книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

ния АЧХ; 0а — угол, характеризующий смещение на­

чальной точки отсчета периода колебания относительно эффективно передаваемой полосы частот канала.

Методика определения основных параметров исполь­ зуемой тригонометрической функции (аь g, 0а ) заклю­

чается в анализе зависимости К(а>) при различных ха­ рактерных частотах. К ним относятся, прежде всего, ча­ стоты максимальных (минимальных) значений модуля коэффициента передачи, которые определяют период по частоте и амплитуду колебания. Если период колеба­ тельного изменения частотной характеристики модуля коэффициента передачи не совпадает с граничными ча­ стотами канала (fw fB), то, зная частоты максимальных (минимальных) значений (7максь /максг), легко опреде­ лить этот период:

Подставляя .полученные значения а0, «1 и g в ф-лу (2.10), для граничной круговой частоты получаем К(>(ов) —ао—•

—cii cos 0а . Отсюда

0Ot == arc cos * (а>и)в~~а°, fll' я

Применение для аппроксимации частотной зависимо­ сти коэффициента передачи более сложных функций не­ целесообразно, так как использование их в выражениях интегралов Фурье при расчетах переходных процессов оказывается затруднительным.

2.4. Аппроксимация фазо-частотной характеристики канала тч и ее неравномерности

Для математической записи ФЧХ канала, типичная форма которой представлена на рис. 1.2, можно исполь­ зовать полином вида

Нечетные степени членов аппроксимирующего полинома являются следствием нечетности ФЧХ. При подготовке данных измерений для аппроксимации характеристику вычерчивают на графике так, чтобы можно было про­ должить ее до оси ординат, как это сделано на рис. 2.4. Добавленная частотная область не входит в рабочий диапазон частот, поэтому ход фазовой характеристики

50

здесь безразличен. Между тем такое дополнение значи­ тельно облегчает расчет аппроксимирующего полинома.

Число точек интерполяции определяет степень апроксимирующего полинома— четыре точки аппроксима­ ции дают полином седьмой степени. Такой полином яв­ ляется наиболее удобньгм для практических расчетов. Выбирая точки интерполяции в (рабочем (корректируе­ мом) диапазоне частот и определяя значения принятого сдвига фазы для этих частот (цщ, м2, юз, <»4 на рис. 2.4), можно записать систему линейных уравнений в виде

Из системы ур-ний (2.12) легко определить коэффи­ циенты аппроксимирующего полинома. Расчеты показы­ вают, что максимальная погрешность аппроксимации фазо-частотной характеристики одного из каналов тч ап­ паратуры В-3, приведенной на рис. 2.4, составляет 50-=- -7-60°. Столь большая погрешность аппроксимации ос­ ложняет возможность практического применения этого метода.

b(u),°

mo im MO

Ш0 W80 m

720

MO

M

Ш

51

Иногда указанные полиномы используются для ап­ проксимации ФЧХ канала при расчетах фазовых конту­ ров методом потенциальной аналогии и расчете формы сигнала на выходе канала, так как получающиеся в этом случае интегралы Фурье могут быть представлены эле­ ментарными или табулированными функциями и, следо­ вательно, могут быть вычислены.

Более высокая точность приближения получается при аппроксимации неравномерности ФЧХ, что объясняется устранением большого сдвига фазы от частоты и малы­ ми абсолютными значениями аппроксимируемой функ­ ции. Неравномерность ФЧХ согласно (1.1) определяется из фазовой характеристики исключением линейной со­ ставляющей:'

(©) = Ь(со)— т0 (со — аА ).

Получающаяся при этом неравномерность имеет форму, изображенную на рис. 2.5, и может быть представлена в виде тригонометрического полинома

М®) — h sin Аса + 62 sin 2 А со + 68sin3 Асо + ..., (2.13)

где b\, Ьъ Ьз — амплитуды синусоидальных составляю­ щих; А=1/(7в—fu) ври аппроксимации функции Ьв(ю) в диапазоне частот /н-^/в (h, fu — соответственно верхняя и нижняя граничные частоты) либо А—1/2/ с при аппрок­ симации функции Ьн(и>) в диапазоне частот —/c-i-fc (?с — верхняя граничная частота диапазона аппроксимации).

сообразно при расчетах переходных процессов, а при формулировке требований к фазокорректирующему ус­ тройству приходится использовать диапазон частот ап­ проксимации ОТ —fe ДО /с-

52

В соответствии с выражениями (1.1), (1.2) и обо­ значениями рис. 1.2 неравномерность ФЧХ канала часто аппроксимируют синусоидой. Для этого обычно при по­ строении графика неравномерности отклонения положи­ тельной и отрицательной полуволн берут одинаковыми. Значения этих отклонений и считают амплитудой нерав­ номерности р. Период колебательного изменения нерав­ номерности полагают равным /в—/и либо немного боль­ шим. При этом т = 1/(7в— / н ) либо т ' = 1 / ( 7 в — //н)<т. Тогда неравномерность ФЧХ канала может быть записана

где о)ф =|('(0в + (0ц)/2 .

Инотда желательно отсчет ФЧХ канала осуществ­ лять относительно круговой частоты ом (см. рис. 1.2 и соотношение 1.2). Для этого в выражении (2.44) следует заменить соф4 на (оф = (йА+(ьф,—«и).. Тогда

К(со) = — р sin т [со — сол — (мф — <ол)] =

=— р sin [т (со — сал) — т(Шф — сол)] =

=— р sin [т(«о — сол) — 0ф],

где

Аппроксимация неравномерности ФЧХ канала сину­ соидой дает достаточно хорошую точность в средней ча­ сти используемого диапазона частот и заметную погреш­ ность на границах диапазона (до 20-г-25° или 0,35-=- 0,45 рад.). Для повышения точности аппроксимации не­ равномерности ФЧХ канала на крайних частотах диапа­ зона целесообразно применить полином, включающий две синусоидальные функции: одну с периодом т, а дру­ гую с периодом 2т:

&н(©)=—р1 > тт(ш — Юф] -ф- р2sin 2 т(со — о>ф)- (2.16)

Для определения амплитуд Pi и р2 необходимо составить два уравнении, которые учитывали бы углы <p*=ji/4 и ф2=Зл/4 дополнительной оси фь соответствующие кру-

53

Согласно рис. 2.6 имеем:

К (®i) = — Pi sin -j- + p2 sin -5- ;

4 2

M®2) = - P iS in - j - + P ,-y -.

Подставляя значения тригонометрических функций и решая уравнение относительно Pi и Ра, получаем:

При необходимости перехода к отсчету неравномер­ ности ФЧХ канала относительно круговой частоты соа аналогично предыдущему получаем

М «) = — Pi s‘n [т (ю — сол) — 0ф] +

где 9ф определяется по ф-ле (2.16).

Аппроксимация неравномерности ФЧХ канала сум­ мой двух синусоид (первой и второй гармониками) зна­ чительно повышает точность аппроксимации на краях диапазона по сравнению с аппроксимацией одной сину­ соидой (погрешность не превышает 10—12°).

Заметное повышение точности аппроксимации может быть достигнуто за счет увеличения числа учитываемых синусоидальных составляющих выражения (2.13). Для получения значений амплитуд составляющих тригоно­ метрического ряда можно применить любые методы гар-

54

ионического анализа: механические анализаторы либо расчетные схемы приближенного гармонического анали­ за. В приложении 1 приведена расчетная схема 12 орди­ нат приближенного гармонического анализа. При рас­ чете по этой схеме необходимо определить по графику функции 6н(со) двенадцать значений ординат уо,..., уп- Значение ординаты уо следует взять по частоте /ф =

= (7в+/н)/2. Следующие шесть ординат выбираются для

Согласно схеме приближенного гармонического ана­ лиза получаем шесть значений аг и пять значений 6, при условии, что функция записывается в виде

Иногда желательно иметь ряд, состоящий из сину­ сов. Для этого надо преобразовать каждую пару гармо­ нических составляющих следующим образом:

a*cos&T(o) — юф) + bksin £ т (ш — юф) =

Расчеты, выполненные для неравномерности, график которой приведен на рис. 2.5, показывают, что погреш­ ность аппроксимации во всем диапазоне частот состав-

55

ляет 5°, а в узлах аппроксимации — около ,1°. Причем практически оказывается достаточным учитывать только первые две-три синусоидальные составляющие. Приме­ нение более сложных расчетных схем приближенного гармонического анализа для аппроксимации неравномер­ ности ФЧХ нецелесообразно.

Рассматриваемая аппроксимация неравномерности используется обычно для расчетов переходных процес­ сов при передаче сигналов по тракту с фазовыми иска­ жениями.

При расчете фазокорректирующих устройств нерав­ номерность ФЧХ должна аппроксимироваться в интер­

устройств с помощью полиномов Чебышева, неравномер­ ность ФЧХ представляется бисимметричной функцией и записывается в виде

схемы приближенного гармонического анализа. Расчеты, выполненные для рассматриваемой неравномерности ФЧХ, показывают, что в случае применения расчетной схемы 24 ординат приближенного гармонического ана­

аппроксимации до 48 или 72 значительно усложняет рас­ четы, но не дает существенного улучшения аппроксима­ ции по сравнению со схемой 24 ординат.

'Помимо рассмотренной формы, удобной для аппрок­ симации тригонометрическим полиномом, неравномер­ ность ФЧХ может быть представлена в виде, изображен­ ном сплошной линией на рис. 2.7. Такой вид характери­ стики получается при пересчете обычной формы нерав­ номерности относительно прямой CD. В этом случае для аппроксимации удобнее использовать алгебраические '.полиномы, в частности, полином

а(ю) = h (м —С0ф) + ьз (а — соф)3 + Ьъ(ю -- соф)5 + ... (2.22)

•Однако возможно применение и тригонометрических полиномов с учетом линейной составляющей к(ш—и ф )

56

где K=b,ii(<siR)/(tdB—соф ) — есть тангенс угла наклона: прямой, проходящей через точку м (линия C'D') .

2.5. Аппроксимация частотной зависимости группового времени канала тч

Учитывая форму частотной характеристики группо­ вого времени канала тч, для ее аппроксимации часто ис­ пользуют параболу вида

где шмин — круговая частота, соответствующая мини­ мальному значению группового времени (©мин=(Оср) •

Аппроксимация квадратичной параболой дает удов­ летворительную точность в средней части эффективно передаваемой полосы частот канала тч и заметную по­ грешность на ее границах. Причем погрешность опреде­ ляется, главным образом, быстрым возрастанием ап­ проксимирующей параболы, тогда как аппроксимируе­ мая функция в этой области частот приближается к ли­ нейной. Поэтому целесообразно в средней части эффек­ тивно передаваемой полосы частот канала тч для ап­ проксимации характеристики применять квадратичную1 параболу, а для аппроксимации граничных участков — линейную функцию. В этом случае частотная.характери-

57;

■«тика группового времени канала тч будет разбита на отдельные частотные интервалы, на каждом из которых функция аппроксимируется либо отрезком прямой линии, либо параболой (данную аппроксимацию иногда назы­ вают кусочно-линейной полиномиальной). Такая аппрок­ симация применяется, в частности, для математической записи средней статистической характеристики группо­ вого времени стандартного канала тч. Причем рекомен­ дуется использовать следующие частотные интервалы:

аппроксимации. В качестве узлов аппроксимации можно использовать вышеприведенные граничные значения ча­ стоты. Расчеты показывают, что точность аппроксима­ ции в данном случае будет порядка 0,04 мс.

Представление функции tTр(<о) на отдельных частот­ ных интервалах хотя и дает хорошую точность аппрокси­ мации, но иногда оказывается неудобным. Это относит­ ся, в частности, к случаям перехода от частотной зависи­ мости группового времени к неравномерности фазо-ча­ стотной характеристики, расчета напряжения сигнала на выходе канала тч с использованием интеграла Фурье и определения требований к фазокорректирующим уст­ ройствам. В этих случаях желательно иметь аппрокси­ мирующую функцию, пригодную во всей эффективно пе­ редаваемой полосе частот. В качестве такой функции могут быть использованы аппроксимирующие полиномы третьей и четвертой степени вида

Погрешность аппроксимации частотной характеристи­ ки группового времени канала тч полиномом третьей степени составляет 0,2—0,25 мс, а полиномом четвертой

.степени — порядка 0,05 мс. Значения коэффициентов

58

аппроксимирующего полинома (2.26) для усредненной, характеристики группового времени канала тч (один переприемный участок) оказываются равными:

у40= 1,64-10-4;

Лt= —4,815-10-4; Л2= 1,722-10-3;

Л3= 1,258-,Ю-2; Л4=0. -

Причем частота берет­ ся в килогерцах, а зна­ чение группового вре­ мени получается в мил­ лисекундах (/Ср=1,9 кГц).

Широкое примене­ ние для аппроксимации частотной характерис­ тики группового време­ ни канала тч находят тригонометрические по­ линомы. Причем обыч­ но аппроксимируемую характеристику смеща­ ют вниз и продолжают до пересечения с осью, как показаноштрихпунктирной линией на

рис. 2.8. Это необходимо для того, чтобы на границах аппроксимируемого интервала частот, заменяемого ин­ тервалом от —я/2 до я/2 на дополнительной оси <ри ха­ рактеристика имела нулевые значения, наиболее удоб­ ные для представления тригонометрическими функциями. Тогда частотная характеристика группового времени бу­ дет представлена тригонометрическим полиномом вида

коэффициентов ряда Фурье, в том числе рассмотренные ранее расчетные схемы приближенного гармонического анализа.

59