Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Байкальский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика в экономике, сборник задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2015

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

9) ò

;

2x -3

+ x) 1

8) ò 3

;

+ x

2x -3

xç

-1

x + a

11) ò (x + a)(1 + 3

)dx ,

10) òç

;

x + a

12) ò

èç 3 (x +1)2 (x -1)4 ø÷

a − параметр;

-1)

Тригонометрические

подстановки.

Интегралы

вида

ò R(x,ax2 + bx + c)dx можно сначала преобразовать, выделив полный квадрат из

квадратного

трёхчлена:

ax2 + bx + c =

b2 ö

b ö2

а затем при помощи подста-

+ 2 ×

× x +

+ c -

= aç x +

+ c -

aç x

2a ø

новки

b ö

= u свести к одному из интегралов:

aç x

2aø

òR(u,

)du - интегрируется

при

помощи

подстановки

p2 - u2

u = psin t,

< t <

;

(

)

при

помощи

подстановки

R u,

p2 + u2

du - интегрируется

u = ptgt,

< t <

;

ò R(u,

)du - интегрируется

помощью

подстановки

u2 - p2

u =

0 < t <

π .

cost

результате

интегралы

1) - 3)

приводятся к

интегралам

ви-

да ò R(sin t,cos t)dt .

Пример 4.14. Найти:

1) ò

x2 -1

dx, x >

0 ;

(

5 + 2x + x2

Решение. 1) Здесь интеграл типа 3).

Положим

x =

,0 < t < π ,

тогда

cos t

= tgt ,

. Подставляя в интеграл, получим

x2 -1

dx = tgt

cost

x2 -1

tg2t ×cost

1- cos2 t

cost

dt = ò

cos2 t

dt = ò

- ò dt = tgt - t + C =

x2 -1

cos2 t

- arctgx2 -1 + С .

2)	Выделим	полный	квадрат	в	трёхчлене,	получим
5 + 2x + x2	= (x + 1)2 + 4 .	Пропуская промежуточную переменную, сделаем под-

131

становку

x +1 = 2tgt, -

< t < π ,

тогда

dx =

2dt

cos2 t

. Осуществляя подстановку, найдём

(x + 1)2 + 4

5 + 2x + x2

cost

x +1

cos3 t × dt

= 4 ò

cos2 t

4 òcostdt =

4 sin t + C =

+ C .

(

5 + 2x + x2

4.98. Найти интегралы при помощи тригонометрических подстановок:

2) ò

1+ x2

dx ;

1) ò x2

4 - x2

dx ;

3) ò

1 - 2x - x2

dx ;

4) ò

;

5)*

;

-1

ò (1

+ x ) x - x2

(x2 - 2x +

5)2

dx ;

4.7. Смешанные примеры на интегрирование

Найти интегралы.

4.99. ò 1x+ x dx .

4.102. ò					dx			.
4.102. ò	1		+ sin x					.
4.105. ò				(x - 3)dx						.
4.105. ò										.
				x2 - 6x +					1
4.108. òe−							dx
4.108. òe−						x	dx
4.111. ò						x + 3			dx.
4.111. ò		x	2			+ 2x		+ 4	dx.
		x				+ 2x		+ 4

4.114. ò 2x -1 dx .

4.117. ò

ln(cos x)

dx .

sin

4.120. ò

- 2

arctgxdx.

4.123. ò

2 - 3

tgx

dx.

cos

4.126. ò

x + a +

ò arctg2 x

4.100. x2 +1 dx.

4.103. ò x ×tg2 xdx.

4.106. ò cos2 xdx . sin x

4.109. òln(x2 + x)dx.

4.112. òsin 2x ×sin 3xdx .

4.115. ò		cos x				dx .
4.115. ò	(1 - sin x)				4	dx .
	(1 - sin x)
4.118. ò		dx		.
4.118. ò	x	4	2	.
	x	+ x

4.121. òsin2 x ×sin3xdx .

4.124. òarctgxdx .

4.127. òcosln 2xdx .

4.101. ò

+ ax

4.104. ò

exdx

2 x

- 5

4.107. ò

(ax - b)dx

(ax + b)

4.110.*

(x + 4)dx

2 - x - x2

4.113. ò(2x2 - 2x +1)× e−

dx .

4.116. ò

x -

4.119. ò(x + 2)cos(x2 + 4x +1)dx.

4.122. ò x3 - x2 dx . x + 3

4.125. ò 3e2 x + 2ex dx . e2 x +ex -2

2x - 3

4.128. ò (2x + 3)4 dx .

132

4.129. ò

cos3 x

dx .

sin

4.132. ò

dx .

− x

+ x −1

4.135. ò

dx .

+ 1

4.138. ò

1- 6

dx .

- 4

4.141. ò

2e2 x - ex - 3

dx .

2 x

- 2e

- 3

4.144. ò

(x +

1- x2

4.147. ò arctgxx2 dx .

4.150. ò 11+- xxdx .

4.153. ò x2 - x -1dx .

4.156. ò 3 - 4sin2 x .

4.159. òsin 2x × ln cos xdx .

4.162. ò		xdx		.

	x2	+ x + 2
	x2	+ x + 2
4.165. ò	x4dx		.

	(1- x2 )3
	(1- x2 )3

4.130. ò(1 - ln x)2 dx .

4.133. ò 9sin2 x + cos2 x .

4.136. ò (1 + x2 )2 .

4.139. ò x ln2 xdx .

4.142. ò(2x2 -1)cos2xdx

4.145. ò1sin+ tgx2x dx .

e2 x × dx

4.148. ò (2 + ex + e− x )2 . 4.151. ò cossin 23 xx dx .

4.154. òe2x ×sinex dx .

4.157. ò			xdx	.
4.157. ò	1	+ cos x		.
	1	+ cos x
4.160. ò			x2		dx .
4.160. ò					dx .
			(4x + 1)5

4.163. ò x5 (x4 +1)2 .

4.166. ò x arcsin xdx.

4.131. ò

x +

4.134. ò x cos2 xdx.

4.137. ò

cos

+ b

sin

4.140. ò

+ 3tgx

4.143. ò

x cos x

dx .

sin

4.146. ò

(x - 2) (x + 3)

4.149. ò

+ cos x

4.152. ò

xex

dx .

1 + ex

x2 +

4.155. ò

1 + x

dx .

+ x

4.158. ò

dx .

4 - x2

4.161. ò cos2 x2 + 5tg2 x .

ln xdx

4.164. ò x6 + 4ln x - ln2 x .

4.167. ò		x	dx .

	x4	+16

133

Глава 5 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

5.1.Понятие определённого интеграла. Основные свойства

1.Понятие определённого интеграла. Пусть функция f (x) определена на отрезке [a,b]. Разделим отрезок [a,b] произвольным образом на n частей

точками x0 = a < x1 < x2 <...< xn = b. На каждом из получившихся отрезков

[xi−1,xi ] длины Di = xi -xi−1 выберем			произвольную			точку	ξi [xi−1,xi ],
i =1,...,n .	Построим для функции	f (x) на отрезке [a,b] интегральную сумму
σ = ån f (ξi )×Di и положим λ = max		i .
i=1	i=1,...,n
Если существует предел интегральных сумм при						λ → 0,	не зависящий
от способа разбиения отрезка [a,b]		и выбора точек			ξ i ,	то этот предел назы-
вают определённым интегралом от функции f (x)					на отрезке [a,b]и обозна-
чают символом bò f (x)dx :
	a		ån f (ξi )×Di ,
	bò f (x)dx = lim		ån f (ξi )×Di ,
	a	λ→0	i=1
функцию	f (x) в этом случае называют интегрируемой на отрезке [a,b].
y	y = f(x)		∙ Если функция непрерывна на от-
y	y = f(x)	резке [a,b], то она интегрируема на этом
		отрезке.
			∙ Если	функция интегрируема на
		отрезке [a,b],		то она ограничена на этом
		отрезке.
			∙ Геометрический смысл опреде-
		лённого интеграла. Пусть функция						f (x)
		непрерывна		на отрезке			[a,b].	Если

0 a	b	x			b
Рис.5.1.		f (x)³ 0"x Î[a,b],			то ò f (x)dx численно
Рис.5.1.					a
ции, ограниченной прямыми		равен площади			криволинейной трапе-
ции, ограниченной прямыми		x = a, x = b,	осью	Ox и кривой y = f (x), см. рис.
5.1.
			1
Пример 5.1.	Вычислить интеграл		ò x2dx	как предел интегральной сум-
			0

мы.

134

Решение. Функция f (x) = x2 непрерывна на отрезке [0,1], следователь- но, интегрируема на этом отрезке. Построим интегральную сумму следую-

щим образом. Разделим отрезок

[0,1]

на

n равных частей, тогда

i = 1 n

i =1,...,n

= 0, x

, x

,..., x

= 1.

æ i

Выберем

ξi = xi , тогда

(ξ i )= ç

i =1,...,n, т.е.

è n

æ 1

æ 2

ö2

æ n ö2

f (ξ1 )= ç

f (ξ 2 )= ç

,...,

f (ξ n )

= ç

÷ .

è n

è n ø

Очевидно,

λ =

и λ → 0 n → ∞ .

Следовательно,

æ i ö

+ 22 + 32 +...+ n2

ò x

dx = lim å

lim

n→∞ i=1è n ø

n→∞

öæ

ç1

÷ç2 +

= lim è

øè

ø =

n→∞

= lim n(n +1)(2n +1) =

n→∞ 6n3

Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел

(см.пр.1.23. 2)).

5.1. Рассмотреть задачи, приводящие к понятию определённого инте- грала:

1) о нахождении объёма продукции Q , произведённой за промежуток времени [0;T ], если известна функция u = u(t), описывающая изменение производительности труда на предприятии с течением времени: а) в общем

виде; б)* если T = 8	ч, u(t) =			4		(ед./ч);
				t +	1		K за период с

2) о нахождении прироста капитала (основных фондов)
момента времени t1	до	t2	по известным чистым инвестициям				I (t): а) в об-
щем виде; б) при t1	= 1,	t2 = 3,			I (t) = 2t −1 (млн. руб./год).
5.2. Пусть известна функция MC(q), описывающая зависимость пре-
дельных издержек	MC от объёма произведённой продукции						q . Выписать

формулы для вычисления: 1) прироста суммарных издержек и 2) среднего прироста (иначе, средней скорости изменения) суммарных издержек при про- изводстве продукции в пределах от q1 до q2 единиц.

135

5.3.С помощью предельного перехода от интегральных сумм вычис-

лить ò x3dx , разбивая отрезок [1;4]: 1) на равные части; 2) точками, образую-

щими геометрическую прогрессию.

В каждом из указанных разбиений в качестве ξi выбирать: а) левые

концы отрезков; б) правые концы отрезков; в) середины отрезков [xi−1,xi ].

5.4. Вычислить определённые интегралы, рассматривая их как преде- лы соответствующих интегральных сумм:

4	2	1
1) ò(1+ x)dx ;	2)* ò		dx .
		2
0	1	x

5.5. Численность населения N в любой момент времени t (г) задаётся функцией N = f (t). Потребление некоторого продукта пропорционально чис- ленности населения с коэффициентом пропорциональности k. Считая f (t) непрерывной функцией, записать формулу для подсчёта объёма потребления рассматриваемого продукта за первое полугодие второго года с момента на- чала отсчёта.

5.6.Функция f (x) описывает плотность движения грузов в любой

точке железной дороги, находящейся на расстоянии x (км) от выбранного на- чала железной дороги. Указанная плотность движения грузов измеряется ве- сом в тоннах всех грузов, проходящих за год через эту точку. Написать фор- мулу для подсчёта годового объёма перевозок по железной дороге от её нача- ла до L−го км, предполагая f (x) непрерывной на отрезке [0; L].

	2. Основные свойства определённого интеграла
	1. Если	f (x)		интегрируема на [a,b],				k -	произвольное число, то
k × f (x) интегрируема на [a,b] и
	b		b	(x)dx .
	òk × f (x)dx = k × ò f			(x)dx .
	a		a
	2. Если	f (x)	и g(x) интегрируемы на				[a,b], то		f (x)± g(x) интегрируе-
мы на [a,b] и
	bò( f (x)± g(x))×dx = bò f (x)×dx ± bò g(x)×dx .
	a			a	a
3.	aò f (x)×dx = 0.		4.	bò f (x)×dx = -aò f (x)×dx .			5.	bò f (x)dx = cò f (x)dx + bò f (x)dx
	a			a	b	bò f (x)× dx ³ 0.		a	a	c
	6. Если	f (x)³ 0		"xÎ[a,b],	то	bò f (x)× dx ³ 0.
						a

136

7.	Если	f (x) ³ g(x)	"x Î[a,b],	то	bò f (x)× dx ³ bò g(x)×dx .
					a	a
8.	Если	f (x) ³ g(x)	"x Î[a,b]и существует точка				x0 Î [a,b],		в которой
f (x0 )> g(x0 ),		причём обе функции		f	и	g непрерывны		в этой	точке, то
b	b
ò f (x)dx > ò g(x)dx .
a	a
Свойства 4-8 формулируются в предположении, что все используемые в
них интегралы существуют.
9.	Если	f (x) непрерывна на		[a,b],		m − наименьшее,		M − наибольшее
значение f (x) на [a,b], то
		m ×(b - a)£ bò f (x)×dx £ M ×(b - a).
			a
10. (Теорема о среднем.) Если				f (x)		непрерывна	на [a,b], то существует

точка cÎ[a,b] такая, что справедливо равенство: bò f (x)dx = f (c)(b - a),

при этом f (c) называют средним значением функции на отрезке [a,b].

5.7. Исходя из геометрического смысла и свойств определённого ин- теграла, доказать, что:

1) òsin 2xdx = 0 ;	2) ò(2x +1)dx = 4;	3) ò	9 - x2 dx = 9π .
2π	2	3

0	1	−3		2

5.8.Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:

	1
1)	ò e x 2 dx			или
	0
	1
3) ò		1+ x4	dx или
	−1
	e			e
5)	ò x ln xdx			или ò
	0			0

−1æ1 öx
7) òèç	3ø÷	dx или
−2

òexdx;

ò x2dx;

−1

x ln2 xdx ;

−1

ò3x dx .

−2

	2	2
2)	òex2 dx или	òexdx;
	1	1
	1	1
4)	ò x3 cos2 xdx	или ò x2 cos2 xdx ;
	0	0

π	π
6) ò2 sinn xdx или	ò2 sinn+1 xdx ;
0	0

137

5.9.Доказать неравенства

		1	2		dx					1					1									2	2			xdx		1
1)		1	< ò		dx		<			1	;		2)	1 < ò ex2 dx < e ;									3)	2	< ò			xdx	<	1	;
1)	6		< ò	10 + x			<			5	;		2)	1 < ò ex2 dx < e ;									3)	5	< ò		2		<	2	;
	6		0	10 + x						5					0									5	1	x +1				2
			18		x +1										1		x	7	dx				1 .
4)	9 < ò				x +1			dx < 9,5;					5)	0 < ò			x		dx			<
4)	9 < ò							dx < 9,5;					5)	0 < ò								<
			8		x + 2										0	3 1+ x8							8
			5.10.			Оценить интегралы:
			2π			dx								π	cos2 x								2
														2
														2												4
1)	J = ò											;	2) J = ò							dx ;			3) J = ò 9 + x				dx ;
1)	J = ò				10 +		2cos x					;	2) J = ò			x				dx ;			3) J = ò 9 + x				dx ;
			0		10 +		2cos x							π		x							0
														6
			2		2	+ 2								π
			2		2												ctgx
4)	J = ò				x				dx ;				5) J = ò2				ctgx				dx .
4)	J = ò				2	+ 3			dx ;				5) J = ò2								dx .
			0		x	+ 3								π			x
														4

5.2.Вычисление определённого интеграла

1.Формула Ньютона-Лейбница. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x)− её первообразная, то верна формула Ньютона-

Лейбница

ò f (x)dx = F(b)− F(a) = F(x)|ba

Пример. 5.2.

Вычислить

x 1− (ln x)2

d(ln x)

Решение.

arcsin(ln x)|

1 x 1− (ln x)2

1− (ln x)2

arcsin(ln e)− arcsin(ln1) = arcsin 12 − arcsin0 = π6 .

5.11. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

1) ò2 (3x2 − 2x +1)dx;								1				3			)dx ;		3			x
														2
										x +			x	2		3)		2			dx;
	1						2) ò(			x +			x			3)	ò	2			dx;
								0									0
	2		dx					4 1+									e				dx
	2		dx					4 1+				x					e				dx
4)	ò					;	5)	ò					dx ;			6)	ò						;
4)	ò		2x −	1		;	5)	ò		x	2		dx ;			6)	ò		x(1+ ln x)				;
	1		2x −	1				1		x							1		x(1+ ln x)
	1		x2					4	x2 + 3								e		cos(ln x)			dx ;
7)	ò				dx;		8)	ò					dx ;			9)	ò
7)	ò	1+ x		6	dx;		8)	ò		x −		2	dx ;			9)	ò				x
	0	1+ x						3		x −		2					1				x

138

1	dx		π	x
10) ò		;	11) òsin2	x	dx ;
				2
	3 + 2x - x2
0	3 + 2x - x2		−π

2 ex2

13) ò

;

+ 4x + 5

14) ò

3 dx .

5.12. Найти:

f (x)= íìx

0 £ x £1,

1) ò f (x)dx,

если

î2 - x, 1< x £ 2;

1 ex

12)ò1+ e2x dx ;0

2) ò 1 − x dx .

5.13. Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона- Лейбница приводит к неверным результатам, если:

d æ

1 ö

2π

а)

;

б)*

çarctg

;

в)*

ò0

cos2

x(2 + tg2 x)

−ò1

−ò1 dxè

x ø

2. Замена переменной в определённом интеграле. Если: 1) функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b]; 2) функция ϕ(t) дифференцируема, а её производная ϕ′(t) непрерывна на [α,β ], ϕ(α ) = a , ϕ(β ) = b , тогда справед-

лива формула

bò f (x)dx = βò f (ϕ(t))×ϕ¢(t)dt .

a α

Пример.5.3.

Применяя

подходящую

замену

переменной,

найти

xdx

−ò1

5 - 4x

Решение. Функция

f (x)

определена и непрерывна на отрезке

5 - 4x

[−1,1]. Положим

= t, t ³ 0,

отсюда 5 - 4x = t 2 ,

x =

5 - t 2

, dx = -

tdt

5 - 4x

5 + t2

При x = −1 имеем t = 3;

при

x = 1 имеем t = 1. Функция ϕ(t) =

удовле-

творяет

на отрезке с концами

3; 1 условиям замены переменной

(заметь-

те, мы получили

α = 3 > β = 1,

что не изменяет предусмотренный в формуле

порядок замены пределов интегрирования), вычислим:

xdx

1 (5 - t2 )×tdt

1 3

(5 - t 2 )× dt =

1 ö

= -

5t -

ç15 - 9 - 5

÷ =

5 - 4x

4 × 2

×t

8 è

3ø

−1

8 1

139

5.14. Применяя подходящую замену переменной, вычислить:

4 dx

1)ò0 1+ x ;

ln2

3) ò ex -1dx ;

6 dx

5)ò1 1+ 3x - 2 ;

0		dx
7) ò			;

		+ (x + 3)3
−2	x + 3

9) ò x2 + 2x dx ;

2) ò x × 31 - x dx ;

	2				dx
4)	ò						;
4)	ò	3 + 2cos x					;
	0	3 + 2cos x
	1		dx
6)	ò					;
6)	ò	e	x	+1		;
	0	e		+1

8) ò 4 - x2 dx;

1 dx

10)ò0 ex + e−x .

5.15. Объяснить, почему формальная замена x через ϕ(t) приводит к неверным результатам, если:

x =

а) ò dx ,

t = x 3

;

б) ò

;

в) ò

t = tgx .

+ x

1+ sin

−1

−11

				3			x = sint ?
5.16. Можно ли в интеграле ò x3					1- x2	dx положить	x = sint ?
				0
3. Интегрирование по частям. Если функции u(x)							и v(x) имеют не-
прерывные производные на отрезке [a,b], то
b	¢	b	b	¢
	¢	b		¢
òu(x)v (x)dx = u(x)v(x)\|a -òv(x)u (x)dx
a			a
или, в более короткой записи,
b		b
òudv	= uv \|ba -ò vdu .
a		a
				1
Пример 5.4. Вычислить ò xe−x dx.
				0
Решение.		Положим u = x,dv = e−x dx , тогда du = dx,v = -e−x . Функции

u = x,v = -e−x	непрерывны и имеют непрерывные	частные производные на от-
резке[0,1], применим формулу интегрирования по частям, получим
1	1	2
ò xe−x dx = -x × e−x \|10 + òe−x dx = - e−1 - e−x \|10 = -			+1.

0	0	e

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.07.2019113.15 Кб3Маркетинговые исследования Лекции.doc
#
09.11.20182.12 Mб3Маркетинговые коммуникации Гл16 КСО.doc
#
09.11.201810.26 Mб5Маркетинговые коммуникации Гл17 Соц. отчет.doc
#
11.07.2019253.44 Кб7Маркетинговые коммуникации Лекции.doc
#
09.11.2018220.16 Кб1Маркетинговые коммуникации Ответы на экзамен.doc
#
08.03.20151.91 Mб49Математика в экономике, сборник задач.pdf
#
08.03.20154.35 Mб38МатыскинаТеория статистики.pdf
#
08.03.2015207.36 Кб13Машинотех продук готовая.doc
#
08.03.2015858.47 Кб135Международное частное право.pdf
#
08.03.2015203.18 Кб9Менеджмент переделка (Восстановлен).docx
#
08.03.2015101.89 Кб12Метод указ по практике.doc