книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

Г Л А В А 3. РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КАНАЛОВ СВЯЗИ

3.1. Общие положения

При оценке качества передачи сигналов и определе­ нии требований к корректирующим устройствам, помимо ■измерения, важную роль играет расчет частотных харак­ теристик каналов. Такой расчет возможен, поскольку между частотными характеристиками имеется зависи­ мость. Наиболее простой является зависимость между фазо-частотной характеристикой и ее неравномерностью. Связь частотной характеристики группового времени с фазо-частотной характеристикой оказывается значи­ тельно сложнее и при переходе от одной характеристики к другой приходится осуществлять операцию интегриро­ вания или дифференцирования. Еще более сложной яв­ ляется зависимость между амплитудно-частотной и фа­ зо-частотной характеристиками, причем, как известно, эта зависимость существует лишь для цепей минимально фазового типа. Напомним, что к цепям минимально фа­ зового типа относятся цепи, передаточные функции кото­ рых не имеют нулей в правой полуплоскости комплекс­ ной плоскости р (ем. гл. 8). Каналы связи, образован­ ные аппаратурой уплотнения, как правило, могут быть отнесены к цепям этого типа. Однако каналы, образо­ ванные системами уплотнения, в оборудовании которых используются мостовые фильтры, могут и не относиться к минимально-фазовым цепям. Поэтому данный вопрос требует конкретного решения в каждом отдельном слу­ чае рассмотрения связи АЧХ и ФЧХ.

3.2. Расчет характеристики группового времени по данным измерений ФЧХ

Часто бывает необходимо рассчитать частотную за­ висимость группового времени по данным измерений ФЧХ. Если известно математическое выражение ФЧХ, то можно, используя ф-лу (1.4), получить выражение для

60

^гр. Так, п.ри аппроксимации ФЧХ полиномом (2.11) для группового времени получаем

Дифференцируя выражения для неравномерности ФЧХ, -например (2.14), можно получить выражение для неравномерности частотной характеристики группового времени:'

Полученные выражения (3:1) ,и (3.2) требуют некото­ рых дополнительных преобразований: в первом случае характеристику следует сместить вниз по оси ординат на bi, чтобы устранить постоянную составляющую, а во втором случае — вверх на ftt, чтобы исключить отрица­ тельные значения характеристики группового времени в эффективно передаваемой полосе частот канала.

Расчет по приближенной ф-ле (1.12), согласно кото­ рой групповое время определяется отношением измене­ ния ФЧХ к изменению круговой частоты, может произ­ водиться либо с использованием одинаковых частотных интервалов, либо с использованием одинаковых интер-. валов сдвига фазы.

В первом случае расчет частотной характеристики группового времени графо-аналитический и заключается в том, что на графике ФЧХ отмечают одинаковые ча­ стотные интервалы А/ и определяют величину сдвига фазы АЬ на каждом из этих интервалов. Затем, исполь­ зуя ф-лу (1.12), рассчитывают групповое время, относя его к средней частоте интервала. При этом необходимо, чтобы используемые величины имели следующие размер­ ности:'

Во втором случае расчет частотной зависимости груп­ пового времени в основном аналитический и заключает­ ся в использовании данных измерений ФЧХ, например, значений частот, при которых отмечается кратность я Функции b (со), что соответствует сдвигу фазы на я рад или 180°. Вычисляя величину разности частот между со­ седними точками, как это показано на рис. 3.1, опреде­ ляют по ф-ле (3.3) групповое время, относя его значение 'к средней частоте |рассм'атриваемюго интервала.

61

Для перехода от характеристики группового времени к ее неравномерности согласно (1.5) принимают за ис­ ходное ^Гро минимальное значение при частоте /= 1900 Гц.

Сравнение характеристик группового времени кана­ лов тч, рассчитанных по данным измерений ФЧХ, с из­ меренными непосредственно, показывает, что они совпа­ дают в большей части эффективно передаваемой полосы

' b(i)

частот канала. Некоторое расхождение наблюдается на крайних частотах, а также в точках, где характеристики группового времени резко изменяются. Последнее объяс­ няется, главным образом, тем, что резкие изменения ха­ рактеристики, происходящие в узком диапазоне частот, соответствуют малым изменениям фазы, незначительно влияющими на общий перепад фазовой характеристики. Поэтому рассчитанные характеристики группового вре­ мени оказываются более сглаженными, чем измеренные характеристики. Однако, учитывая, что на процесс пере­ дачи дискретных сигналов заметно влияют лишь боль­ шие отклонения фазовой характеристики от прямой ли­ нии, с малыми изменениями можно не считаться. Сле­ довательно, несмотря на имеющиеся расхождения рас­ считанных и измеренных характеристик, рассмотренные методы пересчета характеристик вполне оправдывают себя и могут применяться в процессе обработки экспе­ риментальных материалов и расчете формы передавае­ мых дискретных сигналов на выходе каналов тч. Расчет группового времени по данным измерений ФЧХ оказы­

62

вается целесообразным при исследовании свойств от­ дельных элементов аппаратуры: фильтров, постоянных линейных выравнивателей, усилителей и корректирую­ щих устройств.

3.3. Расчет неравномерности по данным измерений ФЧХ

Неравномерность ФЧХ может быть определена по данным измерений фазовой характеристики графиче­ ским или графо-аналитическим путем. При графическом расчете неравномерности необходимо построить ФЧХ канала и провести прямую линию, по отношению к кото­ рой отсчитывается отклонение. Немаловажную роль при этом играет масштаб, принятый по осям координат. С одной стороны, он влияет на размеры чертежа, а с дру­ гой стороны, определяет точность расчетов. Удобными для рабочих чертежей, используемых нами при расчете неравномерности, являются следующие размеры: по оси абсцисс в 1 см — 50 Гщ, а по оси ординат в 1 см — 136°.

При построении графика неравномерности за относи­ тельную нулевую точку берут обычно значение фазы на одной из средних частот кратности я фазовой характе­ ристики.

Методика графического построения неравномерности наглядно показана на рис. 1.2 и 2.7. Так, на рис. 1.2, где изображена типичная ФЧХ канала тч, проведены пря­ мые линии АВ и CD, относительно которых отсчитывает­ ся неравномерность. При этом получаются два вида не­ равномерности (ом. рис. 2.7); bai((i>), отсчитываемая от­ носительно прямой АВ, и blt2(a), отсчитываемая относи­ тельно прямой CD. Для математической записи первого вида неравномерности удобно использовать тригоно­ метрический полином, а для аппроксимации второго ви­ да неравномерности алгебраические полиномы.

При графо-аналитическом расчете неравномерности по данным измерений ФЧХ методом диапазонного гене­ ратора с отсчетом частот, соответствующих сдвигу фазы, кратному я, необходимо, прежде всего, наметить точку, принимаемую за относительное нулевое значение фазо­ вой характеристики /0 (рис. ЗЛ). Обычно эта точка вы­ бирается в средней пасти эффективно передаваемой по- ■ласы частот. Затем находят интервал частот А/0, опреде-

.ляющий значение наклона фазовой характеристики:

Д /о ~ (/макс / мин)/^>

63

Далее определяют частные разности частот соседних значений кратности л(Л/ъ Л/г, .... А/ь) (ом. рис. 3.1).

Простые геометрические построения позволяют выве­ сти расчетное соотношение для определения отклонения

где «+ » для области частот /</о, а «—» для области ча­ стот />/„. Значение Ьи получается в градусах.

По ф-ле (3.4) можно рассчитать значения Abk для различных величин отношения А/ь/А/о. Данные таких расчетов приведены в табл. 3.1. Причем необходимо по­ мнить, что для области частот /> /0 знаки неравномерно­ сти берутся согласно таблице, а для области частот /</о их следует 'изменить на обратные.

Используя ф-лу (3.4) или данные табл. 3.1, легко оп­ ределить Abi для участка /о-п/i, А&г — Для fi-i-fz и т. д. Тогда частотная зависимость неравномерности ФЧХ бу­ дет определяться для различных частот следующим об­

Т А Б Л И Ц А 3-1

64

Для того чтобы исключить накапливание ошибок в расчете при большом числе точек, можно сразу опреде­ лить отклонение bHh для k-n точки кратности я фазовой характеристики, преобразуя ф-лу (3.4) следующим об­ разом:

где «+ » для области частот /</о; «—» для области ча­

стот /> /0.

Полученные для различных частот значения неравно­ мерности bHk соединяются плавной кривой или отрезка­ ми прямых линий. В зависимости от целей расчета не­ равномерности ФЧХ придается нужный вид: bni(<a) или

Ьн2 (<о) (см. рис. 2.7).

Если анализируемая ФЧХ имеет небольшой перепад фазы (3—4 точки кратности я) и если известны частоты промежуточных значений характеристики, то интервалы равных приращений фазы могут быть взяты меньшими,

например, 90, 60 или' 3(0°. Тогда в ф-лах (3.4) и (3.5)

вместо числового коэффициента 180° следует брать соот­ ветственно 90, 60 или 30°. Это позволяет повысить точ­ ность определения неравномерности ФЧХ.

3.4.Расчет неравномерности ФЧХ по данным измерений частотной зависимости

группового времени

Расчет неравномерности ФЧХ по данным измерений группового времени является самым распространенным и наиболее интересным. Это объясняется тем, что частот­ ная зависимость группового времени, в отличие от фа­ зовой характеристики, может быть измерена в каналах тч, вход и выход которых находится в разных пунктах.

Согласно определению trp=db((o)/d<o, откуда Ь(ш) = =j* tfjydto+ C. Следовательно, переход от характеристики

группового времени к фазо-частотной характеристике связан с интегрированием функций. Так как в общем случае нам известна неравномерность группового време­ ни, то после интегрирования мы получим значение не­ равномерности ФЧХ:*

(3.6)

Используя математическую запись неравномерности группового времени, можно представить неравномер­ ность ФЧХ в виде интеграла е переменным верхним пре­ делом;

При аппроксимации группового времени параболой

Аналогично этому легко получаются выражения для АЬ(и>), соответствующие случаю аппроксимации нерав­ номерности группового времени канала тч алгебраиче­ ским и тригонометрическим полиномами (2.25) —(2.27).

При использовании приближенного выражения для неравномерности группового времени, учитывающего от­ ношение конечных приращений вместо бесконечно ма­ лых, т. е.

Походя из определения группового времени, на осно­ вании которого получено последнее выражение, можно сделать следующее утверждение: если на участке поло­ сы частот шириною Д/ групповое время постоянно, то изменение фазовой характеристики на этом участке бу­ дет линейным, а общий перепад фазы определится ши-

66

риной участка и значением функции группового времени. Тогда Дб = 2яА/Л4р(о)). Следовательно, для практиче­ ских расчетов неравномерности необходимо характери­ стику группового времени разбить на участки, каждый из которых имеет ширину Д/. Используя ступенчатую ап­ проксимацию, можно принять значение функции на каж­ дом из этих участков равным среднему значению (обыч­

X 10-¥k^rp= 0,628A^pi, рад или Д6г = 0,628Д/грг -^2- =36Х

XA/rpi, Прад. При иной ширине участка ступенчатой ап­ проксимации группового времени перепад фазы будет другим. Для удобства проведения подобных расчетов следует пользоваться данными табл. 3.2, в которой при­ ведены величины сдвига фазы, соответствующие значе­ ниям неравномерности группового времени при различ­ ной ширине частотных участков.

Используя значения неравномерности характеристи­ ки группового времени и данные табл. 3.2, легко опреде­ лить перепады фазы на каждом из частотных участков. Суммируя полученные значения перепада фазы на от­ дельных участках, рассчитывают общую частотную зави­ симость неравномерности:

П

i=i

Расчет и построение графика неравномерности ФЧХ АЬ(ы) с последующим выбором соответствующей пря­ мой позволяет привести неравномерность к одному из обычных видов: или (см. рис. 2.7). Пример графического построения неравномерности ФЧХ канала тч по данным измерений группового времени приведен на рис. 3.2. Аппроксимацию частотной характеристики

группового времени и вычисление неравномерности фа­ зо-частотной характеристики удобно выполнять на спе­ циальных стандартных бланках. На рис. 3.2а и б приве­ дены стандартные бланки с частотной характеристикой группового времени и расчетом неравномерности одного из каналов аппаратуры уплотнения симметричного кабе­ ля. Суммирование отклонений фазы отдельных участков целесообразно производить в двух направлениях: от средней частоты /а вправо и влево. Для приведения по­ лученной неравномерности АЬ(оз) к виду bni(<a) необхо­ димо пересчитать ее относительной прямой АВ, что ока-

68

зывается удобным для тригонометрической аппроксима­ ции. Амплитуда неравномерности, как следует из рис. 3.26, получается порядка р = 90° (показано утолщенной линией со стрелкой).

Погрешность расчета неравномерности ФЧХ, опреде­ ляемая неточностью отсчета At,v и погрешностью числен­ ного интегрирования, не превосходит 3° в полосе частот 500-^3000 Г.ц и 5—6° на краях эффективно передавае­ мой полосы частот.

3.5. Связь ФЧХ и АЧХ цепи минимально фазового типа

Из теории линейных электрических цепей известно, что фазо-частотная и амплитудно-частотная характери­ стики постоянной передачи цепи минимально фазового типа являются взаимосвязанными. Это и позволяет рас­ считать фазо-частотную характеристику тракта по из­ вестной амплитудно-частотной характеристике. Учиты­ вая сравнительную простоту измерения амплитудно-ча­ стотной характеристики тракта и трудности измерения фазо-частотной характеристики, легко понять стремле­ ние определить ФЧХ тракта по данным измерений его амплитудно-частотной характеркотики.

Вопрос о связи между амплитудно-частотной и фазо­ частотной характеристиками постоянной передачи, рав­ но как и вопрос о том, насколько полно характеризует систему знание одной из характеристик постоянной пере­ дачи, ставился в литературе сравнительно давно. Одна­ ко практическое применение формул связи между веще­ ственной и мнимой составляющими постоянной передачи для расчета ФЧХ оставалось долгое время затрудни­ тельным. Попытка разработать инженерный метод рас­ чета ФЧХ по заданной АЧХ была предпринята автором

более поздних работах ('см. тл. 8) она рассматривается вместе с энергетическими соотношениями сигналов и проблемами аппроксимации, что непосредственно опре­ деляет возможности корректирования тракта цепями минимально фазового типа. Постановка такой задачи несколько отличается от задач, решаемых в данной гла­ ве, и поэтому более подробно она рассматривается в ча­ сти III.

69