Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Байкальский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика в экономике, сборник задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2015

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

y = f (x).

(2.1)

Если для каждого y Y множество f −1 (y) состоит из одного элемен- та, то обратная функция является однозначной, обычной в смысле введён- ного нами выше определения функции одной переменной, с областью оп- ределения Y и множеством значений X . В дальнейшем под обратными будем понимать только однозначные функции. Графики исходной y = f (x) и обратной функции x = f −1 (y) совпадают. Если для обратной функции применить привычные обозначения зависимой переменной y и независи- мой x, то график функции y = f −1 (x) получается путем отображения графи- ка исходной функции y = f (x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Очевидно, что если для функции y = f (x) существует обратная f −1 (y), то обратная к последней существует и совпадает с исходной функ-

цией f (x), т.е. (f −1 (y))−1

а) a > 1

= f (x).

y = ax

y = loga x

y = x2

y = ax

0		x


1	y = loga	x

б) 0 < a < 1

y = x

0	x
0	1
в)
	Рис. 2.1

Рассмотрим примеры. Обратной к показательной функции y = a x ,

a > 0, a ¹ 1 (X = R, Y = (0,+ ∞)) является функция x = loga y (или в тради- ционных обозначениях зависимой и независимой переменных y = loga x ).


Обратной к функции y = x2 ,			x [0, + ∞) является функция		x =	y	(или в
традиционных обозначениях			зависимой	и независимой	переменных
y =		). Напомним, что графики функций		y = a x и y = loga x ;		y = x2 и
	x
y =		при x [0, + ∞) симметричны относительно биссектрисы первого и
	x
третьего координатных углов (см. рис.2.1).
	Если же мы будем рассматривать графики пары взаимно обратных

функций, например, показательной и логарифмической, не изменяя обо- значений переменных обратной функции, то графики обеих функций сов- падают, они представлены одной кривой y = a x (x = loga y), но для обрат-

ной функции x = loga y независимая переменная откладывается на верти-

кальной оси, а значение функции − на горизонтальной.

Это замечание важно для понимания некоторых графиков, исполь- зуемых в экономической теории. В экономической теории, например, часто используют функции, обратные функциям спроса Qd = f (P) и предложения

Qs = g(P)от цены товара: ими являются соответственно функция цены от спроса P = f −1 (Qd ) и функция цены от предложения товара P = g −1 (Qs ). График функции спроса Qd = f (P) и обратной ей P = f −1 (Qd ) называют кривой спроса. График функции предложения Qs = g(P) и обратной ей

P = g −1 (Qs ) называют кривой предложения.

Очевидно, что функция D(P) монотонно убывает (как и D−1 (Q)), а функция S (P) монотонно возрастает (как и S −1 (Q)). При изображении гра- фиков принято на вертикальной координатной оси откладывать цену P , а на горизонтальной − спрос Q . Изобразим схематично кривые спроса и предложения в одной координатной плоскости, см. рис. 2.2.

P			Q = S(P) (P = S −1 (Q))
			Q = S(P) (P = S −1 (Q))
P 1
			Q = D(P) (P = D−1 (Q))
0	1	Q*	Q
		Рис. 2.2
		32

Точка пересечения кривых спроса и предложения есть точка равно-

весия спроса и предложения на рынке данного товара (точка рыночного

равновесия). Её	координаты	(P* ,Q* )	удовлетворяют условиям:
P* = S −1 (Q* )= D−1 (Q* ),	Q* = S(P* )= D(P* ), где		P* − равновесная цена, Q* −

равновесный объём. Для нахождения точки равновесия достаточно, напри- мер, найти равновесную цену из равенства S(P* )= D(P* ), а далее вычислить равновесный объём: Q* = S(P* ) (или Q* = D(P* )).

Пример 2.2. При моделировании рынка некоторого товара на основе статистических данных построены линейные функции спроса Q = 23 − 2P и предложения Q = P + 2.

1)Найти функции, обратные функциям спроса и предложения, их области определения и множества значений.

2)Изобразить кривые спроса и предложения, вычислить точку ры- ночного равновесия.

Решение. Область определения функции спроса Q = 23 − 2P задаётся

следующими условиями:

ìp ³ 0,		ìp ³ 0,			23		é	1ù
í	Û	í	Û	0 £ p £		или	p Î ê0; 11	ú .
í	Û	í	Û	0 £ p £	2	или	p Î ê0; 11	ú .
îD ³ 0		î23 - 2 p ³ 0			2		ë	2û
Т.о., областью её определения является отрезок êé0; 11									1	úù	. Функция
							ë		2	û

является линейной и монотонно убывающей, поскольку коэффициент при независимой переменной P отрицательный. Очевидно, что множество её

				é æ	1 ö		ù
значений		−	отрезок	êQç11		÷; Q(0)ú = [0; 23]. Разрешая уравнение
значений		−	отрезок	êQç11		÷; Q(0)ú = [0; 23]. Разрешая уравнение
				ë è	2 ø		û
Q = 23 − 2P		относительно P , найдём функцию цены спроса P = 111 -							1 Q ,
								2	2
область её определения − отрезок [0; 23],								множество значений − отрезок
é	1ù
ê0; 11	ú .
ë	2û
	Обратной		к функции предложения					Q = P + 2, очевидно, является
функция цены предложения P = Q − 2							с областью определения [2,+ ∞)		(т.е.
Q [2,+ ∞)) и множеством значения [0,+ ∞)								(т.е. P [0,+ ∞)).

Изобразим кривые спроса и предложения на одной координатной плоскости (см. рис. 2.3).

Q = P + 2 (P = Q - 2)

Q = 23 - 2P ç P =11

Q÷

0 1

Рис.2.3

Из условия

P + 2 = 23 − 2P найдём равновесную цену

P* = 7 ,

тогда

равновесный объём Q* = P* + 2 = 9 .

Итак, функция цены от спроса

P = 11

Q ,

Q [0; 23], P Î ê0; 11

ú ;

функция цены от предложения товара P = Q − 2 , Q [2, + ∞),

P [0,+ ∞);

точка равновесия

(Q* , P* )= (9, 7).

2.17. Найти обратные функции и области их определения, если ис-

ходные функции определены следующим образом:

1) y = ax + b,

a, b −

параметры,

y = (x −1)3 ;

a ¹ 0 ;

2 ≤ x ≤ π 2;

3) y = sin x,

4) y = x2

+ 6,

- ¥ < x £ 0; б)

0 £ x < +¥ ;

5) y = ex ,

6) y = ln 2x ;

7) y = 22 ;

8) y = 1− x .

1+ x

2.18.Кривые рыночного спроса заданы уравнениями:

1)Q = 5 − 201 P ; 2) Q = 100P −1, где P − цена, Q − объём спроса на данный

товар. Определить функцию цены от спроса на товар, построить её график

играфик функции спроса от цены товара.

2.19.Кривая рыночного предложения задана уравнением:

1) P = 3Q +15; 2) P = 50 + 2 , где P − цена, Q − объём предложения

Q −100

товара. Определить функцию предложения от цены товара, построить её график и график функции цены от предложения товара.

2.2.Предел функции. Непрерывность функции

1.Предел функции, основные определения. Пусть функция f (x),

xX , определена в некоторой окрестности точки a кроме, быть мо- жет, самой точки a .

Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к a

(или в точке a ), и обозначают A = lim f (x) или f (x) ® A при x ® a :

x→a

1) (определение на языке последовательностей) если для любой по-

следовательности значений аргумента {xn }Ì X , xn ¹ a , сходящейся к точке a , соответствующая последовательность {f (xn )} значений функции сходит- ся к A ;

2) (определение на языке «ε−δ»), если для любого, сколь угодно ма-

лого, числа ε > 0			найдётся такое число δ = δ (ε ) > 0 , что для всех x ¹ a и
удовлетворяющих			условию	x − a	< δ ,	выполняется	неравенство

	f (x)− A	< ε .

Оба приведённые определения предела функции в точке эквивалент-

ны.

называют пределом функции

при x , стремящемся к

Число

f (x)

бесконечности,

и обозначают

A = lim f (x),

если для любой бесконечно

x→∞

большой последовательности {xn} X ,

соответствующая последователь-

ность

значений функции {f (xn )} сходится к A или, если для любого числа

ε > 0 найдётся такое число С = С (ε ) > 0 ,

что для всех x , удовлетворяющих

условию

> C , выполнится неравенство

f (x)− A

< ε .

Если

x < a и

x → a , то пишут

x → a − 0 , аналогично, если

x > a

x → a ,

то

пишут

x → a + 0 .

Если

существуют

f (a − 0) = lim

f (x)

x→a−0

f (a + 0) = lim f (x + 0), то числа

f (a − 0)

и f (a + 0)

называют соответствен-

x→a−0

но левым пределом (или пределом слева) и правым пределом (или пределом справа) функции f (x) в точке a. Оба таких предела называют односто- ронними. Аналогично определяются односторонние пределы функции при

x → −∞ и x → +∞ , т.е. lim f (x) и	lim f (x).
x→−∞	x→+ ∞

Функция f (x) имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы справа и слева, совпадающие между со- бой: f (a − 0) = f (a + 0). В этом случае предел функции равен односторон- ним пределам.

Пример 2.1. Используя определение, доказать, что lim (3x + 5) = 11.

x→2

Решение. Возьмём произвольное ε > 0. Для доказательства требуется найти такое δ > 0, при котором из неравенства x - 2 < δ следовало бы, что f (x)-11 = (3x + 5)-11 < ε . Преобразуем последнее неравенство, получим

3x - 6

< ε или

x - 2

. Тогда при любом δ £

из неравенства

x - 2

< δ

вытекает

(3x + 5)-11

< ε . Это означает по определению, что lim (3x + 5) = 11.

2.20. Используя определение, доказать, что:

x→2

lim

(2x +1)= 7 ;

lim

cos x = 1;

x → 3

lim (3x − 5) = 10;

x→0

x→5

x − 1

lim

x sin 1 = 0;

5) lim

= 0;

lim

= 2 .

x→0

x→1

x − 1

2. Предел функции, основные

свойства. Непрерывные функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Неопределенности.

Пусть C − постоянная и существуют lim f (x) и lim g(x), тогда сущест-
			x→ a	x→a
вуют
1) lim С = С ;			2)	lim С × f (x) = С × lim f (x);
x→a			x→ a		x→a
3) lim ( f (x)± g(x)) = lim f (x)±			4) lim ( f (x)× g(x)) = lim f (x)×
x→ a	x→a		x→a		x→a
lim g(x);			lim g(x);
x→a			x→a
5) lim ( f (x)	g(x)) = lim f (x)	lim g(x) (при lim g(x) ¹ 0 ).
x→a	x→a	x→a	x→a

Аналогичные свойства верны и для односторонних пределов и для пределов при x → ∞, x → +∞ , x → −∞ .

Если функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки a ,

и существует lim f (x) = f (a), то функцию y = f (x) называют непрерывной
	x→ a
в точке a .
Если	выполнено равенство lim	f (x) = f (a) çæ lim	f (x) = f (a)÷ö	, то
	x→a−0	è x→a+0	ø

говорят, что функция y = f (x) непрерывна в точке a слева (справа).

Сумма, произведение конечного числа функций, непрерывных в точке a , есть функция, непрерывная в этой точке. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке a , есть функция, непрерывная в этой точке при условии, что делитель отличен от нуля. Если функция ϕ (x) непрерыв-

на в точке a , а функция f (z) непрерывна в точке b = ϕ (a), то сложная функция f (ϕ (x)) непрерывна в точке a .

Функцию y = f (x) называют непрерывной на интервале(a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; функцию y = f (x) назы-

вают непрерывной на отрезке[a, b], если она непрерывна на интерва- ле(a, b) и непрерывна в точке a справа, а в точке b слева.

Любая из элементарных функций непрерывна в области своего опре- деления.

В простейшем случае, когда функция, стоящая под знаком предела

lim f (x), непрерывна в точке x = a , вычисление предела сводится к под-

x→a

счёту значения f (a). В других случаях нахождение предела требует специ- альных исследований.

Функцию α(x) называют бесконечно малой в точке a , если существу-

ет lim α(x) = 0.

x→ a

Функцию f (x) называют бесконечно большой в точке a , если для любой {xn}Ì X , xn ¹ a , xn→ a последовательность {f (xn )} является беско- нечно большой или, если для любого числа M > 0 найдётся такое число δ = δ (M ) > 0 , что для всех x ¹ a и удовлетворяющих условию x − a < δ ,

выполняется неравенство f (x) > M . В этом случае пишут: lim f (x) = ¥ .

x→a

По аналогии определяют бесконечно малые и бесконечно большие функции при x → ∞ , x ® a - 0 , x ® a + 0 . Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций аналогичны свойствам соответствующих по- следовательностей. Например, если в точке a функция α (x) является бес-

конечно малой и α (a) ¹ 0 , то функция α (x) является бесконечно большой в точке a . Если в точке a функция f (x) является бесконечно большой, то


функция	1	является бесконечно малой в этой точке.
	f (x)
Выражения вида 00 , ∞∞ ,			0 × ¥, ¥ - ¥ , 1∞ , 0∞ ,∞0 используют для обо-
значения	неопределенностей,		возникающих при вычислениях пределов.

Условная запись 00 означает, например, что функция под знаком предела

равна отношению двух бесконечно малых, а ∞∞ − отношению двух беско-

нечно больших величин и т. д. При наличии неопределённости функцию под знаком предела следует преобразовать.

Пример 2.2. Вычислить:

lim

− 4x +1

;

3) lim

− 9

;

−1

2x +1

2x2 − 4x − 6

lim

;

x→2

x→3

x2 +

2x + 3

x→− ∞

lim

;

lim

ax ( a > 1 - параметр);

x→+ ∞

x→0 1+ 3x −1

(x→−∞)

Решение. 1) Имеем неопределённость ¥¥ . Разделим числитель и зна-

менатель дроби на старшую степень x , имеющуюся в примере, т.е. на x3 :

lim	x3 -1	=	lim	1-1 x3		= lim	1-1 x3		= -¥ .
	x2 + 2x + 3				2 + 3 x3		+ 2 x +	3 x2 )
x→− ∞			x→−∞ 1 x + 2 x			x→−∞ 1 x (1

При x → −∞ числитель дроби стремится к 1, а знаменатель дроби яв- ляется бесконечно малым, причём 1x < 0 . Следовательно, дробь является

бесконечно большой знака минус.

2) Подставляя предельное значение x = 2 в функцию, получим

lim

x2 - 4x +1

- 4 × 2 +1

= -

2x +1

2 × 2 +1

x→2

3) Имеем неопределённость

0 . Выделим в числителе и знаменателе

дроби множитель (x − 3), бесконечно малый при x → 3:

lim

x2 - 9

= lim

(x - 3)×(x + 3)

×lim

(x + 3)

2x2 - 4x - 6

2 ×(x - 3)× (x +1)

(x +1)

x→ 3

x→3

x→ 3

Имеем неопределённость

. Умножим числитель и знаменатель

(

+1)

дроби

на сумму

(выражение

называют сопряжённым

1+ 3x

к(

-1)):

1+ 3x

x × (

+1)

x × (

+1)

= lim

lim

= lim

1+ 3x

x→0

1+ 3x -1

x→0

( 1+ 3x -1)× (

1+ 3x +1)

x→0

1+ 3x -1

lim

(

+1)= 2 .

1+ 3x

x→0

5) ) lim a x

(a > 1− параметр);

x→+∞

y = ax (0 < a < 1)

y = ax (a >1)

Рис. 2.1

2.21. Вычислить пределы:

3x +1

lim

x4 - 5x

;

lim

;

5x + 3 x

x→∞

x2 - 3x +1

x→∞

lim

(

−

)

(a − пара-

lim

;

x − a

x→+∞

x→+∞ 3x + 3x + 3x

метр);

3x2 +1

lim

;

lim

x +

x + x -

x ÷

;

x - 6

x→−∞

x→+∞ è

2 ö2x+1

lim

ç1 +

;

x→+ ∞

x ø

9) lim		2x	+ 3	;
9) lim		2x	- 3	;
x→+∞		2x	- 3
(x→−∞)
2.22. Вычислить пределы:
1) lim		x2	- 2			;	2) lim
1) lim	3x2 - 5x +					;	2) lim
x→0	3x2 - 5x +				1		π
2.23. Вычислить						lim f (x),	x→ 4
2.23. Вычислить						lim f (x),	lim
					x→a−0		x→a+0

10) lim arctgx .

x→+∞ (x→−∞)

1- cos2x	;	3) lim	x	.
1+ sin 2x			x + 3
		x→−3

f (x), если:

f (x) = íì- 2x + 3,

x £1

a = 1;

î3x - 5,

x > 1

f (x) =

-4

a = 2;

3) f (x) = 2

, a = 0.

x - 2

2.24. Установить вид неопределённости,

вычислить пределы:

lim

x2 - 2x +1

;

lim

8x3 -1

;

- x

x→1

x→

6x2 - 5x +1

(x + h)3 - x3

;

lim

;

lim

1+ x

1- x

h→0

x→0

x2 -

lim

x2 + 4

- 2

;

lim

;

x -1

x→0

+ 9 - 3

x→1

7) lim

1+ mx

-1

;

lim

1 + cos x

;

sin x

x→0

x→π +0

2 ö

1- tgx

1+ tgx

9) lim

;

10) lim

÷ .

sin 2x

x→π

x→1

è x -1

-1ø

2.25. Доказать следующие соотношения:

-1

1) lim

(n,m N );

2) lim

(x +1)

(n,m N );

x→1

xn -

x→0 n

(

)

+1 -1

3) lim

(1+ x)a -1

= a

(a Q+ ).

x→0

3. Замечательные пределы.

Известны следующие пределы:

lim sin x

= 1

(первый замечательный предел);

x→0

1 öx

1 α

lim

ç1+

= lim

(1+ α )

= e

(второй замечательный предел).

x→∞è

x ø

α →0

Пример

2.3. Вычислить:1)

sin 4x

æ x -1

öx

lim

;

lim ç

÷ ;

x→0

x→∞è x + 2

3) lim

ln(1+ 3x)

x→ + 0

Решение. 1) Имеем неопределённость

. Умножим числитель и зна-

менатель дроби на 4 и воспользуемся первым замечательным пределом:

lim

sin 4x

= lim

4 ×sin 4x

= 4 × lim

sin 4x

= 4 ×1 = 4 .

x→0

2) Убедившись, что имеет место неопределённость 1∞ , преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, выделим в основании слагаемое, равное 1:

æ x -1 öx = ∞ = lim ç ÷ 1 x→∞è x + 2 ø

æ	(x + 2)- 3	öx
limç		÷
limç	x + 2	÷
x→∞è	x + 2	ø

	æ		- 3	öx
=	limç1	+		÷ .
=	limç1	+	x + 2	÷ .
	x→∞è		x + 2	ø

Введём новую переменную t = -	3	Þ x = -	3	- 2 и	t → 0 при
	x + 2		t

x → ∞ . Продолжим вычисление предела в новой переменной:

- 3 öx

-2

×(-3)

−3

-2

lim ç1

= lim(1+ t)

× lim(1+ t)

= çlim(1+ t)

×1 =

x→∞è

x + 2 ø

t→0

çt→0

e−3 .

3) Имеем:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.07.2019113.15 Кб3Маркетинговые исследования Лекции.doc
#
09.11.20182.12 Mб3Маркетинговые коммуникации Гл16 КСО.doc
#
09.11.201810.26 Mб5Маркетинговые коммуникации Гл17 Соц. отчет.doc
#
11.07.2019253.44 Кб7Маркетинговые коммуникации Лекции.doc
#
09.11.2018220.16 Кб1Маркетинговые коммуникации Ответы на экзамен.doc
#
08.03.20151.91 Mб49Математика в экономике, сборник задач.pdf
#
08.03.20154.35 Mб38МатыскинаТеория статистики.pdf
#
08.03.2015207.36 Кб13Машинотех продук готовая.doc
#
08.03.2015858.47 Кб135Международное частное право.pdf
#
08.03.2015203.18 Кб9Менеджмент переделка (Восстановлен).docx
#
08.03.2015101.89 Кб12Метод указ по практике.doc