книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

Формулы (3.34) и (3.37) могут быть использованы также для расчета фазо-частотной характеристики фильтров верхних частот, полосовых и режекторных. Для этого необходимо путем преобразования частот перейти от характеристик фильтра верхних частот к характери­ стикам эквивалентного фильтра нижних частот, вводя вместо частоты / частоту /'=11//. При этом фазо-частот­ ную характеристику берут с обратным знаком. В случае расчета характеристики полосового фильтра или полоснопропускающего тракта его рассматривают состоящим из каскадного соединения двух фильтров — ФНЧ и ФВЧ, для каждого из которых расчет выполняется независимо. Затем, суммируя полученные значения сдвига фазы, оп­

пользуя ф-лу (3.136) или (3.31), можно получить выра­ жение группового времени при линейно ломаной аппрок­ симации амплитудно-частотной характеристики. Частот­ ные характеристики затухания, аппроксимированные ли­ нейно ломаной линией, и формулы для расчета группо­ вого времени фильтров различных типов приведены в табл. 3.4.

Иногда желательно сделать расчет группового вре­ мени фильтра для предельного случая, когда частота среза совпадает с частотой эффективного задерживания. Для интересующей нас полосовой системы расчетная формула определена в табл. 3.4, и. 5.

Грутгповое время фильтров нижних и верхних частот при скачкообразном изменении затухания рассчитывает­

Полагая, что полосовые канальные фильтры канало­ образующей аппаратуры имеют aCi= aC2 ~ 54,58 дБ (т. е. 56,458/8,69 —6,5 Нп), можно получить с учетом коэффи­ циента А = 1,25 формулу для математической записи группового времени канала тч одного переприемното участка в виде

8 0

Т А Б Л И Ц А 3. 4

81

Ч А С Т Ь II

ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ ПО КАНАЛАМ СВЯЗИ

Г Л А В А 4. СИГНАЛЫ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

4.1. Сигналы связи

Сигналы связи, переносящие информацию, представ­ ляют собой некоторую функцию времени S(t). В элек­ трической связи для передачи сигналов используют элек­ трические колебания, которые в зависимости от решае­ мой задачи могут рассматриваться как регулярные и не­ регулярные. Регулярными, или детерминированными, на­ зываются колебания, заданные известными функциями времени, тогда как нерегулярные, или случайные коле­ бания, принимают значения, которые определенно пред­ сказать невозможно. Учитывая это, рассмотрим сигна­ лы связи сначала как детерминированные колебания, а затем как случайные.

П р е д с т а в л е н и е с и г н а л о в с в я з и д е т е р м и ­ н и р о в а н н ы м и к о л е б а н и я .ми. Сигналы связи в зависимости от :вида переносимой ими информации раз­ деляются на непрерывные и дискретные; к последним, в частности, относятся импульсные сигналы.

В системах вторичного уплотнения и в аппаратуре передачи данных информация передается последователь­ ностью импульсов постоянного тока, которая затем пре­ образуется для передачи по каналам в последователь­ ность импульсов, заполненных несущим колебанием. По­ этому в общем случае сигналы связи представляются ко­ лебаниями сложного вида. При анализе таких сигналов приходится разлагать их на простые с помощью рядов Фурье, включающих определенную систему ортогональ­ ных функций. Функции fi(t) и f2(t) называются ортого­ нальными на интервале (tit t2), если

(4Л)

83

Заданное на интервале (tb t2) колебание S(t) можно представить суммой простых функций Ci(t) и коэффици­ ентов а,- в виде

В качестве системы ортогональных функций выбира­ ются тригонометрические функции кратных аргументов, полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бес­ селя, Лагера и другие функции, обладающие свойством ортогональности на определенном интервале. Наиболее удобными с практической точки зрения являются функ­ ции, обеспечивающие быструю сходимость ряда (4.2), либо функции, обладающие простой физической реали­ зуемостью. Чаще всего для этой цели используются три­ гонометрические функции кратных аргументов, тогда аппроксимирующий ряд называется рядом Фурье.

Погрешность представления функции S(t) в виде ря­

Учитывая, что fe(t) зависит от времени, оперировать с нею менее удобно, чем с усредненным значением. Одна­ ко выбранный в соответствии с (4.4) критерий оценки — средняя величина функции ошибки — в общем случае может давать ложный результат за счет того, что боль­ шие положительные и отрицательные ошибки будут ком­ пенсироваться в процессе усреднения. Поэтому оказа­ лось целесообразным оценивать погрешность средним значением квадрата функции ошибки?

(4.5)

84

Если для .непрерывной функции S(t) можно выбрать коэффициенты щ так, что путем увеличения количества членов в ряде удается сделать е сколь угодно малой, тосовокупность ортогональных функций называют полной,,

минимум погрешности, приравняем нулю частные про­ изводные по этим коэффициентам:

Произведем дифференцирование одного из выраже­ ний (4.6) :■

Первый интеграл соотношения (4.7) равен нулю, так как равно нулю подынтегральное выражение. Дифференци­ рование подынтегральных выражений второго и третьего интегралов с учетом свойств ортогональности C{(t) пре­ образует их следующим образом:

Для ортонормальной системы ортогональных функций,

85

ti

ределяюгся по формуле

^2

fl, = j'S(t)Ct (t)di. (4.9) i,

Коэффициенты щ, определенные по ф-ле (4.8) или (4.9), создают наилучшее в среднем приближение к S(t).

Одной из важных задач математического анализа яв­ ляется определение условий, при которых ряд (4.2) с коэффициентами ор вычисленными в соответствии с ф-лой (4.8), сходится во всех или почти во всех точках

кзаданной функции S(t).

Всоответствии с признаком сходимости Дирихле для всякой заданной на интервале (ti, tz) функции S(t), име­ ющей конечное число точек разрыва непрерывности первого рода, можно построить ряд по выбранной систе­

ме ортогональных функций, если существуют интегралы

чению S'(i/0) в каждой точке непрерывности и к значению

5 (t + 0 )+ S (f—0)

—11----1— 1----- - в каждой точке разрыва непрерывности.

Для всех используемых в технике связи колебаний ряд (4.2) сходится, поэтому при решении конкретных за­ дач никаких дополнительных исследований не требуется. Такой вывод следует из того, что всегда обеспечивается достаточная сходимость в среднем для колебаний, име­ ющих конечную энергию.

Рассмотрим теперь частный случай, когда в качестве системы ортогональных функций ряда (4.2) использу­ ются тригонометрические функции кратных углов. Пусть на интервале (—Т/2, Т/2) задана функция S(t), тогда в соответствии с (4.2) и (4.9) имеем

86

Из (4.10) следует, что колебание S(t) может быть представлено в виде постоянной составляющей и суммы косинусных и синусных колебаний с круговыми частота­ ми, кратными основной kQ = k2nlT (где k=\l, 2, ..., оо),. и амплитудами соответственно ан и bh.

Иногда удобно записать ряд (4.10) в более компакт­ ной форме, осуществив тригонометрические преобразо* вания пар гармонических колебаний:

Используя формулу Эйлера, преобразуем составляющие (4Л2) следующим образом;.

Учитывая, что выражение, стоящее под знаком суммы,,

87

Полезным оказывается и обратный переход от ком­ плексных амплитуд к амплитудам пары гармонических колебаний:

Ck = Ckе <Р* = Ck [cos ф* + i sin Ф*] = ak— i bk.

Подставляя сюда значения амплитуд (4Л1), получаем

Формулы (4.16) и (4.18) принято называть парой преобразования Фурье, причем одна из формул позво­ ляет вычислить S(i), если заданы гармонические состав­ ляющие, а вторая — найти амплитуды гармонических составляющих, которые в сумме дают значение S(t).

Выражение (4.16) называют рядом Фурье в комп­ лексной форме, однако его можно рассматривать как самостоятельный ряд Фурье, в котором в качестве орто­ гональной системы выбрана экспоненциальная функция

е ‘А2<, причем коэффициенты ряда рассчитываются по ф-ле (4.18). Поэтому выражение (4.16) называют также

экспоненциальным рядом Фурье.

Рассмотренные ряды (4.2), (4.10) и (4Л6) позволяют

ния которых заданы на одном из его периодов.

Теперь представим функцию на бесконечном интер­ вале. Пусть задана функция S(t), изображенная .на рис. 4.1, .которую необходимо представить в интервале (—оо, сю) суммой экспоненциальных функций. По­ строим сначала периодическую функцию S T(t) с перио­ дом Т, в которой исходная функция S(t) повторяется

8 8

через период Т (рис. 4.2). Так как функция Sr(t) пе­ риодическая, то ее можно представить экспоненциаль­ ным рядом Фурье. Увеличивая период Т, в пределе мож-

Рис. 4.2

уменьшаются, хотя форма частотного спектра остается неизменной. При Т-*-оо амплитуды частотных составля­ ющих становятся бесконечно малыми, однако число со­ ставляющих стремится к бесконечности и спектр пре­ вращается из дискретного в непрерывный.

Введем обозначения: /гео=.со*; Ф(соЛ) = TDh(a>h). По­

следнее учитывает, что Dh, будучи фикцией номера гар­ моники k, является также функцией wa. Тогда

ОС

- Т / 2

89