книги из ГПНТБ / Гольденблат И.И. Теория ползучести строительных материалов и ее приложения
.pdf7. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Записав уравнение (2.25) в главных осях тензора напряже
ний, получим |
_ _°!.+ ^ + °з |
= |
|
+ |
. |
(2.40) |
||
*а |
|
|||||||
|
|
|
|
Л=1, 2, |
3. |
|
|
|
При помощи уравнения (2.40) находим |
|
|
||||||
Следовательно: |
*О -^=41 О -—в/ |
г |
|
(2-41) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
°~* |
3р |
= |
~ tp |
(k, р, |
г, s=l, 2, |
3) |
(2.42) |
|
аг — а5 |
|
tr — е5 |
|
|
|
|
||
И |
оь — оп |
2 |
о/ |
|
|
|
|
|
|
|
Р = 1, 2, 3). |
|
(2.43) |
||||
|
6л |
£р |
= V— (Л, |
|
||||
|
3 |
ei |
|
|
|
|
||
Далее, как известно (см., |
например, [1]): |
|
|
|||||
|
|
|
44=-тах. |
|
(2.44) |
|||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-=2? = Тп.ап |
|
(2.45) |
||
где 'max И Ттах —соответственно наибольшее |
касательное на |
|||||||
пряжение и наибольший сдвиг. Следовательно, учитывая (2.43)
и (2.44), имеем
—шах- = 2..2L. |
(2.46) |
|
Ttnax |
3 |
|
Следовательно, уравнение (2.25) мы можем записать в сле |
||
дующем виде: |
|
|
а,-о = -^-(гА-е). |
(2.47) |
|
|
7max |
|
Итак, для того чтобы связи между напряжениями и дефор мациями сделать вполне определенными, необходимо устано вить зависимости, выраженные функциями
° =°(еР ег. |
ез) 1 |
(2.48) |
ттах = Че1, е2, |
ез)- 1 |
|
Если интенсивность напряжений |
является только |
функ |
цией интенсивности деформаций eit т. е. если |
|
|
= |
|
(2-49> |
59
то, как это следует из (2.46), |
мы будем иметь |
|
Tmax ~~ |
Т (^,) 7тах |
(2,50) |
ИЛИ |
|
|
тшах = ? (/(е, - е2)‘ + (в, - е3)2 + (е, - е3)2 |
(2.51) |
|
Из полученного соотношения вытекает следующая любопыт |
||
ная теорема: если, существует функция |
|
|
а,- = <в (ej et = Ф (е;), |
|
|
не зависящая |
от вида деформации, то не может существовать, |
|
не зависящая |
от вида деформации функция |
тгаах = Ф(fmax), |
инаоборот.
8.ОБЩИЕ ФОРМЫ СВЯЗИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Формы связи между напряжениями и деформациями в слу чае неравновесных процессов деформации изотропных сред мо гут быть весьма разнообразны. В одном из самых простых слу чаев эта связь может быть представлена в виде
£ = ?(’) |
(2-52) |
at
или для случая пространственной деформации
(2.53)
Посредством методов тензорного анализа может быть дока зано [3], что наиболее общий вид аналитических функций входящих в уравнение (2.53), таков.:
<F |
« = 1Г0(/71, Пг, /73)8,а + 4’*ja, |
-|- Ч’2 |
(2.54) |
|
|
|
|
а |
|
Здесь П], |
Пг, |
П3 — инварианты тензора |
напряжений; |
|
Ч‘о, |
V], |
Ф2—аналитические функции этих |
инвариантов. |
|
Из изложенного следует, что наиболее общий случай про странственной деформации рассматриваемого вида может быть описан следующими уравнениями:
at = Фо (77„ Пг, Пя) |
(/7„ П2, /73) °ik + |
+ ^2(/7п П2, |
(2.55) |
60
В том частном случае, когда связи, выраженные формулой (2.55), принимают вид
at
пользуясь методом, аналогичным методу, рассмотренному в п. 3, можно написать
^7- = |
-г V 1/(Зам-ПМ (2.56) |
dt 3 |
3 V з/72 _ /72 |
Здесь Si и S? — инварианты тензора скоростей деформации1.
Таким образом, в этом случае связь между напряжениями и деформациями полностью определяется двумя заданными ин вариантными уравнениями:
— 0! (Z7J и 3s2 — s?=. Ф2(3/72 — П\). |
(2.57) |
Первое уравнение можно было бы назвать уравнением объ |
|
емной вязкости, а второе — уравнением вязкости сдвига. |
Под |
робный анализ более общего уравнения (2.55) требует знания тензорного исчисления, поэтому мы в настоящей работе не бу
дем его |
касаться. |
|
|
|
|
|
Связь между деформациями и напряжениями может быть |
||||||
представлена также в виде |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
<2-58> |
а для случая пространственной деформации |
|
|
||||
|
__ |
(tfon |
da33 |
|
■». |
|
|
~T~ — |
( |
all> °I2> • • • > °зз> ~~77 i ••• i ~Z~ I • |
(ДоУ) |
||
|
dt |
\ |
dt |
dt |
J |
|
Если |
функции tf>M |
аналитические, то |
можно |
показать, что |
||
в наиболее общем случае уравнение (2.59) |
может быть записано |
|||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a,-aaa4 |
+ Т, |
Н |
|
|
а/ |
|
а |
|
|
|
|
+ |
a |
+^S— • |
— |
(2.60) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
Ф,. 'Го. |
|
и Ч\—инвариантные функции, |
т. е. |
||
функции, зависящие от инвариантов тензоров напряжений и ин вариантов тензоров скоростей напряжений.
1 См. формулу (2.24).
61
В дальнейшем мы ограничимся простейшим случаем, когда соотношение (2.60) может быть представлено в виде
|
|
= Фо8,* + Т10,Л - W2az*. |
(2.61) |
|
|
Умножив |
уравнение (2.60) последовательно на 8,*, |
и а,* |
|
и произведя суммирование по i и k, получим |
|
|||
|
|
S1 = 3^o+/7/i;+ 4V-^-; |
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
к, = 4-0/7, + ^/72 + |
at |
(2.62; |
|
|
2 |
|
|
|
|
4-,^+ад, |
|
|
где |
L и |
ТУ2— совместные инварианты, |
введенные в п. |
5 на |
|
|
стоящей главы. |
|
и |
|
Решив линейные уравнения (2.62) относительно ’Fo, Ч\ |
|||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.63) |
|
^=^(/7,, П2,^. ~,~sb |
К2, 12). |
|
|
Итак, связи между напряжениями и деформациями для сред рассматриваемого вида становятся вполне определенными, если заданы три инвариантных уравнения:
(2.64)
S).
Всамом деле, если известны эти уравнения, функции Ч^, Ф,
и<F2 могут быть вычислены по (2.63), а следовательно, правые
части уравнений (2.61) становятся зависимыми только от тен зора напряжений и его производных по времени.
Еще более общий случай сред характеризуется уравнением
(2.65)
Если здесь функция <р аналитическая, то можно показать.
62
что в условиях пространственной деформации уравнению (2.65) соответствует следующая система уравнений:
= Wfa + Ф.е,* + Ф2 £ е.-.е.» + Ф3а№ + V £
|
а |
а |
, ш |
I да у / rfo«t |
'V, , |
Н5 dt + Ф6^а—+ ^—) +
+ T7 2^- |
+ Т8 2 (0ЛаВа,- + Я/в*)В« |
+ |
a. at at |
а |
|
+ Фэ 2« |
\(—dt ^ + —dt е«/.)) |
(2.66) |
Функции Фп, Фр ..., Ф6 зависят от инвариантов тензоров напря жений и деформаций и их совместных инвариантов.
Если напряженное состояние зависит не только от состояния деформации в данный момент, но и от различных производных
(по времени) компонентов тензора |
деформаций и тензора на |
||||
пряжений, т. |
е. если существуют соотношения вида |
||||
1 |
— 4- — ----- =Дв-ЬВ— + С— -|------ , (2.67) |
||||
dt |
' dt? |
dt |
dt? |
' |
|
то удобной формой записи связи между напряжениями и дефор мациями являются интегральные соотношения вида:
t |
|
|
|
° = |
+ |
+С^+ ■■•’ps (2.68) |
|
J |
ds |
ds2 |
J |
и им аналогичные.
Интегральные соотношения (2.68) не всегда могут быть представлены в дифференциальном виде (2.67). Мы говорим в этом случае о наследственных средах. Напряженное состояние этих сред в каждый данный момент зависит от всей истории процесса деформации.
В случае пространственной деформации наиболее простыми соотношениями подобного типа являются соотношения Больц
мана:
t
°ii = 4(08i 1 + 2^ц (О - J ['Pi(^-s)A(s)8ii +
—СО
+ 2ср2(г-$)еп($)] ds; |
(2.69) |
t
°12 = Ре12 (О У ^2 (^ $) £12 (®)
—со
И Т. Д.
63
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Формы связей между тензорами напряжений, деформаций, скоростей деформаций и т. д. должны удовлетворять некоторым условиям, вытекающим из тензорных свойств полей напряжений и деформаций. Так, например, показано, что в случае малых деформаций изотропных сред связи между напряжениями и деформациями должны иметь вид
•> |
2а, |
„ , |
|
*я; — аО/4 = —------ (е<4 — еа^) |
|||
|
3 |
е1 |
|
i, |
k = 1, |
2, |
3. |
Это соотношение не может поэтому рассматриваться как само стоятельный физический закон. Оно является в сущности необ ходимым следствием предположений об изотропности среды и малости деформаций.
Напротив, связи, выраженные формулами
з = Ке и О/ —'Ие/)>
являются самостоятельными физическими законами, характери зующими данную среду.
В главе рассмотрены общие формы связей между напряжен ным и деформированным состоянием сред различных видов.
ЛИТЕРАТУРА
1.Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, Гостехтеоретиз-
дат, 1953.
2.Гольденблат И. И., Введение в теорию ползучести строительных материалов, Стройиздат, 1953.
3.Гольденблат И. И., Некоторые вопросы механики деформируемых сред, Гостехтеоретиздат, 1955.
€4
Глава III
ТЕРМОДИНАМИКА И КИНЕТИКА ДЕФОРМАЦИЙ
В настоящей главе изложены общие физические принципы, которым подчиняется всякий реальный (обратимый и необрати мый) процесс деформации.
Эти принципы дают возможность применительно к упругому, упруго-вязкому и некоторым другим случаям процесса дефор мации получить общие уравнения, описывающие рассматривае мый процесс.
Значение указанных принципов заключается также в том, что они позволяют создать руководящие указания по составле нию программы экспериментальных работ, необходимых для изучения процесса деформации тех или иных конкретных сред.
При этом весьма существенное значение имеют вытекающие из принципов термодинамики связи между феноменологиче скими коэффициентами в уравнениях деформации ’сплошных сред. Эти связи позволяют во много раз сократить объем экспе риментальных работ, необходимых для установления числовых значений феноменологических коэффициентов1.
1. ПЛОТНОСТЬ РАБОТЫ ДЕФОРМАЦИИ
Для изучения термодинамики деформаций необходимо вы числение плотности работы деформации, т. е. работы напряже ний, отнесенной к единице объема при изменениях деформиро ванного состояния среды.
Ограничимся случаем малых деформаций. Дифференциал плотности работы деформации дается выражением
|
= |
(3.01) |
но так как |
ik |
|
+ 41/ |
|
|
°* = пД- 8,* |
(3.02) |
|
2 |
3 1 |
з/2 _/2 |
1 Читателя, который заинтересуется |
более подробным изложением рас |
|
смотренных в настоящей главе вопросов, мы отсылаем к литературе, указан ной в конце главы.
* См. формулу (2.24). |
|
5 Зак. 661 |
65 |
то, подставив (3.02) в выражении для du и, учитывая, что
dly = d |
j |
=== ^ikd^ik |
|
||
и |
|
i,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diо= d |
^tk^ik |
2 |
£ikdtikt |
|
|
получим |
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тц ± d!^-L ~|/3^2j‘ |
(y |
- Л* ) |
(3.03) |
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
Д\ у dll+ T V• 3g2~? d У |
|
(3-04) |
|||
3 3 |
У |
3/т,—if |
2 |
|
|
В этом выражении первый член |
|
|
|
|
|
|
Щ -^-d/i |
|
|
(3.05) |
|
|
О |
|
|
|
|
представляет собой работу |
при изменении |
объема и |
второй |
||
1 , f зп2 — п2,
vl'у—<М6>
°'2 /j
член —■ работу при изменении формы.
Если воспользоваться инвариантами eit о и е, то, подста вив в выражение для dw значение а» из формулы (2.25), полу чим
dw = Sade -|- a^de^ |
(3.07) |
В этом выражении первый член соответствует работе при изме
нении объема, а второй член — работе при изменении |
формы. |
Итак: |
|
du> = 22 Gikdetk = 3ade -|- <Уу |
(3.08) |
I k |
|
Мы видим, таким образом, что при вычислении плотности работы деформации нет необходимости знать зависимость
от е;А; достаточно знать зависимость о и а1 от е и et. Другими словами: каков-бы ни был возможный характер зависимости а,л от е/4. всегда имеет место тождество
22 (еп, ■■ ■ > Езз)^е« = За (е> ei) de 4- at (е, et) det. (3.09) i k
Для полной ясности следует отметить, что это тождество яв ляется следствием тензорных свойств функций
(®п> • • • > ®зз) (о k=\, 2, 3).
66
2. ЛИНЕЙНЫЕ дифференциальные формы
Напомним читателю некоторые свойства линейных дифференциальных форм, имеющих фундаментальное значение для термодинамики. Рассмотрим линейную дифференциальную форму:
PidXi + Pi<lx2 -|------ + pndxn; |
(3.10) |
здесь коэффициенты р\, рг,..., рл— функции переменных xt, х2, ■ ■ ■, |
х„. При |
преобразовании координат форма (3.10) примет вид |
|
4ldY, + Ч^+ •••+?„<//„• |
(3.11) |
Может случиться, что при некотором специальном выборе новых пере менных
.......... -v,,) (k = i,2............ S) |
(3.12) |
число слагаемых в форме (3.11) окажется меньше п. Допустим, что в резуль
тате преобразования (3.12) форма |
(3.10) приняла вид |
|
«2Л1 + М?з +••(s<«) |
(3.13) |
|
или |
+ .. . 4- 3srf;s (s<n). |
|
d~ 4- o.rf;, -J- |
(3.14) |
|
Классом дифференциальной формы (3.10) называется наименьшее из воз можных число независимых функций т, i и (в (3.13) или в (3.14). В связи с этим может быть сформулирована проблема установления класса формы (3.10) и нахождения всех функций т, а и *Л
Если коэффициенты формы (3.10) удовлетворяют соотношениям
dpi _dPk
(3.15)
дх/,_ dxi'
то эта форма может быть приведена к виду <7т, т. е. форма (3.10) представ ляет собой в этом случае полный дифференциал (класс формы равен едини це). Если коэффициенты формы (3.10) удовлетворяют условиям
/ |
др$ |
|
^l\, |
1^1 |
|
|
(др* |
|
|||
Р°- |
л— |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
|
|
дх$ / |
\ дх* |
dxt / |
\дх? |
Ль I |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а, р, 7=1, 2,...,И, |
|
|||
которые в |
частном случае при п=3 принимают вид |
|
|||||||||
Р1 |
/ |
др* |
--- |
др3 \ |
I |
др3 |
дрг \ |
/ дрх |
-|^)=0, (3.17) |
||
I |
д |
д |
Р2 |
д |
--- |
д |
I |
+ РЗ ( д |
ох, / |
||
|
' |
дх3 |
|
дх2 / |
\ ОХ) |
дх2 / |
\ дх2 |
||||
то форма |
|
(3.10) |
приводится |
к |
виду |
adi. |
Следовательно, если выполнены |
||||
условия (3.16), |
то класс |
формы |
(3.10) |
равен 2 и она |
допускает интегрирую |
||||||
щий множитель—, или, что то же самое, интегрирующий делитель а. В этом
случае |
|
|
1 |
- |
|
rf?l =— |
У Pidxp |
|
а |
*— |
|
|
1 = 1 |
|
а = а (х, X,,..., хп); |
(3.18) |
|
|
||
£1 = Е,(х,, х2.......... Х„). |
|
|
* Эта проблема впервые была доставлена и решена Пфаффом в 1814 г. |
||
5* |
|
67 |
Можно показать, что выражение вида
« = «/(51) = <Р *10 |
-*л)> |
(3.19) |
где / — произвольная функция, также будет интегрирующим делителем. Если интегрирующий делитель является функцией только одной какой-либо пере менной хп = Т, то в общем случае интегрирующий делитель, зависящий от этой же переменной, будет отличаться от первого интегрирующего делителя только постоянным множителем.
Отметим, что класс формы, дающей плотность работы деформации, в
общем случае равен 2 [см. формулу (3.09)].
3.ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Как известно, первое начало термодинамики есть не что иное, как закон сохранения энергии в применении к тепловым процессам. Обозначим плотность внутренней энергии через Е *. В таком случае приращение плотности внутренней энергии при равновесном переходе от заданного состояния к бесконечно, близкому состоянию деформации можно представить в виде
<>Т
Если через 8Q обозначить приращение тепла, то первое начало термодинамики запишется
87’=^8Q + 2°^- |
(З-21) |
lk дг1к |
дТ |
,-.А |
Уравнению (3.21) можно придать также вид
2 |
(л— |
) |
дТ |
= |
(З.22) |
Ek \dtik |
|
|
|||
Это уравнение в системе координат, совпадающих с главными осями тензора деформаций, имеет вид
- «heA = 8Q-^8r. |
(3.23) |
|
k \ l)c-k / |
дт |
|
Вслучае малых деформаций плотность внутренней энергии
Еможно считать зависящей только от первого и второго инва риантов тензора деформаций и абсолютной температуры; поэтому можно записать приращение плотности внутренней энер
гии в следующем инвариантном виде:
^£ = ЦоЛ4-^г/2+^8Г. |
(3.24) |
||
dlt |
oIq |
оТ |
|
Учитывая формулу (3.04), можно уравнение, выражающее
* В случае малых деформаций плотности всех термодинамических функ
ций относятся к единице объема.
63