книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

новная круговая частота, относительно которой берутся учитываемые гармонические составляющие. При Т-*-оо,

обратным преобразованием функции Ф(со). Символиче­ ски эти преобразования записываются в виде

— оо

чтобы функция S(t) была бы абсолютно интегрируемой. Однако это условие является достаточным, но не необ­ ходимым. Так, например, единичный скачок напряже­ ния, скачок синусоидального или косинусоидального на­ пряжения и, наконец, переменное напряжение sin со»/ или cos (dot не удовлетворяют условию абсолютной ин­

90

тегрируемости, однако для них могут быть получены преобразования Фурье. Для этого сначала можно счи­ тать, что, например, синусоидальное напряжение суще­ ствует только на интервале времени (—772, Т/2) и пред­ ставить его преобразованием Фурье, а затем увеличи­ вать данный интервал, полагая его практически сколь угодно большим. Применяются и другие искусственные приемы представления функций в виде ряда, в частно­ сти, преобразование Лапласа, которое можно рассматри­ вать обобщением преобразования Фурье.

Пусть задано колебание U(t), не удовлетворяющее условию абсолютной интегрируе,мости. Умножим его на е_с(, где с —1положительная константа, выбранная так,,

чтобы колебание U<(t)e~ct удовлетворяло условию абсо­ лютной интегрируемости (это достигается выбором до­ статочно большой с). Функция спектральной плотности нового колебания в соответствии с (4.25) определяется

Следовательно, заданная функция должна быть такой,,

Если произвести над 0 (c + ico) обратное преобразование Фурье, то получим

с — i о)

91

с — i оо

Прямое преобразование Лапласа позволяет по за­ данной временной функции U(t) получить спектральную ■функцию в комплексной плоскости р, т. е. функцию У(р) = Ф(р), называемую изображением оригинала U{i). Обратное преобразование Лапласа, заключающееся в интегрировании вдоль вертикальной прямой c=const в комплексной плоскости р, позволяет получить временную

•функцию U(t) по заданному изображению оригинала. Символически преобразования Лапласа принято обо­ значать так:

Помимо методов представления сигналов с помощью ряда или интеграла Фурье и преобразования Лапласа, возможны другие методы, связанные с использованием различных систем ортогональных функций. Однако мы ограничимся рассмотрением лишь указанных методов, так как только они получили наибольшее распростране­ ние для анализа переходных процессов, происходящих при передаче дискретных сигналов.

П р е д с т а в л е н и е с и г н а л о в с в я з и с л у ч а й ­ н ы м и к о л е б а н и я м и . Одним из основных положений ■современной теории связи является то, что сигналы яв­ ляются случайными функциями, так как никакая детер­ минированная функция времени не может быть пере­ носчиком сообщения. Более того, для получателя сооб­ щения наибольший интерес представляют те сигналы, которые заранее менее известны.

Случайный процесс можно рассматривать состоящим из различных детерминированных функций времени (реализаций случайного процесса), возникающих с опре­ деленными вероятностями. Вероятность появления раз­ личных реализаций сигнала определяется свойствами ис­ точника сообщения и передающего устройства. Множе­

92

ство детерминированных функций времени, для которо­ го задано распределение вероятностей, называют ансам­ блем. Последний может быть дискретным, если переда­ ются дискретные сообщения, или непрерывным — при передаче непрерывных либо дискретных сообщений.

Обозначим ансамбль реализаций сигнала через S ( t ) , а отдельные его реализации той же буквой с индексами:

S i ( t t ) , . . . , S r ( t r ) .

Случайный процесс S ( t ) полностью характеризуется, если для любых моментов времени t u 4, . . t n (при лю­ бом п) задана его я-мерная функция:

Fn(Sv <S2,..., Sn, tlt t2,..., tn) = p {S(/j)< Slt S(t2) <

где p{ } — вероятность неравенств, записанных в фи­ гурных скобках.

Однако обычно ограничиваются одномерной или двухмерной функцией распределения:

Иногда случайный процесс, помимо функции распре­ деления, задается плотностью вероятности, если она су­ ществует. Тогда для (4.35) имеем

h)

Известно, что математическое ожидание и дисперсия случайного процесса S(t) являются в общем случае функциями времени:

причем интегрирование производится по всей области оп­ ределения случайной величины S.

Для отдельной реализации сигнала можно опреде­ лить среднее значение во времени или постоянную со­ ставляющую

93

Г-® T J

—Г/2

ипеременную составляющую

Если шо1д S r(t) 'подразумевается величина тока или напряжения, то квадрат этой величины 'будет иметь фи­ зический смысл мощности, выделяемой на coinipiOTH'Bneнии в 1 Ом:

Г/2

—Г/2

где Pr, Pr» — мощность сигнала и мощность переменнойсоставляющей (черта над символом означает усреднение по времени).

Важное значение для характеристики случайного процесса имеет функция корреляции, определяемая как математическое ожидание произведения [S(Tij— —MS(7i)][S(72)—MS(tz)\. В общем случае она является функцией двух моментов времени — R(t\, к)-

Для стационарного случайного процесса математи­ ческое ожидание и дисперсия постоянны и не зависят от

значений. Сигналы связи, как правило, не являются ста­ ционарными, что следует, во-первых, из ограниченности сигналов во времени и, во-вторых, из ограничений поло­ сы частот каналов связи, по которым передаются сигна­ лы, следствием чего являются переходные и устанавли­ вающиеся 'процессы. Однако с известным приближением их можно рассматривать как отрезки стационарных про­ цессов. Так, например, при анализе помехоустойчивости приема сигналов обычно рассматривают соотношение мощности сигнала и помехи в моменты времени, когда переходные процессы уже закончились. Это позволяет приближенно полагать исследуемые процессы стацио-

G4

парными и применять для них известные формулы рас­ чета вероятности ошибки.

Стационарные случайные процессы, называемые эргодическими, обладают тем свойством, что их средние значения по времени совпадают со средними значения­ ми по ансамблю:

3 , = MS(f); Pr« = D S (t) и р(т) = Д(т). (4.42)

Это дает возможность вместо усреднения по времени использовать усреднение по ансамблю, т. е. позволяет полапать, что математическое ожидание сигнала совпа­ дает с его постоянной составляющей, дисперсия — с мощ­ ностью переменной составляющей, а временная функция корреляции — с функцией 'корреляции. Так, временную функцию корреляции для реализации сигнала Stft), по­ лагая рассматриваемый случайный процесс эргодическим и учитывая (4.40), можно представить

772

—Г/2—т

(4.43)

Многие сигналы связи и помехи в каналах прибли­ женно можно считать эргодическими случайными, если полагать, что -определение по времени выполняется не в бесконечных, а в конечных, хотя и значительно превос­ ходящих длительность сигналов, пределах.

При передаче дискретных сообщений, преобразован­ ных путем кодирования в последовательность симво­ лов, на передачу каждого символа отводится определен­ ный интервал времени. В зависимости от применяемого метода кодирования этот интервал времени может быть

передачи. Обычно при анализе процессов передачи сиг­ налов время отсчитывается от середины элементарного импульса (от —7/2 до 7/2), поэтому будем считать сиг­ нал случайной функцией, заданной на этом интервале времени:

9 5

Каждая реализация элемента сигнала дискретных си­ стем передачи представляет собой отрезок гармониче­ ского колебания

Однако при анализе трактов передачи непрерывных и дискретных сообщений нельзя рассматривать элемент сигнала состоящим из отрезка гармонического колеба­ ния, так как он имеет более сложную зависимость. Реа­ лизацию сложного сигнала обычно представляют в виде ряда Фурье:

*=0

(4.46)

где <д)о='2я/Т. В правой части соотношения (4.46) стоит регулярная функция, слева — случайная, а рассматри­ ваемое равенство справедливо только на интервале

(—772, 7/2).

Представление сложного сигнала в виде ряда Фурье допускает и другую трактовку. При этом полагают, что в правой и левой частях равенства (4.46) стоят случай­ ные функции, причем в тригонометрическом ряду случай­ ными величинами являются ан и Ьи, которые принимают с определенной вероятностью значения, соответствующие отдельным реализациям сложного сигнала.

Важной характеристикой сигнала является спект­ ральная плотность, определяемая с помощью интеграла Фурье. Реализация элемента сигнала Sr(t), заданная на интервале (—7/2, 7/2) и равная нулю вне этого интер­ вала, удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютной интегрируемости, поэтому для нее аналогично (4.25) можно записать:

Г/2

ФД(о)=|ФДа))|е-^(и)= ГS r ( t ) е ~ ш d t — J S r ( t ) е ~ ш *d t .

—772

(4.47)

Отсюда действительная и мнимая части комплексной спектральной плотности

96

Г/2

Re Фг(и) = f Sr(t) cos © t dt

— T/2

(4.48)

Т /2

Im Фг (ш) = — ^ Sr(t)sin a tdt —T/2

Если сравнить (4.48) с выражениями коэффициентов ря­ да Фурье (4.11), которые для рассматриваемого случая можно зависать в виде

то для положительной и отрицательной области частот, полагая <» = &а)о и а> ——Лаю, легко получить

Из (4.49) следует, что коэффициенты ряда Фурье с точностью до постоянного множителя равны ординатам действительной _ и мнимой частей комплексной спект­ ральной плотности в точках ю, кратных «о.

Несмотря на удобство исследования случайных про­ цессов с помощью спектральной плотности, часто прихо­ дится вместо этого пользоваться спектральной плотно­ стью мощности, так как не всегда удается определить спектральную плотность.

Пусть на интервале (—Г/2, Г/2) задана S r(t) — одна из реализаций сигнала или помехи. Тогда средняя мощ­ ность определяется

—Г/2

Спомощью обратного преобразования Фурье можно вы­ разить Sr(t) через ее комплексную спектральную плот­ ность:

Подставляя (4.51) в (4.50) и меняя порядок интегриро­ вания, получим

Сравнивая внутренний интеграл (4.52) с (4.47), уста­ навливаем, что он является комплексно-сопряженной ве­ личиной комплексной спектральной плотности, которая обычно обозначается со звездочкою

оо ее

Так как модуль комплексной спектральной плотности яв­ ляется четной функцией, то (4.53) запишется так:

2

где Gr(f)= — |ФГ('©Я2~ функция, характеризующая

распределение средней мощности сигнала (помехи), за­ данного на интервале длительностью Т. Эту функцию иногда называют также энергетическим спектром.

Поскольку энергетический спектр определяется квад­ ратом модуля спектральной плотности, то он не зависит от фазовых соотношений составляющих и не изменяется при сдвиге сигнала во времени. Энергетический спектр случайного процесса, заданного на интервале (—Г/2, Г/2) и равного нулю вне этого интервала, можно опре­ делить как среднее по всем реализациям:

9 8

Более строго энергетический спектр случайного про­ цесса определяется с помощью интеграла Фурье от функ­ ции корреляции

Обратное преобразование Фурье позволяет найти функ­ цию корреляции

Сигнал, заданный на интервале (—7/2, Т/2 ) тригономет­ рическим рядом Фурье (4.46), можно рассматривать как вещественную часть комплексного ряда

Сравнивая полученным ряд (4.61) с выражениями (4.16) и (4.19), следует подчеркнуть разницу между ни­ ми, заключающуюся в том, что ряды (4.16), (4.19) опи­ сывают вещественную функцию, тогда как ряд (4.61) представляет комплексную функцию, несмотря на, каза­ лось бы, одинаковую математическую запись. Из (4.61).

и (4.60) легко найти мнимую часть S(t), которая выра~ жается рядом Фурье:

k = 0

л

Функция S(t) — сопряженный сигнал — отличается от реализации сигнала S(t) тем, что изменены места си­ нусов и косинусов с учетом знаков, которые получаются