книги из ГПНТБ / Гольденблат И.И. Теория ползучести строительных материалов и ее приложения

Новую систему обозначений все шире принимают в моногра­ фиях по теории упругости, пластичности и ползучести (см., на­ пример [2]). Почти полностью перешли на эту систему обозна­ чений в журнальной литературе. Эта система обозначений принята и в тензорном анализе.

Как известно, из девяти компонентов тензора напряжений независимыми являются только шесть, так как имеются соотно­ шения:

°1к = оа.-.

Итак, напряженное состояние в точке тела становится вполне определенным, если известны шесть компонентов тензора на­ пряжений, действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку нормально к осям вы­ бранной системы координат.

При выборе другой системы координат 1', 2' и 3' напря­ женное состояние в той же точке будет определяться шестью

компонентами тензора напряжений действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через дан­ ную точку нормально к новым осям.

Между компонентами *а, и а,А существуют функциональ­ ные связи, имеющие вид

Следовательно, в каждой системе координат компоненты тензора напряжений имеют свое значение. Вместе с тем очевид­ но, что физические законы, описывающие деформацию тела, не могут зависеть от принятой системы координат, выбор которой определяется в конечном счете практическими соображениями. Иными словами, законы, описывающие деформацию тела, долж­ ны представлять собой некоторые зависимости между инвариан­ тами, т. е. величинами, которые не изменяются при преобразо­ ваниях координат.

Можно образовать бесчисленное множество величин, обла­ дающих этим свойством. Такими величинами, например, явля­ ются

i a.M

и T. Д.

Действительную инвариантность этих величин можно устано­ вить непосредственным вычислением по формулам (2.02).

Очевидно, любая функция инвариантов (2.03) также пред­ ставляет собой инвариант. Так, можно образовать инварианты

0 =-1-1/ЗЛ2 — Л?;

у2

Этими инвариантами мы в дальнейшем воспользуемся. Величина о,-, которая может быть представлена в следую­

щем развернутом виде

а,.= —1/(оц —а2г)2+ (322~Ззз)2+(an— азз)2 + 6 (012 + °23-(-01з),

называется интенсивностью напряжений, а величина

(2.06)

— октаэдрическим касательным напряжением. Октаэдрическое касательное напряжение действует на площадке, образующей

Возникает вопрос, сколько всего существует независимых инвариантов; методами тензорной алгебры может быть доказа­

50

но, что таких независимых алгебраических инвариантов сущест­ вует три. В качестве таких независимых основных инвариантов

иU и т. д.

Вдальнейшем в качестве основных будем принимать инва­ рианты /7(, П2 и П3. Все остальные инварианты, которые могут встретиться, будут функциями этих трех. Так, например:

Среди различных инвариантов особо большое значение для нас будут иметь так называемые главные напряжения. Эти на­ пряжения действуют на трех взаимно' перпендикулярных пло­

щадках, на которых отсутствуют касательные напряжения. Главные напряжения, таким образом, перпендикулярны этим площадкам. Направления главных напряжений называются главными осями тензора напряжений.

Будем обозначать главные напряжения через а)( а2 и о3, причем примем, что

°1 > а3 > а3.

Так как главные напряжения являются инвариантами, то они должны быть функциями введенных выше инвариантов ГЦ,

П2 и П3, т. е.

или в развернутом виде:

°8 — (011 + °22 + С33) °2 + СТ11а22 + °11а33 + °22°33 ~~ с12 — а13 —

Так как коэффициенты уравнений (2.10) и (2.11)—инвари­ анты, то и корни этих уравнений, т. е. значения главных напря­ жений, тоже должны быть, очевидно, инвариантами.

В некоторых случаях важно определить направления глав­ ных осей тензора. Для этой цели можно воспользоваться урав­ нениями

Здесь I, т, п — косинусы углов одной из главных осей с осями координат 1, 2, и 3;

а — соответствующее главное напряжение.

Хотя направления главных осей не меняются при преобразо-1 ваниях координат, косинусы /, т и п не являются инварианта­ ми, так как они имеют различные числовые значения в каждой системе координат.

Наряду с главными напряжениями а,, а2, а3 большое зна­ чение для нас будет иметь также наибольшее касательное на­ пряжение, равное полуразности между наибольшим и наимень­ шим главными напряжениями. Это напряжение действует на площадке, параллельной среднему по величине главному на­ пряжению.

Если известны величины главных напряжений, то, очевидно, могут быть вычислены напряжения на любой площадке, обра­ зующей заданные углы с главными осями. С другой стороны, если известны три инварианта /71, /72 и /7з, то можно вычислить величины главных напряжений. Следовательно, если известны величины /71, П2 и П3, можно вычислить значения напряжений на любой площадке, образующей заданные углы с главными осями.

2. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ. ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

В прямоугольной системе координат формулы компонентов тензора «малой» деформации имеют вид

52

Заметим, что в формуле (2.13) для компонентов тензора де­ формации отброшены квадратичные члены, поэтому они могут применяться в случае достаточно малых деформаций.

Следует также отметить, что в ряде трудов теории упругости и теории пластичности под величинами е,А понимают собствен­ но не компоненты тензора деформации, а величины относитель­ ных удлинений и сдвигов. В этом случае, для того чтобы полу­

чить тензор деформации, необходимо все недиагональные эле­ менты матрицы тензора деформаций умножить на '/г- Однако при таком способе обозначений инварианты тензоров напря­ жений и деформаций имеют существенно различные формы за­ писи. При принятом нами способе обозначений инварианты тензоров напряжений и деформации записываются совершенно одинаково, что является большим практическим преимуществом, этого способа записи.

Таким образом, инвариантами тензора деформации явля­ ются

Л— е11 + ег2 + 6зз1

Л= еп —■ е22 4~ езз “Ь 2ei2 -I- 2ei3 -|- 2езз;

И т. д.

Из приведенных инвариантов первые три являются независи^- мыми. Все остальные алгебраические инварианты являются функциями этих трех.

5Й;

Между компонентами e(ft и etk для различных координат­ ных систем существующие функциональные связи имеют точно

В дальнейшем для нас будут иметь значение следующие инварианты:

Величина et, которую можно представить в развернутом виде:

называется интенсивностью деформации.

Сдвиг в октаэдрической плоскости (так называемый октаэд­ рический сдвиг) отличается от интенсивности деформации посто­ янным множителем. Формула для октаэдрического сдвига имеет вид

При любых видах деформации октаэдрический сдвиг на несколь­ ко процентов отличается от максимального сдвига.

Аналогично тому как это доказывается для главных напря­ жений, может быть доказано, что значения главных деформаций являются корнями уравнения

или в развернутом виде:

е3*— (Sll + е22 + ®3з) ®2 + ®11®22 4~ ®11®33 + ®22®33 — ®12 ~ ®13 —

Так как коэффициенты уравнений (2.18) и (2.19) инвариан­ ты, то и корни этих уравнений, т. е. значения главных деформа­ ций, также должны быть инвариантами, что, впрочем, совер­ шенно очевидно также из физических соображений.

51

Для определения главных осей тензора деформации можно воспользоваться уравнениями

£ц/ + е12Щ + е]3п = е/;

(2.20)

W Ч" ®32/,г + £ззга ~ zn’t

I2 -|- т2 + и2 = 1.

Здесь I, т, п, — косинусы углов одной из главных осей с осями координат 1, 2, 3;

е —соответствующая главная деформация.

Если известны величины главных деформаций, то, восполь­ зовавшись формулами, аналогичными (2.02), можно вычислить величины компонента тензора деформации в любой системе координат, как угодно повернутой относительно главных осей тензора деформаций.

Три главные деформации полностью определяют деформи­ рованное состояние в заданной точке. Известно, что указанные деформации могут быть выражены через три независимых инва­ рианта тензора деформации, следовательно, эти инварианты тензора деформации полностью определяют деформированное состояние в данной точке.

Так как мы считаем известными только величины главных деформаций и ничего не говорим о направлениях главных осей тензора деформации, то, очевидно, деформированное состояние в заданной точке становится нам известным с точностью до произвольного поворта в пространстве вокруг данной точки. Этому соответствует тот факт, что при движении рассматривае­ мой среды как твердого тела в пространстве (в частности, при произвольных поворотах этой среды) компоненты тензора де­ формации не меняются.

3. ОБЩИЕ ФОРМЫ СВЯЗИ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ ДЛЯ РАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ

В случае малых деформаций изотропных сред связи между

Приведенному условию удовлетворяют, например, выраже­ ния

Ч’о = А1Х и ^ = 5,

55

Если воспользоваться обозначениями (2.04), (2.15), получим

Выражения (2.24) или (2.25) являются простыми следствиями предположений об изотропности среды и малости величин де­ формаций.

Для того чтобы связи между напряжениями и деформациями сделать вполне определенными, необходимо, очевидно, задать

Эти соотношения являются физическими законами, характери­ зующими среду [2, 3].

Вообще говоря, связи между напряжениями и деформация­ ми становятся вполне определенными, когда заданы два какихнибудь независимых инварианта тензора напряжений как функ­ ции двух независимых инвариантов тензора деформаций и абсолютной температуры.

Рассуждая аналогично, можно получить уравнения, подоб­

56

или

4.ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ

Тензор скоростей деформации получается в результате диф­ ференцирования компонентов тензора деформации по времени. Его компоненты, следовательно, имеют вид

где «4 —вектор деформации.

Тензор скоростей деформаций имеет три следующих незави­ симых алгебраических инварианта:

S1 = е11 + е22 ®3з!

•53 = XXXefa£»BeBb

* “ В

Все другие инварианты — функции этих трех.

Главные компоненты тензора скоростей деформаций находят из уравнения

е3 — Sje2 + -у (si— S2)e— (ys3-ysiS3 + Т s‘) = °- (2'34>

Главные компоненты тензора скоростей деформации не рав­ ны производным по времени от главных компонентов тензора деформации.

В дальнейшем нам понадобится еще инвариант тензора ско­ ростей деформаций

/7= X— (£ц —+ (£22 — е3з)2 + (е11 — £3з)2 + 6 (s12 + 4з + £2з)-

О

5. СОВМЕСТНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Помимо приведенных выше основных инвариантов, могут быть образованы различные совместные инварианты тензоров напряжений, деформаций, скоростей деформации и т. д. Так,

57.

например:

в ДРУГАЯ ФОРМА ОБЩИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ СЛУЧАЯ РАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ

ДЕФОРМАЦИИ

Если воспользоваться совместными инвариантами тензоров напряжений и деформаций, то связи между напряжениями и деформациями для случая равновесных процессов деформации

можно придать другую форму, отличную от выраженной форму­ лами (2.24) или (2.25).

Итак, для того чтобы связи между напряжениями и дефор­

мациями сделать вполне определенными, необходимо, очевидно, задать функции:

Т-2 — Т2 (/ь /2);

(2.39)

/2).

S8