вычислить приближённо при помощи многочлена

Тейлора второй степени: a) cos460 ;

б) 4

Решение.

а)

Итак,

требуется

вычислить

значение

функции

f (x)= cos x

при x = 460

(радиан). Выберем a = 450 =

, поскольку

180

известны

sin

π = cos

разность

x − a =

мала.

Вычислим:

180

æ π

æπ

π ö

f ç

;

′(x)= -sin xÞ f ¢ç

= -

;

f ′′(x)= -cos xÞ

¢¢ç

÷ = -

è 4

4 ø

è 4

Подставляя найденные значения в формулу (3.8), получим

π 2

cos46

Þ cos46

(1-

)Þ

180

×2

180 2

180

180 2

cos460

» 0,707107× (1- 0,017453- 0,000152) » 0,694658.

б)

Представим

заданный

корень

следующим

образом:

4 83 = 4

81+ 2 =

4 81×

ç1+

÷ = 3× 4

ç1

÷ .

Положим

f (x)= (1+ x)

x =

m =

; при

a = 0

разность

x − a =

мала. Вычислим:

f (0)=1;

−3 4

′′

−7 4

¢¢

4 (1+ x)

f (x) =

f (0) = 4 ; f (x)= - 16 (1+ x)

(0)= -16 . С

учётом этого

2 ö

83 = 3×

ç1

» 3

×ç1+

81ø

812

3× (1+ 0,006173 - 0,000114) » 3,018176.

3.121. Разложить многочлен P(x) по степеням двучлена x −1, используя

формулу Тейлора, если

P(x)= x5 - 2x4 + x3 - x2 + 2x -1,

2) P(x)= x4 + 2x3 -8x2 + 4x + 4.

3.122. Для заданных функций написать формулы Маклорена n-го

порядка:

4) y = (1 + x)m .

y = ex ;

2) y = sin x ;

3) y = ln(1+ x);

3.123. Используя формулы Маклорена, полученные в предыдущем

примере, написать многочлены Маклорена

n-й степени

для следующих

функций:

y = e−

2) y = sin

;

y = ln(4 + x2 );

4) y = 3 8 + x .

;

3.124. Для функции

f (x)

в точке a написать формулу Тейлора n-го

порядка, построить графики данной функции и её многочлена Тейлора n-й степени:

1) f (x)=	x	,	a = 2 ,	n = 3;	2) f (x)=	1		, a =1, n = 2 ;
	x -1
							x

3)* f (x)= xx ,			a = 2 ,	n = 2 .

3.125. Для каждой из следующих функций найти приближённое выражение в виде многочлена 2-й степени относительно x :

2) y = xex ;

3) y = ln(1- x + x2 ).

y = cosç x -

÷;

3.126. Аппроксимировать многочленами 3-й степени относительно

двучлена

x − a следующие функции:

y = tgx при a = - π .

y = 4

при

a = 1;

3.127. Вычислить при помощи многочлена Тейлора 2-й степени:

;

3) 5

245

3.128. Вычислить при помощи многочлена Тейлора 3-й степени:

1) sin100 ;

2) 3

;

3) ln1,2;

4) 3

3.11. Монотонные функции. Экстремум

Монотонные

функции.

Функцию

y = f (x)

называют

возрастающей (убывающей) на

промежутке X ,

если для

любых точек

x1, x2 Î X ,

таких, что

x1 < x2

выполняется неравенство

f (x1 )< f (x2 )

( f (x1 )> f (x2 )). Если неравенства в определении являются нестрогими, т.е. f (x1 )£ f (x2 ) ( f (x1)³ f (x2 )), то функцию называют неубывающей

(невозрастающей). Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными.

∙ Дифференцируемая на интервале X функция y = f (x) не убывает

(не возрастает) на этом интервале тогда и только тогда, когда f							′
							(x)³ 0
′
( f (x)£ 0) для всех точек x из X .
∙ Если	′	( f	′		x из интервала X , тогда
	f (x) > 0		(x) < 0) для всех точек
функция y = f (x) возрастает (убывает) на этом интервале.
2. Исследование функции на экстремум. Пусть функция y = f (x)
определена на множестве X. Говорят, что функция y = f (x)						имеет в точке
x0 Î X локальный		максимум		(минимум),	если существует		такая
окрестность	Oε (x0 )Î X		точки	x0 , что	x Oε (x0 )	выполняется
неравенство	f (x)£ f (x0 ) ( f (x)³ f (x0 )).				Локальный	максимум и

локальный минимум часто называют просто максимумом и минимумом и

объединяют общим названием локальный экстремум (или просто

экстремум).

∙ Если функция y = f (x) дифференцируема в точке	x0 и имеет в
этой точке экстремум, то f ′(x0 )= 0 .
Значения аргумента функции y = f (x), в которых	производная

функции равна нулю или не существует, но сама функция непрерывна,

называют критическими или точками возможного экстремума.

∙ Пусть функция		y = f (x)		дифференцируема			в	некоторой
окрестности критической точки			x0	(за исключением, быть может, самой
точки x0 ). Если для точек окрестности:
1)	f ′(x) > 0 при x < x0 и f ′(x)< 0 при x > x0 (в точке x0							производная
меняет свой знак с плюса на минус),				то x0 является точкой максимума;
2)	f ′(x)< 0 при	x < x0	и	f ′(x) > 0	при	x > x0	(в точке x0
производная меняет свой знак с минуса на плюс),						то x0 является точкой
минимума;

′
3) производная f (x) сохраняет один и тот же знак, то функция
y = f (x) не имеет в точке x0	экстремума.
∙ Пусть в критической точке x0			функция y = f (x)	имеет вторую
производную. Тогда если	f ′′(x0 )< 0		( f ′′(x0 )> 0), то функция y = f (x)
имеет в точке x0 максимум (минимум).
Говорят, что в точке x0		достигается наименьшее		(наибольшее)
значение или глобальный минимум (максимум) функции				y = f (x) на
множестве X , если f (x0 )£ f (x)		( f (x0 )³ f (x)) для всех x X .

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений. Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции на отрезке

нужно подсчитать значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример 3.15. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = ln(1− x2 ).

Решение. Область определения функции задаётся условием 1− x2 > 0, следовательно, состоит из точек интервала −1 < x <1. Вычислим

′

производную:

= −1

− x2 . Решением неравенства y

> 0 при −1 < x <1

является

интервал (−1;0), а решением неравенства

y′ < 0

при том же

условии

−

интервал (0;1),

Следовательно, функция

y = ln(1− x2 )

возрастает на интервале (−1; 0)

и убывает на интервале (0; 1) (точка x = 0

отделяет интервалы возрастания и убывания функции).

Пример 3.16. Исследовать на экстремум функцию y = (1− x2 )3 . Решение. Функция определена и дифференцируема всюду на

множестве действительных чисел. Найдём производную: y′ = −6x(1− x2 )2 . Полагая y′ = 0, найдём критические точки: x1 = −1, x2 = 0 , x3 = 1. Далее

исследуем критические точки на наличие в них экстремума двумя способами.

1-й способ. Найдём вторую производную f ¢¢(x) = 6(1- x2 )×(5x2 -1) и определим её знак в критических точках. Имеем: f ′′(−1) = f ′′(1)= 0 ,

сомнительный случай, установить наличие или отсутствие экстремума функции в точках x = −1 и x =1 при помощи знака второй производной не

удаётся, требуются		дополнительные		′′	(0) = −6	< 0 ,
удаётся, требуются		дополнительные		исследования; f	(0) = −6	< 0 ,
следовательно, в точке x = 0 функция имеет максимум.
2-й способ. Нанесём критические точки на числовую прямую						(см.
рис. 3.2).
f ′(x)+		+	−	−
f (x)	-1		0	1
f (x)

Рис. 3.2

Для определения знака производной слева и справа от каждой критической точки подсчитаем значение производной в произвольных

точках в каждом

из

выделенных

интервалов. Например, найдём

f ′(− 2)= 108 > 0, f ¢ç

= 1

> 0,

f ¢ç

= -1

< 0 , f ′(2)= −108

< 0.

Расставим знаки производной на соответствующих интервалах рис.3.2,

видим: функция возрастает на интервале (− ∞, 0)

и убывает на интервале

(0, + ∞). Следовательно,

в точках x = −1 и x =1 экстремума нет, в точке

x = 0 функция имеет максимум, fmax = f (0)= 1.

3.129. Найти промежутки

возрастания и

убывания

следующих

функций:

1) y = 2 + x - x2 ;

2) y = 4x3 +12x + 9;

3) y = 3x - x3 ;

5) y =

;

6) y =

4) y = x4 + 8x3 + 5;

;

(x - 5)2

1+ x2

8) y =

;

7) y = x(x - 3) ;

9) y = x − 2ln x ;

100 + x

10)

y = ln x − arctgx ;

11) y = cosπ ;

12) y = x2 - ln x2 ;

13)

y = sin x + cos x на отрезке [0,

2π ];

14) y = ex ×cos x .

3.130. Определить:

y = x3 - ax

при каких значениях коэффициента

a функция

возрастает на всей числовой прямой;

2) при каких значениях коэффициентов b и c функция y = sin x − bx + c убывает на всей числовой прямой.

3.131. Доказать следующие неравенства:

ex > 1+ x

при

x ¹ 0 ;

2) x −

< ln(1+ x)< x при

x > 0;

x −

< sin x < x

при

x > 0;

4) tgx > x +

при

0 < x <

;

− x

ex + e

> 1+

при

x ¹ 0 .

Дать геометрическую иллюстрацию неравенств.

3.132. Доказать

следующее

утверждение

для

функции

экономического анализа

f (x) (x > 0,

f (x)> 0). Если при данном значении

x между средней Af (x) и предельной Mf (x) величинами выполняется

неравенство

Mf (x)> Af (x)

(Mf (x)< Af (x)) ,

то x − точка возрастания (убывания) средней величины Af (x).

3.133. Доказать

следующее

обобщение

достаточного

условия

экстремума.

f (x) имеет в некоторой окрестности критической

Пусть функция

точки

производные до

(n −1)− го

порядка

включительно и

производную

n − го

порядка в

самой точке

причём

f (k )(x

)= 0

f (n)(x

)¹ 0 .

(k = 1,...,n −1),

Тогда: 1) если n − число чётное, то в точке x0

функция

f (x) имеет

экстремум, а именно:

максимум,

при

f (n)(x0 )< 0

и минимум

при

f (n)(x0 )> 0;

f (x)

2) если n − число нечётное,

то в точке x0

функция

экстремума не

имеет.

3.134. Найти экстремумы следующих функций:

1) y = x2 + 5x + 7 ;

2) y = 4x −

;

3) y = x3 - 3x2 - 24x + 7 ;

4) y = 10 + 15x + 6x2 - x3 ;

5) y = 3x4 − 4x3 −12x2 + 2;

6) y =

x4 −

x3 −

x2 + 2 ;

7) y =

+ x

;

8) y =

− x

+ x

;

9) y = x(x -1)3 ;

10)

y = x2 (x - 2)2 ;

11)

y = (x +1)2 (x -1)2 ;

12) y = x

(x +

;

13)

y =

;

14)

y =

;

15) y =

− 6x + 13

;

16)

y =

2x2 −1

;

17)

y =

− x

;

x −

x2 − x + 3

18) y =

;

19) y = 23

− 53

+ 1;

y = x2 +

20)

;

1+ x

21)

y = x 1- x2 ;

22)

y = 3- 23

x2 ;

23)

y =1- 3

- 2x

;

24)

y =

;

25)

y = x2

- ln x ;

26)

y =

ln2 x -1

ln x

29)

y = ln(2 + cos x)

27)

y = xln2 x

28)

y = x - 2sin x

30)

y = x + cos2x на интервале (0;π );

31)

;

y = 4x - tgx на интервале ç

÷;

32)

y =

;

33)

y = x

× e

− x

;

34)

y = x - arctg2x .

3.135. Найти экстремумы функций, заданных параметрически:

- 20t + 7,

ìx = t ln t,

ïx = t

− 2 < t < 2;

1) í

ln t

t >

îy = 4t

- 3t

-18t + 3,

ïy

3.136. Пусть

−1 x2

x ¹ 0,

g(x)

−1 x2

x ¹ 0,

f (x)= íe

= íïx ×e

î0,

x = 0,

x = 0.

î0,

Доказать,

что

функция

f (x)

имеет

точке x0 = 0

минимум,

функция g(x) не имеет в точке x0 = 0 экстремума, хотя

f ¢(x0 )= g¢(x0 )= 0 .

3.137. Найти

наибольшие

наименьшие

значения

функций

на

указанных отрезках:

1) y = −3x4 + 6x2 ,

x [− 2, 2];

2) y = x2 ln x ,

x [1, e];

3π

y = x + 2

x ,

x [0,

4];

y = 2sin x + sin 2x ,

x Î ê0,

;

x -1

5) y = 3

− 3

, x [− 2, 1];

6) y =

x [0, 4];

x +1

x −1

x +1

, x [−10, 10].

7) y = x - ln x ,

x Î ê

, eú ;

y =

- 3x + 2

ëe

3.138. Повседневная практика свидетельствует, что при неизменных прочих условиях с увеличением цены товара P объём спроса на него уменьшается, а объём предложения увеличивается. Оценить в связи с этим

возможность использования

функций

Q = f (P)

в качестве а) функций

спроса;

б) функций предложения от цены:

1) Q =

;

2)Q = 3P +

;

P +1

3)Q = 3

−1;

4) Q = 10e−P2 .

3.139. Кривая рыночного спроса задана уравнением P =

600

, где

Q = QD − объём спроса. Исследовать,

Q + 20

как изменится выручка

R = P ×Q в

зависимости от спроса.

3.140. Объём выпуска продукции фирмы Q в краткосрочном периоде зависит только от одного переменного фактора - численности персонала

фирмы

L : Q = 6L2 - 0,2L3 .

Определить

численность

персонала,

при

которой выпуск Q достигает максимального значения.

3.141. Задана кривая полных издержек

C = 30 + 2 ×Q + 0,1×Q2

(здесь

Q - объём производства). Найти значение объёма Q*, при котором средние

издержки минимальны.

3.142. Задана

функция

цены

от

спроса

на

некоторый

товар

P = P(Q).

При какой цене

P (д.

ед.) и каком объёме продаж

Q (ед.)

выручка R = P ×Q будет максимальной,

и какова она? Решить задачу для

перечисленных ниже вариантов функции цены от спроса: 1) P =

- 2;

2) P =

-1.

Q +

3.143. Предположим,

что

известны

функция

спроса

P(Q)= 80 +8Q -Q2

на

некоторый

товар

совокупные издержки

С(Q) = 5×Q2 + 8 ×Q + 2 на производство и продажу

Q единиц товара. При

каких

объёме продаж

и цене

прибыль П = P ×Q - C

будет

максимальной, и какова она?

3.144. Известно, что доход от продажи 10 единиц товара равен 600 д. ед., а от продажи 30 единиц товара равен 1500 д. ед. Считая, что функция спроса от цены товара линейна, найти, при каком объеме продаж доход

будет максимальным и по какой цене в этом случае следует продавать товар?

3.145. Исследование рынка показали, что ежедневно будет

продаваться 200 единиц товара, если цена его равна 16 д. ед. и 300 единиц товара, если

цена будет 14 д. ед. за штуку. Постоянные затраты составят 1400 д. ед. в день, а переменные – 4 д. ед. за единицу товара. Считая, что спрос изменяется линейно, найти, при какой цене получим максимальную

прибыль, и какова она.
3.146. Статистическим	путем	установили,	что	зависимость
прибыли y от расходов на рекламу x (в тыс. д. ед.)			выражается функцией
y = x3 -100x2 + 3125x . Какие	затраты	на рекламу	дадут	максимальную

прибыль и какова она, если мы можем позволить себе расходы не более а) 20 тыс. д. ед., б) 30 тыс. д. ед.?

3.147. Решёткой длиной 120 м нужно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры площадки.

3.148. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть

размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м 2 , а длина забора была наименьшая?

3.149. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном

объёмом 32 м2 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

3.150. Закрытый резервуар для перевозки жидкостей имеет форму цилиндра объёмом V. Каковы должны быть размеры цилиндра, чтобы стоимость материала, использованного для его изготовления, была

минимальной?
3.151. Вблизи		завода		С
проводится	по намеченной прямой ВА				B		A
к городу A железная дорога. Под каким
					α

углом α к проектируемой			железной
углом α к проектируемой			железной
дороге нужно провести шоссе с завода
С , чтобы доставка грузов из С в А была
наиболее	дешёвой,	если	стоимость		С	Рис. 3.3

перевозки 1 тонны-километра по шоссе в т раз дороже, чем по железной дороге.

3.12. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
Функцию	f (x) называют выпуклой (вогнутой) на		интервале (a,b),
если "x1, x2 Î (a,b) и α Î (0,1)
f (α × x1 + (1-α )× x2 )£ α × f (x1 )+ (1-α )× f (x2 )
( f (α × x1 + (1-α )× x2 )³ α × f (x1 )+ (1-α )× f (x2 )).				f (x)
		Пусть	функция
y	y	дифференцируема		на
		интервале		(a,b).

0 a	b	x	0 a	b
Рис.3.4. Выпуклая			Рис.3.5. Вогнутая
	функция			функция

Функция f (x) является

выпуклой (вогнутой) на

этом интервале тогда и только тогда, когда ее

график расположен не ниже (не выше) касательной, проведенной

к графику функции в любой точке с абсциссой

x Î (a,b), см. рис. 3.4 (3.5).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на интервале (a,b). Функция f (x) выпукла (вогнута) на этом интервале тогда и только тогда,

когда f ′′(x)³ 0 ( f ′′(x)£ 0) "x Î (a,b).

Пусть f (x)	непрерывна в точке x0 .	Точку x0	называют точкой
перегиба функции	f (x), если она разделяет два интервала, на одном из
которых функция	выпукла, на другом -	вогнута. (При этом точку
(x0, f (x0 )) называют точкой перегиба кривой y = f (x)).
∙ Если x0 −	точка перегиба функции	f (x), тогда	или f ′′(x0 )= 0 ,
или f ′′(x0 ) не существует.

∙ Пусть f ′′(x0 )= 0 или f ′′(x0 ) не существует. Если найдётся такая окрестность Oε (x0 ) точки x0 , что функция f (x) дважды дифференцируема во всех точках этой окрестности, за исключением, быть

может, самой точки x0 , и в	точках из Oε (x0 ) вторая	производная
принимает слева и справа от x0	значения различных знаков,	то x0 − точка
перегиба функции f (x).

Исследование на выпуклость и вогнутость и нахождение точек перегиба дважды дифференцируемой функции (или функции, дважды дифференцируемой на промежутке всюду, кроме конечного числа точек)

аналогично исследованию на монотонность и нахождению точек экстремума функции при помощи первой производной. Только в данном случае следует использовать вторую производную функции.

3.152. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:

1) y = 3x5 − 5x4 + 4 ;

y = x + 36x2 − 2x3 − x4 ;

y = 3- 5

y = 3

− 3

;

(x + 2)7

;

x +1

x −1

y = 4 (x -1)5 + 20 (x -1)3 ;

y =

;

y = x ln

+1)

;

y = x ×ln(x - 4);

y = x3 ln x +1;

10) y = xe2x +1;

11)* y = 2 −

x5 −1

;

x -1

12)* y =

3.153. Определить:

и b точка (1;3) является

1) при каких значениях

параметров a

точкой перегиба кривой y = ax3 + bx2 ;

2) при каком выборе параметра h кривая вероятности y = hπ ×e−h2 x 2

( y > 0) имеет точки перегиба с абсциссами x = ±6 .

3.13. О некоторых свойствах функций экономического анализа

1. Функция полезности и её свойства. В неоклассической теории потребления обычно в качестве функций полезности U = U (Q), где

Q −объём потребления, выбирают функции, удовлетворяющие при Q > 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.07.2019113.15 Кб3Маркетинговые исследования Лекции.doc
#
09.11.20182.12 Mб3Маркетинговые коммуникации Гл16 КСО.doc
#
09.11.201810.26 Mб5Маркетинговые коммуникации Гл17 Соц. отчет.doc
#
11.07.2019253.44 Кб7Маркетинговые коммуникации Лекции.doc
#
09.11.2018220.16 Кб1Маркетинговые коммуникации Ответы на экзамен.doc
#
08.03.20151.91 Mб49Математика в экономике, сборник задач.pdf
#
08.03.20154.35 Mб38МатыскинаТеория статистики.pdf
#
08.03.2015207.36 Кб13Машинотех продук готовая.doc
#
08.03.2015858.47 Кб135Международное частное право.pdf
#
08.03.2015203.18 Кб9Менеджмент переделка (Восстановлен).docx
#
08.03.2015101.89 Кб12Метод указ по практике.doc