книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

при повороте фаз всех составляющих ряда Фурье реа­ лизации на угол я/2.

Комплексный сигнал S(t) можно также представить в виде

откуда имеем

Решая yip-ния (4.64) относительно S(t) и vlr(t), найдем:

Модуль | S(7) I комплексного сигнала часто называют мгновенной амплитудой сигнала или огибающей сигнала, a ^¥(t) — мгновенной фазой сигнала. Производную от мгновенной фазы по времени (если она существует) на­ зывают мгновенной круговой частотой

Разделив мгновенную круговую частоту на 2л, получим мгновенную частоту, выраженную в герцах:

Огибающая (мгновенная амплитуда) и мгновенная частота, в принципе, отличаются от амплитуды и часто­ ты гармонических колебаний, на которые может быть разложен сигнал с помощью ряда или интеграла Фурье. Гармоническое колебание задается на всей оси временя так, что его амплитуда и частота постоянны и от времени не зависят. Даже если разлагаемый сигнал существует только на конечном отрезке времени (—772, Г/2), то все его составляющие существуют одновременно, однако их значения таковы, что, суммируясь, они дают нулевое зна­ чение функции при t<i—T/2 и t> T f2. Мгновенная ампли­ туда и частота сигнала, в отличие от амплитуды и часто­ ты спектрального разложения, изменяются во времени.

100

Сопряженный сигнал можно получить из S(t), не при­ бегая к разложению в ряд Фурье, е помощью преобразо­ вания Гильберта:

S(t)d т

(4.68)

t — x

Наоборот, сигнал S(t) можно получить из сопряженного обратным преобразованием Гильберта:

Причем интегралы (4.68) и (4.69) понимаются в смысле главного значения

4.2. Переходные процессы при передаче дискретных сигналов

Передача дискретных сигналов по каналам связи со­ провождается переходными или устанавливающимися процессами', которые обусловлены ограничением спект­ ров передаваемых сигналов и влиянием частотных ха­ рактеристик тракта. Переходные процессы вызывают из­ менения формы передаваемых сигналов, что приводит к ошибкам или к снижению помехоустойчивости приема сигналов.

При оценке переходных процессов обычно используют переходные и импульсные характеристики. Под переход­ ной характеристикой понимают реакцию системы на еди­ ничный скачок сигнала, а под импульсной характеристи­ кой — реакцию системы на единичный импульс. Приме­ нительно к каналам связи переходной характеристикой будем называть временную зависимость напряжения (тока) на выходе, соответствующую включению или вы-

101

ключению единичного напряжения (тока) на входе ка­ нала. Если для низкочастотной системы, пропускающей постоянный ток, в качестве единичного скачка сигнала бе­ рут скачок постоянного тока (рис. 4.3а), то для канала

Фт

связи следует выбирать единичный скачок, заполненный несущим колебанием (рис. 4.36). Функцию включения сигнала переменного тока (передний фронт) можно за­ писать в виде

где 60 — амплитуда импульса.

При t0-+-0 единичный импульс представляется

102

Частотный спектр единичного импульса согласно (4.72) и (4.25) определяется

Так как единичный импульс является четной функцией, то второй интеграл в (4.74) равен нулю. Тогда

Частотный спектр единичного импульса имеет беско­ нечную ширину и постоянную амплитуду. Поэтому им­ пульсная характеристика канала определяется только свойствами канала и является преобразованием Фурье коэффициента передачи.

Однако практически качество передачи дискретных сигналов по каналам связи оказывается удобным анали­ зировать непосредственно по переходным процессам при передаче элементарных импульсов, имеющих длитель­ ность t0, или их комбинации. Методика расчета времен­ ной функции сигнала на выходе канала в общем случае заключается в следующем:

—определяется функция спектральной плотности пе­ редаваемого сигнала;

—по заданному коэффициенту передачи и известной функции спектральной плотности передаваемого сигнала определяется функция спектральной плотности сигнала на выходе;

—по известной функции спектральной плотности сиг­ нала на выходе канала определяется временная функ­ ция сигнала.

1 0 3

В качестве математического аппарата при таких рас­ четах наиболее часто используется преобразование Фурье, которое позволяет сравнительно просто получить интегральные соотношения, дающие возможность пред­ ставить их табулированными функциями интегрального синуса и косинуса, либо вычислить численными методами с помощью ЭВМ. Иногда оказывается целесообразным при расчете переходных характеристик использовать ря­ ды Фурье, особенно при определении изменений формы испытательных сигналов, имеющих длительность, превос­ ходящую время переходных процессов, или периодически' передаваемых по каналу. Расчеты в этом случае могут быть столь громоздкими, что без применения ЭВМ их выполнить затруднительно.

Расчет переходных процессов классическим методом решения дифференциальных уравнений возможен лишь при анализе сравнительно простых электрических схем, не имеющих разветвленных многоконтурных цепей. При­ менение данного метода для расчета процессов установ­ ления сигналов в каналах связи невозможно.

Операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа, по сравнению с классическим методом решения дифференциальных уравнений обладает рядом преиму­ ществ, значительно облегчающих нахождение решения. Поэтому применение преобразования Лапласа для ис­ следования переходных процессов в электрических це­ пях, схемы которых известны (фильтры, выравниватели, корректирующие цепи и др.), оказывается более эффек­ тивным, чем использование других методов расчета. Од­ нако расчет переходных процессов, происходящих в ка­ налах при передаче дискретных сигналов, с помощью преобразований Лапласа связан с большими трудностя­ ми, вызываемыми аппроксимацией электрических харак­ теристик тракта.

Таким образом, основными методами расчета пере­ ходных процессов, происходящих в каналах связи при передаче дискретных сигналов, являются методы, осно­ ванные на применении интеграла и ряда Фурье, к рас­ смотрению которых мы переходим.

И с с л е д о в а н и е у с т а н а в л и в а ю щ и х п р о ­ ц е с с о в с п о м о щ ь ю и н т е г р а л а Фурье . Од­ ним из наиболее распространенных случаев анализа пе­ реходных процессов является анализ передачи одиночно­ го элементарного импульса, длительность которого to­

rn

=tz—h. Поэтому методику применения интеграла Фурье для расчета временной зависимости сигнала на выходе канала рассмотрим для данного случая.

Пусть задан одиночный заполненный импульс (рис. 4.5), который математически можно записать условием

цию спектральной плотно­ сти (4.25), учитывая, что сигнал отличается от ну­ ля только на интервале времени li—12. Тогда

Ф(®) = Л (со) — ifi(co)= J S(t)e~ i(aidt =

105

Используя вещественную составляющую последнего соотношения и учитывая четность А (со) и нечетность В (со) относительно круговой частоты со, можем записать выражение интеграла Фурье в тригонометрической форме:

Для рассматриваемого случая передачи одиночного им­ пульса имеем

Прежде всего, рассмотрим прохождение одиночного импульса по каналу, частотные характеристики которого аппроксимируются характеристиками идеального фильт­ ра, т. е. затухание в полосе пропускания равно нулю, а в полосе задержания — бесконечности; фазо-частотная ха­ рактеристика линейная. Коэффициенты передачи такого канала можно представить

где 6(со), ф(со) — соответственно ФЧХ постоянной пере­ дачи и коэффициента передачи.

106

Согласно соотношению (2.6) напряжение на выходе канала определяется H2=(i/i/((co)e1<p<<0) > поэтому для случая передачи одиночного импульса с учетом выраже­ ний .(4.80) и (4.82) можем записать

Подставляя (4.81а) и (4.816) в (4.83), получим выраже­ ние, состоящее из восьми интегралов, из которых рас­ смотрим первый и шестой:

Объединяя интегралы и нроизводя тригонометрические преобразования, получим

107

Введем новую переменную y=a>i(t—12—то). Подстав­ ляя dy= (t—to—Tojofcob можем записать для суммы интег­ ралов

X {Ci (<лн— со0)(t — t2 — т0)— Ci (сов — со0) (t — t2 — т0)}.

Аналогичные преобразования других шести интегра­ лов, полученных из соотношения (4.83), и объединение одноименных составляющих дает выражение для напря­ жения на выходе, соответствующее передаче одиночного импульса по каналу с характеристиками идеального фильтра:

108

Первые две составляющие выражения (4.84) обычно называются основными синфазной и ортогональной со­ ставляющими, а две другие — дополнительными. Такое название связано с тем, что при передаче сигналов по отно­ сительно узкополосным каналам (©о^Юв— величина дополнительных составляющих становится пренебрежи­ тельно малой по сравнению с основными составляющи­ ми. Изменения формы сигналов, возникающие за счет действия дополнительных составляющих, часто называют искажениями за счет низкой несущей. Для их устранения приходится выбирать большой частоту несущего колеба­ ния, что требует последующего преобразования частот при переносе спектра сигналов в полосу частот канала.

Заметное упрощение выражения (4.84) может быть сделано при условии симметричного расположения несу­ щей относительно эффективно передаваемой полосы час­ тот канала [©<>= (юв+ ©н)/2], при котором Q(xt) = Q(xz) — =0. Тогда, при условии исключения дополнительных со­ ставляющих, в выражении сигнала останется только од­ на синфазная составляющая

Формулу (4.87) обычно используют для расчета оги­ бающей сигнала на выходе канала и оценки действия

109