книги из ГПНТБ / Процессы переноса в близи поверхности раздела океан - атмосфера

угловыми спектрами волнения при условии выполнения дисперси­ онного соотношения сo2 = gk:

известными статистическими характеристиками морской поверхно­ сти— ее спектрами. Однако при этом скорость набегающего на волну потока и считалась заданной постоянной величиной, не свя­ занной со свойствами поверхности. В противном случае проведение осреднения было бы крайне затруднительно и простой связи силы сопротивления формы со спектром волнения получить нельзя.

В 1957 г. Майлз вывел уравнение типа уравнения Орра—Зом- мерфельда для расчета количества движения, передаваемого от­ дельной спектральной составляющей волнового поля за счет сдви­ нутого по фазе компонента поля давления воздушного потока. Идеи Майлза основаны на представлениях теории гидродинамической не­ устойчивости, т. е. скорее интересны для задач о возникновении турбулентности или о взаимодействии различных компонентов тур­ булентного поля между собой (Филлипс, 1967). Поэтому количест­ венные результаты его теории вряд ли приложимы к оценкам взаи­ модействия развитого турбулентного потока с волнами.

В обобщенной теории Филлипса—Майлза (Филлипс, 1969) спектр поля давления в приповерхностном слое воздуха разбива­ ется на две части: одна часть — это чисто турбулентные флуктуа­ ции, не зависящие от свойств поверхности, другая — возмущения, вносимые волнами в воздушный поток. Воздействие первой части спектра существенно на ранних стадиях развития волнения, при этом энергия волновых колебаний линейно возрастает со временем, что вообще характерно для движения под воздействием случайных сил, не коррелированных со скоростями.

Вторая, индуцированная волнами часть спектра должна вызы­ вать экспоненциальный рост энергии. Однако найденный Майлзом «коэффициент усиления» каждой составляющей волнового поля определяется довольно тонкими дифференциальными характери­ стиками профиля скорости воздушного потока, который задается априорно, тогда как на самом деле поле скоростей вблизи поверх­ ности, а следовательно, и напряжение Рейнольдса формируются под воздействием препятствий.

92

В нашей задаче существенно то, что турбулентность в ней явля­ ется доминирующим фактором, а не поправочным членом и что поле скоростей воздуха в приповерхностном слое определяется си­ стемой уравнений (3.33) и (3.34). При такой форме записи урав­ нений приповерхностного слоя исследованные в главе 1 индуциро­ ванные волнами колебания воздуха, наложенные на «истинную» турбулентность, явно не входят в систему.

Взаимодействие этих колебаний с полем турбулентности может быть отражено либо какой-нибудь специальной гипотезой для ха­ рактерного масштаба турбулентных флуктуаций I, либо через ко­ эффициент у. Но поскольку, как показано в главе 1, это взаимодей­ ствие слабое, то естественно предположить, что основные свойства приповерхностного слоя воздуха над морем можно получить из той же системы уравнений, пригодной для описания широкого класса приповерхностных слоев. Как покажут дальнейшие оценки (см. п. 3.6), значения полного коэффициента сопротивления для моря, вычисленные на основе решения этой системы, удовлетворительно согласуются с экспериментом (см. главу 2).

В системе уравнений (3.33) и (3.34) параметры, характеризую­ щие морскую поверхность, являются набором условных величин, требующих специального определения. Поверхность рассматри­ вается как совокупность отдельных волн, каждая из которых имеет высоту h, среднюю эффективную скорость движения с, длину X и коэффициент аэродинамического сопротивления у, вообще говоря, функционально связанный с /г и с.

Поэтому переход от полученных простых связей величин силы сопротивления формы и касательного трения с высотами, скоро­ стями движения и аэродинамическими характеристиками препятст­ вий к реальной зависимости этих величин от скорости ветра и со­ стояния морской поверхности является далеко не тривиальным.

Вопрос о том, как рассматривать морскую поверхность — как совокупность отдельных волн более или менее реальной формы или как результат суперпозиции отдельных гармоник — членов стоха­ стического ряда Фурье—Стильтьеса, возникал неоднократно, в ча­ стности, он обсуждается при разборе способов решения уравнения энергетического баланса волн в работе Крылова (1966). С точки зрения Крылова, наиболее перспективным было бы решение урав­ нения энергетического баланса в спектральной форме, если бы не «принципиальная трудность, которая заключается в том, что чрез­ вычайно сложно определить энергию, получаемую от ветра различ­ ными спектральными составляющими».

Строго говоря, решение системы уравнений (3.33) и (3.34) дает значения функций и (г) и b (z ), а следовательно, и величину коэф­ фициента сопротивления, определяемую по (3.46), над бесконечной однородной подстилающей поверхностью, покрытой волнами оди­ наковой высоты h с одинаковой скоростью распространения с и с одним и тем же значением параметра yh/X для всех волн. Для того чтобы корректно учесть статистические свойства реальной мор­ ской поверхности, нужно ввести параметры функций распределения

93

вероятностей значений h, с и yh/X непосредственно в систему исходных уравнений (3.33) и (3.34). Это было бы необходимо в слу­ чае достаточно близкого следования отдельных гребней друг за другом. К счастью, расстояния между гребнями отдельных волн до­ статочно велики для того, чтобы можно было пренебречь нали­ чием аэродинамической тени. Поэтому приближенно мы можем считать, что формула (3.46) дает возможность определить величину количества движения, передаваемого отдельной реальной волне. Тогда средний коэффициент сопротивления морской поверхности при заданных внешних условиях, т. е. при фиксированных значе­ ниях скорости ветра и параметров разгона, можно получить, про­ ведя линейное статистическое усреднение значений Си (уh/X\ h\ cjv*) с учетом совместных распределений вероятностей аргументов h, c/v%и yh/X.

Впринципе можно было бы применить систему уравнений (3.33)

и(3.34) для нахождения сопротивления каждой отдельной гармо­

ники волнового поля. Однако в этом случае полное сопротивление никак нельзя было бы получисть простым интегрированием по спек­ тру из-за явной нелинейности коэффициента сопротивления у. По­ этому мы ввели в систему исходных уравнений в качестве характе­ ристик морской поверхности набор условных величин и, прежде чем пытаться применять полученные результаты к морской поверх­ ности, сделаем краткий обзор исследований свойств морского вол­ нения, которые нам будут нужны для решения задачи об усредне­ нии по поверхности.

3.3. Статистические свойства морской поверхности

Накопленный за последние годы обширный материал инстру­ ментальных измерений морского волнения дал возможность прово­ дить стандартный статистический анализ поверхностного волнения как квазистационарного случайного процесса. Большое число работ разных авторов относится к корреляционно-спектральному анализу данных волнографных измерений. Это означает, что по равноот­ стоящим ординатам записи волнографа, снятым через постоянный малый интервал времени А^о, вычисляется корреляционная функция ординат поверхностного волнения R^(At), а затем частотный спектр Sz(со). По результатам аэрофотосъемок морской поверхности или по волнографным измерениям, проводимым одновременно в не­ скольких точках, можно определять пространственно-угловые спек­ тры Sz(k, ср), где ф — угол между направлением волнового вектора и генеральным направлением распространения волн.

Имеется целый ряд аппроксимационных формул, описывающих полученные экспериментально функции S^(a) и S^(k, ф).

Подробный анализ различных формул, аппроксимирующих спектры, можно найти, например, в монографии Крылова (1966), целый ряд выражений для спектров приведен в работе Кононковой (1969), уточненные по большому числу записей волнографа ГМ-16 спектры SE(co) приведены в работе Давидана и др. (1971).

94

В работе Пирсона и Московитца (1964) был проведен анализ спектров волнения на разных стадиях его развития на основе гипо­ тез подобия Китайгородского. Оказалось, что в условиях, близких к условиям установившегося ветрового волнения, основные безраз­ мерные параметры, характеризующие спектр, т. е. дисперсии орди­ нат got/u2 и частота максимума u^o/g, принимают следующие по­ стоянные значения:

В (3.57) и (3.58) скорость и относится к высоте 2= 20 м. В общем

же случае значения а? и со0 являются функциями от безразмерных параметров, характеризующих разгон gX/u2 и время действия ветра gt/u.

Корреляционно-спектральный анализ волнограмм как записей квазистационарного случайного процесса начали проводить сравни­ тельно недавно. В то же время имеется целый ряд работ, обобщаю­ щих результаты многолетних визуальных наблюдений за различ­ ными характеристиками морского волнения в зависимости от ско­ рости ветра и параметров разгона (см., например, Свердруп и Манк, 1947; Корвин-Круковский, 1965; и т. д.). Если считать, что

средняя квадратичная высота волн у h2 равна 2у2о;, то из (3.57) получается следующая величина средней квадратичной высоты волн при установившемся волнении:

Формула (3.59) согласуется с приведенной в работе Свердрупа и Манка оценкой средней высоты визуально наблюдаемых волн, если считать, что высоты визуально наблюдаемых волн соответствуют средней высоте волн обеспеченности 7з (см. ниже).

Как показано в работе Рахманина, цитируемой Крыловым (1966), частота максимума спектра соо связана со средней частотой

со, определяемой как 2я/т (т — средний период), соотношением

со = 1,25со0.

Достаточно посмотреть на волнограмму, чтобы обнаружить, что понятия «высоты» и «периоды» волн условны. Однако после того, как они так или иначе определены, волнограммы позволяют прове­ сти их статистический анализ, т. е. найти функции распределения вероятностей значений высот, периодов и длин волн, как одномер­ ные, так и двумерные (условные).

Результаты такого рода исследований помогают найти связь между визуальными характеристиками морского волнения и его статистическими свойствами. Наиболее подробное определение

95

понятий высот, длин периодов, а также длин гребней для трехмер­ ных волн дано в первой главе монографии Крылова (1966).

Мы приведем здесь определения высот и периодов волнения, взятые из Трудов ЛОГОИН (Давидан и др., 1971), так как именно в этом институте за последние годы получен целый ряд наиболее полных данных о функциях распределения вероятностей различ­ ных параметров, характеризующих поверхностное волнение.

1. Высотой волн называется расстояние по вертикали от наинизшей точки ложбины до наивысшей точки гребня. Между ложби­ ной и гребнем ордината обязательно пересекает среднюю линию.

2. Промежуток времени между регистрацией ложбины и после­ дующего гребня есть полупериод подветренного склона волны. Про­ межуток между регистрацией гребня и следующей ложбины есть полупериод наветренного склона. Период волны состоит из суммы

Отметим, что формулу (3.62а) для распределения периодов можно получить из максвелловского распределения высот (3.60), если счи­ тать, что период Т и высота волны h однозначно связаны между со­ бой, причем h пропорционально Т2. Если принять, что h/% —0,1 и что длина волны и период связаны обычным для гравитационных волн соотношением А, = gT2/2:rt, то действительно получается, что h = = 0,1^Т2/2я. Однако известно, что ни то, ни другое равенство для

п р о ц е с с о в , п о л у ч а ю щ и х с я в р е з у л ь т а т е с у п е р п о з и ц и и в о л н о в ы х к о л е б а н и й , э т а ф у н к ц и я о б ы ч н о н а з ы в а е т с я ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я Р е л е я .

96

ренциальной форме они имеют следующий вид:

Фазовую скорость с нельзя определить непосредственно ни по волнограммам, ни по данным стереофотосъемки поверхности. Если определить ее как

волнения позволяет установить связь между средними параметрами волн различной обеспеченности, например связь обычных средних значений и дисперсий функций распределения с соответствующими характеристиками волн обеспеченности 1jn (п = 3). Этот термин означает, что если все высоты волн расположены в убывающей по­ следовательности, то первая треть этой последовательности -есть «волны обеспеченности 7з»- Если функция распределения высот волн удовлетворяет максвелловскому распределению, то волны обе­ спеченности '/з представляют собой статистическую совокупность с высотами в пределах от hn до оо; средняя нижняя граница hn зна­ чений высоты волн определяется равенством

т. е. hn= l,0bV f?= l ,33/z при условии, что распределение (3.60) вы­ полняется и при больших значениях высот волн h.

После этого легко найти среднюю высоту и средний квадрат вы­ соты волн обеспеченности 7з:

hn h2

Оказывается, что средний квадрат высоты волн обеспеченности

7з в 2,1 раза превышает /г2 всех волн, и, следовательно, дисперсия волн обеспеченности 7з составляет 70% полной энергии спектра волнения.

мерно 0,21 u2/g, что соответствует результатам оценки средних вы­ сот волн по данным визуальных наблюдений, приведенным в работе Свердрупа и Манка (1947).

Сопоставление результатов инструментальных измерений высот волн с данными визуальных измерений, осуществленное недавно Давиданом и его сотрудниками (1970), привело авторов к выводу, что визуально измеряемая высота волн скорее соответствует гра­

ничной высоте hn волн 3%-ной обеспеченности, чем h.,/3 . Однако -

отношение Ло.оз к Л,Л равно 1,33, поэтому разница в оценках не

очень велика.

Труднее определить эффективную среднюю скорость перемеще­ ния волн обеспеченности '/з- Однако грубую оценку можно сделать, если положить /г/Л,= 0,1, c2=10g7i/2n, т. е. считать, что скорость пе­ ремещения пропорциональна корню квадратному из высоты. Тогда

Все описанные здесь характеристики морской поверхности, как спектры, так и функции распределения вероятностей, относятся к состоянию развитого ветрового волнения. Термин «развитое вол­ нение», вообще говоря, неопределенный, и в применении к разным

с приводным слоем воздуха, то под термином «развитое волнение» мы будем понимать такое состояние поверхности, при котором сред­ няя фазовая скорость перемещения волн достигает (0,75н-0,8) «ю- Это определение выбрано потому, что при такой скорости переме­ щения препятствий средняя относительная скорость волны и набе­ гающего на нее воздушного потока приблизительно равна нулю.

Действительно, среднюю скорость воздуха, набегающего на волну высотой h, можно оценить следующим образом:

лл

- u . = - L \ u ( z ) d z = ^ l ^ \ n ^ d z = ^ { \ n ^ - \ \ . (3.67)

Для оценки можно принять zo равным 0,035и| /g и

A = j/r 2 ^ = 0 ,1 4 6 - j- .

После подстановки этих значений получим

u=\8v%. (3.68)

Если принять в качестве отношения v j u i0 величину 4 - 10“2, что со­ ответствует значениям Си, приведенным в главе 2 для умеренных

98

скоростей ветра, то средняя скорость набегающего на волны воз­ душного потока будет равна примерно 0,72«ю. Разумеется, это гру­ бая оценка для скорости перемещения волн в условиях установив­ шегося волнения. Однако она согласуется с формулой (3.58), если ввести величину со, соответствующую частоте максимума волнового спектра: со = g/ыо = gTo/2n, и считать, что для установившегося вол­

нения c= KcgT/2n (константа Кс, согласно Крылову, равна 0,74). Тогда с = 0,74со/1,2, так как Т0= 1,2Т; если принять, что U2o/«io= 1,08,

U,oo • l,z • l,(Jo

3.4.Изменение средних характеристик морской поверхности

взависимости от разгона и времени действия ветра

Состояние морской поверхности при заданном ветре зависит от разгона, т. е. от расстояния до подветренного берега X, и от вре­ мени действия ветра t. Если ветер действует достаточно долго, то единственным параметром, от которого должны зависеть характе­ ристики волнения, является безразмерный разгон gX/u2 (g — уско­ рение силы тяжести, и — скорость ветра). Величина gX/u2 при­ мерно пропорциональна числу длин волн, уложившихся на расстоя­ нии X при ветре с заданной скоростью и.

Как уже упоминалось выше, наибольшее число данных об изме­ нении характеристик волнения с разгоном относится к визуальным наблюдениям за высотами и периодами видимых волн, т. е. прибли­ зительно к волнам обеспеченности 7з.

Эмпирическая зависимость средней высоты таких волн от пара­ метра gX/u2, полученная Вигелем (1963), имеет следующий вид:

(3.69)

Она приведена в виде кривой 1 на рис. 3.12. Кривая 2, иллюстри­

рующая связь средней высоты волн h с разгоном, построена по эм­ пирической формуле в ГОИНе (Ржеплинский и др., 1968) по дан­ ным инструментальных наблюдений за волнением:

(3.70)

Штриховая кривая на рис. 3.12 иллюстрирует результат пересчета (3.70) на среднюю высоту волн обеспеченности 7з- Линии 3 и 4 представляют собой средние кривые, построенные по результатам наблюдений; кривая 3 взята из обзора Корвин-Круковского (1965), а кривая 4 — из работы Свердрупа и Манка (1946).

Сопоставление результатов пересчета (3.70) с данными визуаль­ ных наблюдений может служить подтверждением того обстоятель­ ства, что визуальные наблюдения за высотами дают значения, близ­ кие к высотам волн обеспеченности 7з-

В статье Иконниковой (1968) приведена сводка большого числа данных различных авторов о связи высот волн с разгоном. Харак­ тер всех кривых примерно одинаков, хотя количественные расхо­ ждения велики.

9h

Рнс. 3.12. Зависимость безразмерной высоты волн от безразмерного разгона.

/) g ftjy j/и2, формула Вигеля; 2) gft/u2, по даннымГОПН; штриховая кривая —

результат пересчета данных ГОИН на Л^ 3) среднее по данным наблюдений,

приведенным в обзоре Корвин-Круковского (1965); 4) по данным наблюдений, Свердруп и Манк (1946).

На рис. 3.13 изображена зависимость от разгона отношения ско­ рости перемещения волн к скорости ветра с/и по эксперименталь­ ным данным разных авторов. Точки на этом рисунке взяты из ра­ боты Барнетта и Уилкерсона (1967), но с пересчетом шкалы раз­ гона, которая у них приведена в единицах X/i, на шкалу обычного безразмерного разгона gX/u2:

100