книги из ГПНТБ / Гольденблат И.И. Теория ползучести строительных материалов и ее приложения

Ранее было показано, что для равновесного процесса

дЕ _

(3.72)

дТ

[см. формулу (3.35)].

Далее, учитывая (3.69), мы можем (3.72) представить в следующем виде:

79

Обозначив приращение температуры (Т—То) через 0 для малых приращений температуры, можно представить (3.77) в следующем приближенном виде:

Если cfQ представляет собой тепло, поглощенное в единице объ­ ема, то, обозначив коэффициент теплопроводности через k, мож­ но написать

Итак, при адиабатическом расширении, т. е. когда Л>0, имеем 0 =Т—Т0<0, т. е. температура падает.

80

I, k= 1, 2, 3.

Итак, мы переходим к результату, что при адиабатической деформации, постянную Ляме X надо заменить на

+|7л

7.О ТЕРМОДИНАМИКЕ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ

Первое и второе начала классической термодинамики обра­ тимых процессов применительно к деформирующей среде мо­ гут быть записаны в виде следующих соотношений:

dQ — dЕ

(3.88)

dQ = TdS.

Если процесс необратим, то классическая термодинамика дает дополнительно

(3.90) были справедливы, необходимо соблюдение следующих условий: отсутствие теплопроводности между отдельными эле­ ментами объема, отсутствие вязкости и т. д.

В действительности интегральные соотношения (3.90) будут верны приближенно только в некоторых специальных случаях, например в случае достаточно быстрых процессов деформации,

когда эти процессы носят адиабатический характер (процессы деформации не должы быть при этом чрезмерно быстры, так как в противном случае могут стать существенными вязкие со­ противления) .

Термодинамика необратимых процессов исходит из следую­ щих основных допущений:

1) предполагается, что соотношения (3.98), т. е.

dQ = dE — У a^dt^. p-.v

dQ = TdS,

остаются справедливыми в дифференциальном смысле, т. е., грубо говоря, по отношению к небольшим объемам деформи­ руемого тела;

2) предполагается далее, что энтропия S зависит только от тех термодинамических параметров, функцией которых она яв­ ляется в равновесии; итак, явным образом энтропия от коорди­ нат и времени не зависит;

3) предполагается, наконец, что полное изменение энергии и энтропии при деформации данного тела аддитивно склады­ вается из изменений этих параметров в отдельных элементах объема.

Итак, основные уравнения термодинамики необратимых про­ цессов деформации могут быть записаны в виде

= — f Edv -

- - — f Sdv = |‘— ■ — dv. j

Здесь dQno„ —изменение количества тепла, полученного телом извне;

dSn0J, — полное изменение энтропии;

dO ,

dv—количество тепла, полученное элементом с

учетом явлений теплопроводности..

Может показаться, что три сформулированных выше поло­ жения термодинамики необратимых процессов находятся в рез­ ком противоречии с принципами классической термодинамики обратимых процессов, в частности с фундаментальным класси­ ческим соотношением (3.89), утверждающим рост энтропии при всяком необратимом процессе. Нетрудно, однако, убедиться, что никакого противоречия здесь нет, так как соотношения (3.88) предполагаются справедливыми только локально; при переходе к рассмотрению тела в целом допущение локального равновесия дает возможность вычислить изменение энтропии, вызванное неравновесными процессами.

82

Из этого последнего предположения вытекает, что для тела в целом будет справедливо следующее соотношение классиче­ ской термодинамики:

^пол>у^. (3.92)

Здесь dsn0„ —полное изменение энтропии всего тела; &Q—количество тепла, которое входит в наше тело че­

рез единицу площади его поверхности. Интеграл, стоящий в правой части соотношения (3.92), бе­

рется по всей поверхности тела.

Для того чтобы последнее утверждение стало вполне яс­ ным, рассмотрим следующий простой пример. Представим се­ бе систему, состоящую из двух находящихся в тепловом кон­ такте резервуаров. Предположим, что оба резервуара не изоли­ рованы, т. е. представим, что они обмениваются теплом с окру­ жающей средой. Введем следующие обозначения:

deQl — внешняя теплота, сообщаемая первому ре­ зервуару;

deQu-— внешняя теплота, сообщаемая второму ре­ зервуару;

—теплота, сообщаемая первому резервуару за счет переноса тепла из второго резервуара; dfi11 —— djQ1—теплота, сообщаемая второму резервуару за

счет переноса из первого резервуара; Т + Д7’ —температура первого резервуара;

Т—температура второго резервуара; Принимая далее, что оба резервуара имеют непроницаемые

стенки, т. е. что перенос вещества отсутствует, можно написать

Следовательно, внутреннее изменение энтропии за единицу вре­ мени будет равно

Если мы имеем сплошное тело, то изменение энтропии за еди­ ницу времени можно представить в виде

= j‘ j J X Wj.W dv. (3.96)

РV

Вприведенной формуле вектор q означает плотность потока

тепла через поверхность тела и п — вектор единичной нормали. Очевидно первый интеграл в формуле (3.96) представляет изменение энтропии за счет тепла, притекающего извне, а вто­ рой интеграл представляет собой возникновение энтропии за счет необратимого характера процесса теплопроводности внутри рассматриваемого тела. Если мы имеем стационарное состоя­

ние, энтропия должна сохранять постоянное значение, т. е.

— z=0

dt

Первый интеграл в приведенной формуле должен быть отри­ цательным, так как при общем балансе тепла, передаваемого телу в стационарном состоянии, равном нулю, одно и то же ко­ личество тепла поступает в тело при более высоких температу­ рах и уходит при более низких. Ясно, что при этом условии большее количество энтропии уходит из тела, чем приходит. Возникающий таким образом недостаток энтропии должен ком­ пенсироваться возникновением энтропии внутри тела. Мы опять приходим к выводу, что второй интеграл в формуле (3.96) дол­ жен давать величину возникновения энтропии в системе в- еди­ ницу времени.

Важнейшее значение в развитии термодинамики необрати­ мых процессов имела работа Онзагера, изложенная в книге Денбич [6], в которой впервые был обоснован принцип симмет­ рии кинетических коэффициентов. Изложим кратко существо теории Онзагера.

Необратимые процессы могут быть вызваны различными причинами, например градиентом температуры, градиентом кон­ центрации, градиентом потенциала и т. д. В теории Онзагера все эти факторы называются термодинамическими силами, они обозначаются символами

Xz(i=l, 2,...л).

Вызванные термодинамическими силами необратимые явле­ ния— поток тепла, диффузионный поток, электрический ток

81

и т. п. — называются потоками. Потоки обычно обозначаются символами

/Дг=1, 2,... ,п).

Понятно, что одни и те же потоки могут быть вызваны са­ мыми разнообразными термодинамическими силами. Так, на­ пример, таки^ различные термодинамические силы, как градиент концентрации и градиент температуры, могут вызвать как по­ ток вещества (обычная диффузия и термодиффузия), так и по­ ток тепла (эффект Дюфора и теплопроводность). В общем слу­ чае эти потоки накладываются друг на друга и взаимодействуют друг с другом. Следовательно, вообще говоря, между потоками и термодинамическими силами должны существовать соотно­ шения вида

В первом приближении, если градиенты концентрации, тем­ пературы и т. д. не очень велики, можно принять, что соотно­ шения (3.98) допускают следующие представления:

(4=1,...,«). (3.99)

Л=1

Феноменологические коэффициенты £*, устанавливаются путем

прямых, нередко длительных и весьма трудоемких эксперимен­ тов.

В связи с этим работа Онзагера, в которой установлено, что при надлежащем выборе потоков и сил матрица феноменоло­ гических коэффициентов должна быть симметричной:

= (4, А=1........ п), (3.100)

приобретает большое принципиальное и практическое значение. Объясним теперь, что значит надлежащий выбор потоков и сил. Для этой цели рассмотрим систему, характеризуемую па­

В состоянии равновесия энтропия приобретает максимальное значение, а параметры *а становятся равными нулю. Следова­ тельно, в состоянии, отличном от равновесия, изменение энтро­ пии AS можно в первом приближении записать в виде

(З.Ю2)

85

Согласно Онзагеру, под потоками и силами следует пони­

Эта величина называется «возникновение энтропии». Необхо­ димо иметь в виду, что формула (3.104) не определяет одно­

значно выбор величин потоков и сил, так как AS может быть различным образом расчленено на сумму сомножителей JtXt.

Однако во всех этих случаях соотношения Онзагера

ствить с деформацией ползучести. Итак:

ство тепла, то в силу первого начала термодинамики, справед­ ливо как для обратимых, так и необратимых процессов, можно написать

86

Далее, в соответствии со вторым законом термодинамики можно

ной среды.

Учитывая (3.110), мы можем соотношение (3.109) предста­ вить в виде

Введем следующие обозначения для работы напряжений на не­ обратимых деформациях *:ог,

(3.113)

Величина ?'И7П носит название работы диссипации. В соот­ ветствии с соображениями, развитыми в предыдущем параграфе, можно написать

т. е. работа диссипации всегда положительна. Из соотношения (3.113) следует

Здесь dsy нужно рассматривать как прирост энтропии извне, а dS” как прирост энтропии внутри тела вследствие необратимых процессов, макроскопическое описание которых дается пара­

метрами 3e"ft.

т. e. каждая необратимая (неупругая) деформация увеличивает энтропию, что, разумеется, и следовало ожидать

Далее, из соотношения (3.117) следует

</5" _1м

(ЗЛ18)

87

Причем в силу установленного Онзагером принципа симмет­ рии кинетических коэффициентов должно быть

Мы подчеркиваем, что весьма важные соотношения (3.120) не могут быть обоснованы чисто механически. Только термоди­ намика необратимых процессов дает необходимое обоснование этих соотношений. Ясно, что наличие соотношений (3.120) резко сокращает объем экспериментальных работ, необходимых для установления феноменологических коэффициентов.

В процессе деформации наряду с необратимыми значениями

здесь Лотт —тензор коэффициентов упругости.

В частном сдучае изотропных сред этот тензор имеет вид

88